第04讲 有理数的加减运算 （知识点+题型+强化训练） 同步讲义与测试2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

第04讲 有理数的加减运算 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法的运算律 3.有理数的减法 4.有理数的加减混合运算 5.有理数加减混合运算的实际问题 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法在生活中的应用 三、有理数加法运算律 四、有理数的减法运算 五、有理数减法的实际应用 六、有理数的加减混合运算 七、有理数加减中的简便运算 八、有理数加减混合运算的应用 九、省略加法和括号的形式 十、根据点在数轴的位置判断式子的正负 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 类型 法则 举例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时 和为 0 2+(－2)=0 绝对值不等时 取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 一个数同 0 相加 仍得这个数 (－4)+0=－4 注意：有理数加法运算的关键步骤如下 . 知识点2.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 2. 加法运算律的运用技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2) 符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3) 整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系，易化成同分母) 的数先相加——“同形结合法”； (4) 相加得到整数的几个数先相加——“凑整法” ； (5) 带分数相加时，可先拆成整数与真分数的和，再分别 相加——“拆项结合法” . 知识点3.有理数的减法 1. 法则 减一个数，等于加这个数的相反数 . 用字母表示： －=+(－)，其中 ， 表示任意有理数 . 特别提醒： 将减法转化为加法的过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”变成“ +”，减数变成它的相反数； “一不变”是指被减数不变 . 例如： 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 >，则 －>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 <，则 －<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 =，则 －=0. 知识点4.有理数的加减混合运算 1.运算方法 在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算 . 2. 书写形式 在一个和式里，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式 . 例如： 3. 算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法：一种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 4. 运算律 省略加号和括号的形式，可看成是有理数的加法运算，因此，可运用加法运算律来简化计算：(1)在交换加数位置时，要连同加数前面的性质符号一起交换；(2)在运用加法结合律时，有时把减号看作负号 . 知识点5.有理数加减混合运算的实际问题 1. “水位变化”问题是典型的有理数加减混合运算的实际问题 . 解决此类问题要理解水位变化的含义，即正号表示水位比前一天 上升，负号表 示水位比前一天下降，参 考对象是前一天的水位 . 此类问题还包括“股票价格变化”“产量变化” 等实际问题 . 2. 画折线图的步骤 (1) 明确所画的折线图表示的问题； (2)确定一个数为 0 点； (3) 标出横线和纵线表示的量，明确折线图表示的量的单位 ； (4) 选择合 适的单位长度，使得最终画出的折 线图有明显的上升和下降的幅度，能清楚地看出变化情况； (5) 通常情况下，纵线上选取的最高点比实际最大值略高，最低点比实际最小值略低 . 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算．解题关键在于：同号相加，绝对值相加，符号不变；异号相加，绝对值相减，符号取绝对值较大者． 【详解】解：A：，此选项不符合题意； B：，此选项符合题意。 C：，此选项不符合题意； D：，此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） = ． 【答案】 0 0 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：0； （2）， 故答案为：，0． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加减法． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）先通分，再计算即可； （3）先通分再计算加法即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型二、有理数加法在生活中的应用 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）某天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查有理数的加法，解答本题的关键是正确的列式．根据题意可知，中午的气温列式是，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， 中午的气温是：°C， 故选：． 5．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）某个地区，一天早晨的温度是，中午上升了，则中午的温度是 ． 【答案】8 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加法运算，理解题意，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 根据题意，列式计算即可． 【详解】解：早晨的温度是，中午上升了，则中午的温度是， 故答案为：8 ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）某地一天早晨的气温为，中午比早晨上升了，夜间又比中午下降了，则这天夜间的气温是多少？ 【答案】 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】此题考查有理数加法的应用，根据题意列加法算式计算即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：， 则这天夜间的气温是． 题型三、有理数加法运算律 7．（24-25七年级上·广东中山·期中）计算时，可以运用（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．无法确定 【答案】B 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查加法运算律，根据算式特点选择合适的运算律解答是关键．根据加法结合律计算比较简便，即可选择． 【详解】解：在计算时，可以先将和结合计算，故可以运用加法结合律． 故选B． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分： ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】该题考查了有理数的加法运算律，根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．利用加法交换律和结合律简化运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型四、有理数的减法运算 10．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）小明有6张分别写有数字的卡片，若从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字的差最大，最大值是多少（   ） A．14 B．13 C．11 D．9 【答案】B 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，要使差最大，则要选择最大的数和最小的数，据此确定选取的数，再用最大的数减去最小的数即可得到答案． 【详解】解：∵要使两个数字的差最大， ∴选择的两个数为最大的数和最小的数，即要选择和， ∴差的最大值为， 故选：B． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 12 15 42 【知识点】有理数的减法运算 【分析】此题考查有理数的减法和加法运算，根据有理数的减法运算法则求解即可； 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴． 故答案为：12，15，42． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)55 (2) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数加减法的运算法则：“减去一个数等于加上这个数的相反数”． （1）根据有理数减法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五、有理数减法的实际应用 13．（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）我市冬季里某一天的最低气温是，最高气温是，这一天的温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用，由题意可列得算式，根据有理数的减法法则计算即可求解，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：． ∴这一天的温差为， 故选：A． 14．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）某地某天的最高气温为，最低气温为，这天的温差是 ． 【答案】6 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据温差等于最高气温减去最低气温求解即可得． 【详解】解：这天的温差是， 故答案为：6． 15．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)比低的温度； (2)比低的温度． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法应用，利用减法的意义得到算式是解题的关键． （1）由减法的意义得，进行有理数减法运算，即可求解， （2）由减法的意义得，进行有理数减法运算，即可求解， 【详解】（1）解：， （2）解：， 题型六、有理数的加减混合运算 16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）请指出下面的计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由计算过程可得，计算错在第②一步，在添加括号时，没有改变符号， 故选：B． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式 （ ） ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，根据有理数混合运算的计算法则从左往右依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：，，，，，． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先统一成加法，再根据加法的交换律和结合律计算； （2）利用加法的交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七、有理数加减中的简便运算 19．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减的运算法则．由有理数的加减的运算法则和加法交换律进行计算，即可进行判断． 【详解】解： ，故甲正确； ，故乙正确． 故选A． 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子：，，，…请计算( ) 【答案】/ 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】该题考查了有理数的加减运算，观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先统一成小数，再根据加法的交换律和结合律计算； （2）先将带分数拆分为整数部分和分数部分，再利用加法的交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型八、有理数加减混合运算的应用 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用早晨的气温加上上升的温度，再减去下降的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴午夜的气温是， 故选：B． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）某城市一天早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，这天夜间气温是 ． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 【答案】勘察队在出发点上游，距出发点 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的正负，有理数的加法的应用；规定向上游走为正，将数据相加后，根据结果正负即可判断． 【详解】解：规定向上游走为正，根据题意可得， ∴勘察队在出发点的上游，距出发点． 题型九、省略加法和括号的形式 25．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）把写成省略括号和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查相反数的意义，有理数的加法；理解有理数的加法法则是解题的关键．根据相反数意义及有理数的加法和减法法则处理即可． 【详解】解：， 故选：C． 26．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查的是省略加号的和的形式，将各选项中的算式通过有理数加减法则转换为省略括号和加号的形式，逐一对比即可确定正确选项． 【详解】解：A． 转换为：，不符合题意． B． 转换为：，不符合题意． C． 转换为：，不符合题意． D． 转换为：，与题目目标一致． 故选D． 27．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】根据去括号的法则：同号得正，异号得负，计算即可得到答案． 【详解】解：， 将式子写成省略括号和加号的形式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减—去括号，熟练掌握去括号的法则：同号得正，异号得负，是解此题的关键． 题型十、根据点在数轴的位置判断式子的正负 28．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子符号，正确得到，是解题的关键． 根据数轴可知，，由此进行逐一判断即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可知，，， ∴， ∴，，， ∴纵观四个选项只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 29．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a﹣b a﹣c．（选填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算 【分析】根据数轴得出c＜b<a即可得出答案． 【详解】 解：从数轴可知：c＜b<a， 所以a﹣b＜a﹣c， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查数轴，理解数轴表示的数的意义是解答此题的关键． 30．（24-25七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定． (1)计算的值． (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，请举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定有或者，理由见解析 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了有理数的混合运算、绝对值的意义、数轴，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干的运算法则计算即可得解； （2）由数轴可得：，，从而得出，，再根据运算法则结合绝对值的意义求解即可； （3）举出反例即可得解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴； （3）解：不一定有或者，理由如下： 若，，， 则，， ∴，但此时或． 强化训练 一、单选题 1．已知，则“☐”处的数为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．已知两个数的和为0，求其中一个加数，用减法运算，由此解答即可． 【详解】解：由题意得，， 即“☐”处的数为， 故选：C． 2．把写成省略加号和括号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加减法法则解答即可． 【详解】解：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算法则，掌握去括号和添括号法则成为解答本题的关键． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算法则，即有理数减去有理数，等于加上的相反数，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键． 根据有理数的减法运算法则，逐项计算即可求解． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（年龄问题）20年前张华10岁，那么20年后张华（）岁． A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了年龄问题，可先根据“20年前张华10岁”求出今年的年龄，再求出20年后的年龄。 【详解】解：由题意可知，张华今年的年龄为：（岁），则20年后张华的年龄为：（岁）。 故选：A． 5．某市2013年元旦的最高气温为：，最低气温为，那么该市这天的最高气温比最低气温高（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的应用． 直接根据题意列出算式，再计算即可． 【详解】解：最高气温比最低气温高， 故选：D 6．贵州省某地夏季中的一天，中午12时的气温是，经过2小时气温上升了，再经过8小时气温又下降了，那么当天22时的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减计算的实际应用，用中午12时的温度加上两次变化的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴当天22时的气温是， 故选：B． 7．这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】解：这个运算中运用了加法的结合律和交换律， 故选：C． 8．学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，根据有理数的减法运算法则判断出②错误，然后进行计算即可得解，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解决此题的关键． 【详解】 ① ② ③ ④ ∴错在②的第二个括号内的运算， 故选：B． 9．m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 10．在与之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数的差相等，则插入的这三个数的和是(    ) A． B．5 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，解题关键是确定插入的数字． 先确定共有多少个数字，再分成4组，从而确定插入的数字，然后求和． 【详解】解：在与之间插入3个数，使这五个数中每相邻两个数的差相等， 也就是将与之间分成相等的4份． ， 就是将进行4等分 即每份的值是， ，，， 这3个数分别是，，． 所以插入的这三个数的和是， 故选：A． 二、填空题 11．某天温度最高是，最低是，这一天温差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法应用． 直接根据题意计算即可． 【详解】解：∵某天温度最高是，最低是， ∴这一天温差是， 故答案为：． 12．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    【答案】小于 【分析】本题考查数轴，涉及绝对值的性质，以及有理数的加法性质，掌握有理数的加法性质是解题的关键． 根据数轴，利用有理数加法性质比较和的大小． 【详解】解：由图可得，且，， 根据有理数加法性质，正数加负数，符号取绝对值大的数，数字用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． ． 故答案为：小于． 13．比0小5的数是 ；7比 大13． 【答案】 【分析】该题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法运算法则解答即可． 【详解】解：比0小5的数是， ， ∴7比大13， 故答案为：，． 14．小食堂会计铁锤妹妹某天办理以下业务：支出120元，收入300元，支出230元，收入150元，支出70元，收入5元，则食堂这一天共收入 元． 【答案】35 【分析】本题考查了，正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，根据题意列出算式，再进行有理数加减混合运算，即可求解；能根据实际意义列出算式并正确进行运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意：（元） 则食堂这一天共收入35元， 故答案为：35 15．若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则.直接根据题意计算即可. 【详解】∵公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，乘客变化为：，， ∴这时车上乘客人数为（人） 故答案为：12 16．填空： ＝（加法 律） ＝（加法 律） ＝（ ）＋（ ）＝ ． 【答案】 交换 结合 2 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．运用加法交换律和加法结合律正确计算即可． 【详解】解： （加法交换律） （加法结合律） ． 故答案为：交换，结合，，，2． 三、解答题 17．计算： 【答案】 【分析】本题可运用加法交换律和结合律对式子进行简便运算．先将分数化为小数，然后把互为相反数或能凑整的数结合在一起进行计算． 本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握加法交换律和结合律，以及小数与分数的相互转化是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法运算． （1）先去括号，再根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）先提取负号，再算加法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先统一成加法，再根据加法的交换律和结合律计算； （2）利用加法的交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．补全下方操作图： 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据有理数减法运算法则分别计算即可． 【详解】解：；；；； 补全操作图如下： 21．一位病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人周一至周五高压变化情况，该病人上个周日的高压为160单位． 星期 一 二 三 四 五 高压的变化（与前一天比较） 升25单位 降15单位 升13单位 升15单位 降20单位 (1)该病人哪一天的血压最高？哪一天的血压最低？ (2)与上周日比，本周五的血压是升了还是降了？ 【答案】(1)周四的血压最高，周二的血压最低 (2)升了 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出星期一~星期五的血压，再进行比较，即可作答． （2）结合上个周日的高压为160单位，且，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，，，，， ∴， ∴周四的血压最高，周二的血压最低； （2）解：由（1）得周五的血压为（单位）， ∵上个周日的高压为160单位，且， ∴本周五的血压升了． 22．如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是其相反数是解题的关键．先根据数轴判断，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴． 23．如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正确列出运算式子，熟练掌握运算法则是解题关键．利用珠穆朗玛峰的峰顶的高度减去死海的湖的高度，由此即可得． 【详解】解：由图可知， （米）， 答：两处高度相差米． 24．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加减运算 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的加法法则 2.有理数加法的运算律 3.有理数的减法 4.有理数的加减混合运算 5.有理数加减混合运算的实际问题 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法在生活中的应用 三、有理数加法运算律 四、有理数的减法运算 五、有理数减法的实际应用 六、有理数的加减混合运算 七、有理数加减中的简便运算 八、有理数加减混合运算的应用 九、省略加法和括号的形式 十、根据点在数轴的位置判断式子的正负 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的加法法则 类型 法则 举例 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时 和为 0 2+(－2)=0 绝对值不等时 取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 一个数同 0 相加 仍得这个数 (－4)+0=－4 注意：有理数加法运算的关键步骤如下 . 知识点2.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 2. 加法运算律的运用技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2) 符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3) 整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系，易化成同分母) 的数先相加——“同形结合法”； (4) 相加得到整数的几个数先相加——“凑整法” ； (5) 带分数相加时，可先拆成整数与真分数的和，再分别 相加——“拆项结合法” . 知识点3.有理数的减法 1. 法则 减一个数，等于加这个数的相反数 . 用字母表示： －=+(－)，其中 ， 表示任意有理数 . 特别提醒： 将减法转化为加法的过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”变成“ +”，减数变成它的相反数； “一不变”是指被减数不变 . 例如： 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 >，则 －>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 <，则 －<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 =，则 －=0. 知识点4.有理数的加减混合运算 1.运算方法 在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算 . 2. 书写形式 在一个和式里，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式 . 例如： 3. 算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法：一种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 4. 运算律 省略加号和括号的形式，可看成是有理数的加法运算，因此，可运用加法运算律来简化计算：(1)在交换加数位置时，要连同加数前面的性质符号一起交换；(2)在运用加法结合律时，有时把减号看作负号 . 知识点5.有理数加减混合运算的实际问题 1. “水位变化”问题是典型的有理数加减混合运算的实际问题 . 解决此类问题要理解水位变化的含义，即正号表示水位比前一天 上升，负号表 示水位比前一天下降，参 考对象是前一天的水位 . 此类问题还包括“股票价格变化”“产量变化” 等实际问题 . 2. 画折线图的步骤 (1) 明确所画的折线图表示的问题； (2)确定一个数为 0 点； (3) 标出横线和纵线表示的量，明确折线图表示的量的单位 ； (4) 选择合 适的单位长度，使得最终画出的折 线图有明显的上升和下降的幅度，能清楚地看出变化情况； (5) 通常情况下，纵线上选取的最高点比实际最大值略高，最低点比实际最小值略低 . 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） = ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、有理数加法在生活中的应用 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）某天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）某个地区，一天早晨的温度是，中午上升了，则中午的温度是 ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）某地一天早晨的气温为，中午比早晨上升了，夜间又比中午下降了，则这天夜间的气温是多少？ 题型三、有理数加法运算律 7．（24-25七年级上·广东中山·期中）计算时，可以运用（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．无法确定 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分： ． 9．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 题型四、有理数的减法运算 10．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）小明有6张分别写有数字的卡片，若从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字的差最大，最大值是多少（   ） A．14 B．13 C．11 D．9 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1） ； （2） ； （3） ． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型五、有理数减法的实际应用 13．（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）我市冬季里某一天的最低气温是，最高气温是，这一天的温差为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）某地某天的最高气温为，最低气温为，这天的温差是 ． 15．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)比低的温度； (2)比低的温度． 题型六、有理数的加减混合运算 16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）请指出下面的计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式 （ ） ． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型七、有理数加减中的简便运算 19．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 20．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子：，，，…请计算( ) 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型八、有理数加减混合运算的应用 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·全国·课后作业）某城市一天早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，这天夜间气温是 ． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 题型九、省略加法和括号的形式 25．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）把写成省略括号和的形式是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）将式子写成省略括号和加号的形式是 ． 题型十、根据点在数轴的位置判断式子的正负 28．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 29．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a﹣b a﹣c．（选填“＞”或“＜”） 30．（24-25七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定． (1)计算的值． (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，请举例说明． 强化训练 一、单选题 1．已知，则“☐”处的数为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．把写成省略加号和括号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（年龄问题）20年前张华10岁，那么20年后张华（）岁． A．50 B．40 C．30 D．20 5．某市2013年元旦的最高气温为：，最低气温为，那么该市这天的最高气温比最低气温高（   ） A． B． C． D． 6．贵州省某地夏季中的一天，中午12时的气温是，经过2小时气温上升了，再经过8小时气温又下降了，那么当天22时的气温是（   ） A． B． C． D． 7．这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 8．学习情境·过程性纠错请指出下面计算错在哪一步（   ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 9．m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 10．在与之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数的差相等，则插入的这三个数的和是(    ) A． B．5 C．9 D． 二、填空题 11．某天温度最高是，最低是，这一天温差是 ． 12．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    13．比0小5的数是 ；7比 大13． 14．小食堂会计铁锤妹妹某天办理以下业务：支出120元，收入300元，支出230元，收入150元，支出70元，收入5元，则食堂这一天共收入 元． 15．若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“-” ，一辆公共汽车原有18名乘客，经过某一站时，乘客变化为：，，这时车上乘客人数为 ． 16．填空： ＝（加法 律） ＝（加法 律） ＝（ ）＋（ ）＝ ． 三、解答题 17．计算： 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．补全下方操作图： 21．一位病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人周一至周五高压变化情况，该病人上个周日的高压为160单位． 星期 一 二 三 四 五 高压的变化（与前一天比较） 升25单位 降15单位 升13单位 升15单位 降20单位 (1)该病人哪一天的血压最高？哪一天的血压最低？ (2)与上周日比，本周五的血压是升了还是降了？ 22．如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，，化简：． 23．如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差多少米？ 24．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$