专题03 13.3三角形的内角与外角（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“三角形内角与外角”为核心，通过11类题型系统构建“定理证明-性质应用-模型探究”的方法体系，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内角和定理|1典例+2变式|通过平行线转化内角为平角|从证明原理到多辅助线应用| |直角三角形|2典例+5变式|互余性质与判定的双向应用|性质与判定形成闭环逻辑| |外角性质|1典例+3变式|外角等于不相邻内角和|内外角关系衔接内角和定理| |综合模型|6典例+15变式|折叠(折痕即角平分线)、双角平分线(模型公式)等|从单一性质到多知识点融合，逐步提升复杂度|

专题03 三角形的内角与外角 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 运用三角形内角和定理求角的角度 题型03 直角三角形的性质 题型04 直角三角形的判定 题型05 利用三角形外角的性质计算与证明 题型06 三角形折叠中的角度问题 题型07 三角板放置中的角度计算 题型08 三角形与角平分线、高线综合运用 题型09 三角形中的新定义问题 题型10 双角角平分线模型的角度探究 题型11 不规则图形内角和问题探究 ▌题型01 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线. 【典例1】如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B．C． D． 【变式1-1】课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【变式1-2】在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ ▌题型02 运用三角形内角和定理求角的度数 1．定理表述 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于。 几何语言：在中，。 【典例2】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 【变式2-2】如图，，的平分线交于点O，交于点P，且，，求的度数． 【变式2-3】如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． ▌题型03 直角三角形的性质 直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可 以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 【典例3】一个直角三角形，两个锐角度数的比是，这个三角形最小的内角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【变式3-2】如图，在中，，于点D，平分，相交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式3-3】如图，，点为上一点，且，点为直线上一动点，的角平分线交于点． (1)若，求证：； (2)设的角平分线交于点． ①若点在射线上运动的过程中，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数，如果变化，请说明理由； ②若，求的度数． ▌题型04 直角三角形的判定 直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： ∵在中，， ∴是直角三角形 【典例4】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【变式4-2】已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：为直角三角形． 【变式4-3】如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． ▌题型05 利用三角形外角的性质计算与证明 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 三角形外角的性质 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（） ②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（.） ③三角形的外角和为360°（） （三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和） 【典例5】如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【变式5-2】如图，已知：在直角中，，平分且交于． (1)若，求的度数； (2)若平分且交于，求的度数． 【变式5-3】已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． ▌题型06 三角形折叠中的角度问题 三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题. 【典例6】如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么等于多少度？ 【变式6-1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________．    【变式6-3】如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，求的度数． ▌题型07 三角板放置中的角度问题 利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问题. 【典例7】小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】一副直角三角板如图摆放，其中，，，若点是上一点，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． ▌题型08 三角形与角平分线、高线综合运用 解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义综合解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键 【典例8】如图，在中，，平分，若，，则________． 【变式8-1】如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 【变式8-2】如图，在中，平分，，垂足为F，交于点E，若，，求的度数． 【变式8-3】已知在中，平分，． 【特例探究】 (1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为________； 【一般推导】 (2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：__________． 【拓展应用】 (3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． ▌题型09 三角形中的新定义问题 理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问题 【典例9】如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 【变式9-1】1．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若是“奇妙互余三角形”，，求的度数． 【变式9-2】定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【变式9-3】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． ▌题型10 双角角平分线模型的角度探究 【典例10】如图．在中，平分，平分，若，则的度数为________． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，、分别为轴、轴正半轴上两动点，的平分线和与相邻的外角的平分线所在直线交于点，则的度数随、运动的变化情况正确的是（    ） A．点不动，在点向右运动的过程中，的度数逐渐减小 B．点不动，在点向上运动的过程中，的度数逐渐减小 C．在点向左运动，点向下运动的过程中，的度数逐渐增大 D．在点、运动的过程中，的度数不变 【变式10-2】如图，，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论有_____________ 【变式10-3】在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． ▌题型11 不规则图形内角和问题探究 利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题 【典例11】如图，，则__________． 【变式11-1】如图，已知，则为______． 【变式11-2】探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．    (1)解：∵，． ∴ ． ∵ ________， ∴________， ∴________． (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和． (3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形的内角与外角 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 运用三角形内角和定理求角的角度 题型03 直角三角形的性质 题型04 直角三角形的判定 题型05 利用三角形外角的性质计算与证明 题型06 三角形折叠中的角度问题 题型07 三角板放置中的角度计算 题型08 三角形与角平分线、高线综合运用 题型09 三角形中的新定义问题 题型10 双角角平分线模型的角度探究 题型11 不规则图形内角和问题探究 ▌题型01 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线. 【典例1】如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 【变式1-1】课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 【变式1-2】在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过的顶点A作直线l平行于的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论． (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程． 已知，如图2，在中，点P是边上的任意一点．求证：． (2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】(1)见解析 (2)从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度 【知识点】三角形内角和定理的证明、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以及三角形内角和是是正确解答的关键． （1）过点P作，，由平行线的性质及平角的定义可得出答案； （2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点P作，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵C岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∵C岛在B岛的北偏西方向， ∴， ∴， ∵B岛在A岛的北偏东方向， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ； 答：从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度． ▌题型02 运用三角形内角和定理求角的度数 1．定理表述 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于。 几何语言：在中，。 【典例2】如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-1】将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：C． 【变式2-2】如图，，的平分线交于点O，交于点P，且，，求的度数． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查平行线的性质，三角形内角和，先根据三角形内角和求出，再根据角平分线得到，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】解：，， ， 平分， ． ∵， ． 【变式2-3】如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 ▌题型03 直角三角形的性质 直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可 以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 【典例3】一个直角三角形，两个锐角度数的比是，这个三角形最小的内角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据一个直角三角形，两个锐角度数的比是，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个直角三角形，两个锐角度数的比是， ∴， 即这个三角形最小的内角是， 故选：B． 【变式3-1】如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式3-2】如图，在中，，于点D，平分，相交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）求出的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数，接着根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案； （2）由角平分线的定义可得，由直角三角形两锐角互余得到，，则可证明，再由，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； （2）略 【变式3-3】如图，，点为上一点，且，点为直线上一动点，的角平分线交于点． (1)若，求证：； (2)设的角平分线交于点． ①若点在射线上运动的过程中，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数，如果变化，请说明理由； ②若，求的度数． 【答案】(1)证明：是的平分线， ， ， ， ； (2)①不变，；②或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，即可解答； （2）①设，利用角平分线的定义即可解答； ②分两种情况，即点在上方或点在下方，分别计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①不变， 是的角平分线， ， 设， ， ，， ， ， 是的平分线， ， ； ②如图，点在上方， ， ， ， ； 如图，点在下方， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，或 ▌题型04 直角三角形的判定 直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： ∵在中，， ∴是直角三角形 【典例4】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理．根据得到，得到具备条件A的是直角三角形；根据三角形内角和等于，，得到，得到具备条件B的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据，设，，，根据勾股定理的逆定理，得到具备条件D的是直角三角形． 【详解】解：A、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； B、由，设，，，根据，可得，解得，最大角，不是直角三角形，故符合题意； C、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； D、由，设，，，∴，故，是直角三角形，故不符合题意．故选：B． 【变式4-1】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】略 【变式4-2】已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：为直角三角形． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， 为直角三角形 【变式4-3】如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． ▌题型05 利用三角形外角的性质计算与证明 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 三角形外角的性质 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（） ②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（.） ③三角形的外角和为360°（） （三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和） 【典例5】如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式5-1】如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 【变式5-2】如图，已知：在直角中，，平分且交于． (1)若，求的度数； (2)若平分且交于，求的度数． 【答案】(1)65° (2)45° 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查角平分线和外角： （1）根据，即可求得答案； （2）根据，即可求得答案． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． 【变式5-3】已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． ▌题型06 三角形折叠中的角度问题 三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题. 【典例6】如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么等于多少度？ 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解： 由翻折得到，， ，， ， ． 【变式6-1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的性质得到根据题意，得到再由图形翻折变换的性质得到，根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵ ，， ∴， 根据折叠的性质可得：， ， ∴ ． 【变式6-2】如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________．    【答案】或 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴；    ②当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴；    综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 【变式6-3】如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ▌题型07 三角板放置中的角度问题 利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问题. 【典例7】小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：设交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式7-1】将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：D 【变式7-2】一副直角三角板如图摆放，其中，，，若点是上一点，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式7-3】已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据内错角相等两直线平行可求解； （2）延长线段交于点H，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长线段交于点H， ， ． ， ． ， ， ． ▌题型08 三角形与角平分线、高线综合运用 解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义综合解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键 【典例8】如图，在中，，平分，若，，则________． 【答案】/42度 【知识点】垂线的定义理解、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的定义，得到，求出的度数，再利用垂直的定义和三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 故④不成立； 综上所述，结论正确的是①②③． 【变式8-2】如图，在中，平分，，垂足为F，交于点E，若，，求的度数． 【答案】的度数为 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查垂线、角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角定理，利用垂线、角平分线的定义得到对应角的关系是解题的关键． 首先根据垂直线、角平分线的性质得到对应角的关系，再通过三角形的内角和定理得出，最后利用三角形外角和定理求出的度数即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 【变式8-3】已知在中，平分，． 【特例探究】 (1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为________； 【一般推导】 (2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：__________． 【拓展应用】 (3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解； （3）设，得到，根据角平分线的定义得到，，表示出，得到，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （3）解：设， ∵平分， ， ，， ∵， ∴， 、分别平分和， ，， ， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ． ▌题型09 三角形中的新定义问题 理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问题 【典例9】如图，在中，，过点的直线交于点，若，我们称是的形似线，其中，那么我们称是的倍形似线．已知直线是的倍形似线，则______度． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由直线是的倍形似线，所以，从而可得，又，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线是的倍形似线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】1．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若是“奇妙互余三角形”，，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由题意知，“奇妙互余三角形”分和，两种情况求解：根据三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：是“奇妙互余三角形”， ， ①当时， ， ， ②当时， ， ． 故的度数为或． 【变式9-2】定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”；②的度数是或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：是“准互余三角形”，， ， ； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 【变式9-3】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或 ▌题型10 双角角平分线模型的角度探究 【典例10】如图．在中，平分，平分，若，则的度数为________． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，、分别为轴、轴正半轴上两动点，的平分线和与相邻的外角的平分线所在直线交于点，则的度数随、运动的变化情况正确的是（    ） A．点不动，在点向右运动的过程中，的度数逐渐减小 B．点不动，在点向上运动的过程中，的度数逐渐减小 C．在点向左运动，点向下运动的过程中，的度数逐渐增大 D．在点、运动的过程中，的度数不变 【答案】D 【知识点】坐标与图形综合、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线和与相邻的外角的平分线所在直线交于点， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式10-2】如图，，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论有_____________ 【答案】①②③ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用．根据角平分线的定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∵平分，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在中， ， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴不一定等于，故④错误； 【变式10-3】在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． ▌题型11 不规则图形内角和问题探究 利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题 【典例11】如图，，则__________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】利用三角形的外角性质将分散的角和分别转化为和，再结合，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 【变式11-1】如图，已知，则为______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，，即得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．    (1)解：∵，． ∴ ． ∵ ________， ∴________， ∴________． (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和． (3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________． 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； （2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； （3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； 【详解】（1），． ． ， ， ； （2），． ． ， ； （3）． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $