第十六章 整式的乘法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 目录 第1课时整式的乘法.。 .3 板块一幂的运算.… 题型①同底数幂相乘..····. …3 题型②幂的乘方. 题型③积的乘方...· 题型④幂的综合计算.·· 板块二整式的乘法（一).。 .5 题型①整式的乘法.. ..5 题型②先展开，再合并.· 题型③求参数的值. 6 板块三整式的乘法（二）.， 题型①化简求值.… ..7 题型②解方程与不等式....· 题型③降次与整体思想.·.· ，7 题型④不含某项.·· 板块四整式的除法.···· 题型①同底数幂相除.·.·.· 题型②整式的除法.。 题型③整式的乘除... ….9 第2课时乘法公式........ 板块一平方差公式.· 题型①平方差公式..10 题型②平方差公式的运用.. 题型③构平方差公式.... .10 板块二完全平方公式.... .....11 题型①完全平方公式..·.·. .11 题型②完全平方公式的拓展..· 题型③平方差公式与完全平方公式... ....11 题型④化简求值. 11 板块三完全平方公式的应用..12 题型①在ah、日b、ab、a2+b、a2-b2中“知二求三”.....13 题梨型求，一，火+之的值 X …….13 题型③换元法. …...13 板块四配方法.·.· ..14 题型①配方后利用非负性求值. 题型②裂项配方.·· …….14 题型③作差后配方比较大小..·.· 题型④ 求最值.… ………,14 板块五整式乘法与几何图形结合 .16 第3课时情境创新题..... 19 板块一数学活动（课本变式).··· 板块二综合与实践.... 20 2 第1课时整式的乘法 板块一幂的运算 题型① 同底数幂相乘 【例1】计算：(1)a2a3=:(2)xx2·x2=:(3)-x2-x3=；(4 x-y}y-x3=-。 【例2】若x、y均为正整数，且22+1×22y=128,求x+y的值。 题型② 幂的乘方 【例3】计算：(1)a3=:(2)a2=;(3)a”= 【例4】(1)已知2×8×16”=222，求n的值：(2)已知y=4,y=3,求y2a+2b的值。 题型③积的乘方 【例5】计算：(1)2a4=:(2)-3a2=。 【例6】计算：(1)-0.125101×-810：(2) 题型④ 幂的综合计算 2022 1100 【例7】计算：(1) +6× 。 4 实战演练 1.计算：(1)a2a2+aa3:(2)-3a2+4a5a:(3)a3a3+2a+-a23:4) aa2.a3+a3--2a2:5)a3a5+2a4-6a8:(6)-3a2a--5a4。 -115993 2.计算：(1)0.125”×2”×4：(2) 5 ×5592。 3.(1)若a”bmb3=ab5,求m、n的值：2)已知2°=5,8=4，求2*2b3的值。 4.(1)已知a"m=2,a”=3,求a3ma”的值：(2)已知2”=3，求2-42”的值。 5.(1)已知Q+3b-2=0,求327的值：(2)已知2+13+1=62x1,求x的值。 5 板块二整式的乘法（一) 题型① 整式的乘法 【例1】计算： (1)4a3.-5a2b: ab-1-4abF: (3)-2a2.a2-3a-6: (4)-4a3bab-6a-7: (5)2a+3b2a-b: (6)3a+2b川2a-3b。 题型②先展开，再合并 【例2】计算： (1)32x-3-5x-1: (2)-2b3b-5-4b-15b+2: (3)2x+83x-3+x-52x+7: (4)5x+64x-3-5x+23x-4。 6 题型③求参数的值 【例3】若关于x的多项式2x-m与3x+5的乘积中，一次项系数为25，求m的值。 实战演练 3 1.计算：(1) 分b-4ab:@-mmi-3m-6l 2.计算：(1)5y3y+1-2y3y-5:(2)ab2ab2-a2b-2ab2·b+a3b2:(3) x+9川x-5-x-8川x+6:(4)x+5x-6-x-3x-7:(5) 2x+76x-2-4x+83x-5:(6)3x+24x-9-2x-66x+3。 3.求值： (1)已知x-7x+6=x2+mx-42,则m的值为： (2)已知x+12x-5=x+mx-60,则m的值为： (3)已知x-2x-11=x2+mx+22,则m的值为_： (4)已知x+pl川x+q=x2+mx+15,且p、q为整数，则m的值为一。 4.若x+albx+c=5x2+17x-12,其中a、b、c均为整数，求a、C的值。 板块三整式的乘法（二) 题型①化简求值 【例1】先化简，再求值：-5a2·a-4aa2-2a-3-a-1a2-2,其中a=-1。 题型②解方程与不等式 【例2】解下列方程与不等式： (1)2x-2+x2=x+1x-1+x: (2)x-3x-4-x2<2x-1。 题型③降次与整体思想 【例3】已知x2-3x-1=0,求2x3-3x2-11x+1的值。 题型④不含某项 【例4】若x2+ax+8x2-3x+b)的乘积中不含x3和x2的项，求a、b的值。 8 实战演练 1.求证：对于任意正整数n,代数式nn+7-n+3n-2的值必是6的倍数。 2.先化简，再求值：2x-y6x+3y-6yx+y-3x-2y2x+4yl,其中x=-3, y=-2. 3.已知2a+3a-6=0,求3a2a+1-(2a+12a-1的值。 4.已知x2-2x-1=0,则2x-6x+2x+1的值为_-。 5.(1)若1+x2x+ax+1的结果中x2项的系数为-2，求a的值： (2)若多项式x+aX+2和x2+2x-b的积中没有x3和x2两项，求Q、b的值。 9 板块四 整式的除法 题型①同底数幂相除 【例1】计算：(1)a2a24÷a25=;2)a5:a1-a3= 【例2】若2x+3y-4z-3=0,则9,27'÷81的值是-。 题型②整式的除法 【例3】计算： (1)-12a3b3-18a2b2÷-6ab1: 2) zab-idb+0.6ab. 4 题型③整式的乘除 【例4】计算： 1)【-5a4+-3a2.-a234a: 2)aa2-ab-a2-ab:3a。 10 实战演练 1.若a=3,a=2,求：(1)am*;(2)am-n；(3)a2m-3n。 2.计算：x+2yl3x-5y-6x2y-2xy÷2xy。 3.先化简，再求值：3a+4b3a+2b-2b3a+4b÷-6a,其中a=-1,b=-2。 11 第2课时乘法公式 板块一平方差公式 题型①平方差公式 【例1】计算：(1)3x-43x+4-2x+3川2x-3:(2)a-b川a+ba2+b2a4+b4。 题型②平方差公式的运用 【2】计：050×49导：a2002-199×201 3 题型③构平方差公式 【例3】已知实数m、n满足2m2+n22m2+n2+2=80,求2m2+n2的值。 实战演练 1.计算：(1)m+33m+1-2m-4-2m-4:(2)(3a+13a-1-2a+13a-1。 2.已知5x2-x-1=0,求3x+23x-2+xx-2的值。 3.已知实数x、y满足2x2+2y2+3川2x2+2y2-3=27,求x2+y2的值。 12 板块二完全平方公式 题型①完全平方公式 【例1】若x2+2m-3x+16(m是常数)是完全平方式，则m的值是一一。 题型②完全平方公式的拓展 【例2】计算：(1)a+b+c2:(2)2a+b-32。 题型③平方差公式与完全平方公式 【例3】计算：(1)(x+y-1x-y+1:(2)a+2b-3川a-2b+3。 题型④化简求值 【例4】先化简，再求值：2x+12x-1-2x-32,其中x=-1。 13 实战演练 1.已知多项式x2+4x+k2是一个完全平方式，则k的值为一。 2.如果4x+mx+25是一个完全平方式，那么m的值是。 3.计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655；(2)992-103×97：(3) 1022 1252-123×127° 4.计算：(1)a+2b-3c2:(2)a+22a-22:(3)x+5y-9川x-5y+9:(4) 2a-b+3c2a+b-3c。 板块三完全平方公式的应用 公式变形 (1)a+b2=a+b2-2ab: (2)a+b2=a-b2+2ab: (3)(a-b2=a+b2-4ab: (4)a+b=a-b+4ab: (5)ab=la+bP-ld+b] 14 题型①在ab、ab、ab、a2+b2、a2-b2中“知二求三” 类型1知ab、ab求值 【例1】已知a+b2=7,a-b2=3,求a2+b2和ab的值。 类型2知ab、a+b求值 【例2】已知ab=2,a+b=3,求a2+b2和a-b的值。 类型3知ab或日b、a2+b求值 【例3】已知a+b=7,a+b2=25,求a-b的值。 类型4知ab、a+b求值 【例4】已知0+=25.b=1卫，求下列各元的值：回他：②0+b:②a-h, 题型②求品×名，+的值 【肉5】已知+是3，来F列多式的值：①+：@ 15 题型③换元法 【例6】若x满足2022-xx-2010=22,求2022-x+x-20102的值。 实战演练 1.解答下列各题： (1)已知x+y=5,y=3,求x+y的值： (2)已知x+y2=5,y=2,求x+y与x-y的值 (3)已知x+y=25,x-y=9,求x2+y2与y的值。 2已知-4x+2-0,求下列含的：①+：@： 3.若(2022-x+x-2002}=2020,求2022-xx-2002的值。 16 板块四 配方法 题型①配方后利用非负性求值 【例1】已知4x2+y2+4x-6y+10=0,求x、y的值。 题型②裂项配方 【例2】已知2a2-2ab+b2+6a+9=0,求a、b的值。 题型③作差后配方比较大小 【例3】已知M=2a-2,N=9a-4a,求证：M<N。 题型④求最值 【例4】求代数式-x-6x+10的最大值。 【例5】求代数式5a2+b-4ab-2a+10的最小值。 实战演练 1.已知x2+y2+6x-4y+13=0,求x+y2023的值。 2.已知a+2b2+2c2-2ab-2bc-6c+9=0,求abc的值。 17 3.已知a2b2+a+b2+1=4ab,求a+b2的值。 4.当x、y为何值时，多项式2x2-4xy+5y2-12y+13有最小值？并求出这个最小值。 5.求代数式-a2+12a-8的最大值。 6.若M=5x2-7x+17,N=4x2-x+6,其中X为任意实数，试比较M和N的大小，并 说明理由。 板块五整式乘法与几何图形结合 【例1】如图，长方形ABCD的周长为16，四个正方形的面积和为68，求长方形ABCD的 面积。 D 18 【例2】如图，两个正方形的边长分别为a、b,且Q+b=7,ab=7,分别求图1、图2中阴影 部分的面积。 C b G 图1 图2 【例3】如图，C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边分别作正方形，设AB=6, 两正方形的面积和S1+S2=18,求图中阴影部分的面积。 E D S C S2 G 【例4】如图，正方形ABCD的边长为a,AE=1,CG=2,长方形EFGD的面积是5，四 边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面 积。 19 Q M A E D H F N G B C 实战演练 1.如图，在长方形ABFD中，点C、E分别在AB、BF上，AD=AC,BE=BC,连接 CD、CE,若AC·BC=10,求图中阴影部分的面积。 D F E B C 20 2.如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a,DE=b(a>b)。如果正 方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16，它们的面积相差960，求a、b的值。 B G D E C 3.四张长为Q、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为a+b的正方 形，图中空白部分的面积为S1,阴影部分的面积为S2。若S1=S2,求a:b的值。 a a a 4.如图，将大小不同的两个正方形按图1、图2的方式摆放。若图1中阴影部分的面积是24， 图2中阴影部分的面积是30，求大正方形的边长。 图1 图2 21 第3课时 情境创新题 板块一数学活动（课本变式) 【变式1】如图1是某年某月的月历，用如图2所示的“凹”字型框在月历中任意圈出5个数， 设“凹”字型框中的五个数分别为a1、a2、Q、a3、Q4。求证：Q2Q4-a1a3为定值。 日一二三四五六 12345 6789101i12 131415:161718:19 20212223242526 2728293031 图1 图2 【变式2】在数表中标出一个“十字星”，通过计算它的十字差（将十字星左右两数、上下两数 分别相乘再将所得的积作差)可发现相应的规律。 (1)如图是2025年某月的月历，表中该“十字星”的十字差为： (2)将正整数依次填入一个5列的长方形数表中，十字差也是一个定值，求这个定值。 日已目四五六 12 3456789 10111213141516 17181920212223 24252627282930 31 【变式3】小聪同学通过计算下列两位数的乘积：53×57=3021,38×32=1216， 84×86=7224,71×79=5609,发现结果存在某种规律。若设其中一个两位数十位上的数字为 a,个位上的数字为b（其中a、b为小于10的正整数)，请用你所学整式的乘除运算说明结 论的正确性。 22 板块二综合与实践 活动主题探究图形面积与代数式之间的关系。 活动资源提供长度不同的两种木棒各4根（如图）。 活动素材运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完。选取同学们的 甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图)进行研究。 问题探究过程 发现问题请观察以上所有图形，并研究不同(2种或2种以上)摆法的图形面积之间关系， 你发现哪些结论？ 小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍。 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积。 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？你的发现是（请用简洁 的语言描述)。 提出问题请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为Q、b,其中Q>b),，四种图形 面积分别为S甲、Sz、S丙、S了。 例如：小明的结论是S甲=2Sz=4ab。 小张的结论是ST>Sz。 你的结论是 23 分析问题请用所学的数学知识证明你的结论。 例如：小明的证明方法如下。 证明：Sm=2a×2b=4ab,Sz=ab+ab=2ab,所以S甲=2Sz。 你的证明： 拓展创新把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆 出边长为a-b的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系。 2 成 示意图中的各图形面积之间的关系： 迁移运用根据以上的研究结论，请解决问题：若X+y=31,y=7,求X-y的值。 24 第十六章　整式的乘法 目录 第1课时　整式的乘法 3 板块一　幂的运算 3 题型①　同底数幂相乘 3 题型②　幂的乘方 3 题型③　积的乘方 3 题型④　幂的综合计算 3 板块二　整式的乘法（一） 4 题型①　整式的乘法 4 题型②　先展开，再合并 5 题型③　求参数的值 5 板块三　整式的乘法（二） 6 题型①　化简求值 6 题型②　解方程与不等式 6 题型③　降次与整体思想 6 题型④　不含某项 6 板块四　整式的除法 7 题型①　同底数幂相除 7 题型②　整式的除法 7 题型③　整式的乘除 8 第2课时　乘法公式 9 板块一　平方差公式 9 题型①　平方差公式 9 题型②　平方差公式的运用 9 题型③　构平方差公式 9 板块二　完全平方公式 10 题型①　完全平方公式 10 题型②　完全平方公式的拓展 10 题型③　平方差公式与完全平方公式 10 题型④　化简求值 10 板块三　完全平方公式的应用 11 题型①　在 a+b、a-b、ab、、 中“知二求三” 11 题型②　求 ，， 的值 12 题型③　换元法 12 板块四　配方法 12 题型①　配方后利用非负性求值 12 题型②　裂项配方 13 题型③　作差后配方比较大小 13 题型④　求最值 13 板块五　整式乘法与几何图形结合 14 第3课时　情境创新题 18 板块一　数学活动（课本变式） 18 板块二　综合与实践 19 第1课时　整式的乘法 板块一　幂的运算 题型①　同底数幂相乘 【例1】计算：(1) ______；(2) ______；(3) ______；(4) ______。 解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 【例2】若 、 均为正整数，且 ，求 的值。 解：，所以 ，即 ，。 题型②　幂的乘方 【例3】计算：(1) ______；(2) ______；(3) ______。 解：(1) ；(2) ；(3) 。 【例4】(1) 已知 ，求 的值；(2) 已知 ，，求 的值。 解：(1) ，所以 ，解得 ；(2) 。 题型③　积的乘方 【例5】计算：(1) ______；(2) ______。 解：(1) ；(2) 。 【例6】计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 题型④　幂的综合计算 【例7】计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 实战演练 1. 计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 。 解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 。 2. 计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 3. (1) 若 ，求 、 的值；(2) 已知 ，，求 的值。 解：(1) 由 ，得 ，，所以 ，；(2) 原式 。 4. (1) 已知 ，，求 的值；(2) 已知 ，求 的值。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 5. (1) 已知 ，求 的值；(2) 已知 ，求 的值。 解：(1) 由 得 ，原式 ；(2) 由 得 ，所以 ，解得 。 板块二　整式的乘法（一） 题型①　整式的乘法 【例1】计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 ；(3) 原式 ；(4) 原式 ；(5) 原式 ；(6) 原式 。 题型②　先展开，再合并 【例2】计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 ；(3) 原式 ；(4) 原式 。 题型③　求参数的值 【例3】若关于 的多项式 与 的乘积中，一次项系数为 ，求 的值。 解：，依题意得 ，解得 。 实战演练 1. 计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 2. 计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 ；(3) 原式 ；(4) 原式 ；(5) 原式 ；(6) 原式 。 3. 求值： (1) 已知 ，则 的值为______； (2) 已知 ，则 的值为______； (3) 已知 ，则 的值为______； (4) 已知 ，且 、 为整数，则 的值为______。 解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 或 。 4. 若 ，其中 、、 均为整数，求 、 的值。 解：展开得 。比较对应项的系数，得 ，，，解得 ，。 板块三　整式的乘法（二） 题型①　化简求值 【例1】先化简，再求值：，其中 。 解：原式 。当 时，原式 。 题型②　解方程与不等式 【例2】解下列方程与不等式： (1) ； (2) 。 解：(1) 去括号得 ，即 ，解得 ；(2) 去括号得 ，即 ，解得 。 题型③　降次与整体思想 【例3】已知 ，求 的值。 解：由 得 。原式 。 题型④　不含某项 【例4】若 的乘积中不含 和 的项，求 、 的值。 解：展开得 。依题意得 ，，解得 ，。 实战演练 1. 求证：对于任意正整数 ，代数式 的值必是 的倍数。 解：，因为 为正整数，所以 必是 的倍数。 2. 先化简，再求值：，其中 ，。 解：原式 。当 ， 时，原式 。 3. 已知 ，求 的值。 解：原式 。由 得 ，所以原式 。 4. 已知 ，则 的值为______。 解：由 得 。原式 。 5. (1) 若 的结果中 项的系数为 ，求 的值； (2) 若多项式 和 的积中没有 和 两项，求 、 的值。 解：(1) 展开得 ，所以 ，；(2) 展开得 ，依题意得 ，，解得 ，。 板块四　整式的除法 题型①　同底数幂相除 【例1】计算：(1) ______；(2) ______。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 【例2】若 ，则 的值是______。 解：由 得原式 。 题型②　整式的除法 【例3】计算： (1) ； (2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 题型③　整式的乘除 【例4】计算： (1) ； (2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 实战演练 1. 若 ，，求：(1) ；(2) ；(3) 。 解：(1) ；(2) ；(3) 。 2. 计算：。 解：原式 。 3. 先化简，再求值：，其中 ，。 解：原式 ，化简后代入计算。 第2课时　乘法公式 板块一　平方差公式 题型①　平方差公式 【例1】计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 题型②　平方差公式的运用 【例2】计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 题型③　构平方差公式 【例3】已知实数 、 满足 ，求 的值。 解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ，。因为 ，所以 ，即 。 实战演练 1. 计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 2. 已知 ，求 的值。 解：原式 。由 得 ，所以 ，原式 。 3. 已知实数 、 满足 ，求 的值。 解：设 ，则 ，，。因为 ，所以 ，即 。 板块二　完全平方公式 题型①　完全平方公式 【例1】若 （ 是常数）是完全平方式，则 的值是______。 解：，比较对应项的系数得 ，解得 或 。 题型②　完全平方公式的拓展 【例2】计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 题型③　平方差公式与完全平方公式 【例3】计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 。 题型④　化简求值 【例4】先化简，再求值：，其中 。 解：原式 。当 时，原式 。 实战演练 1. 已知多项式 是一个完全平方式，则 的值为______。 解：。 2. 如果 是一个完全平方式，那么 的值是______。 解：。 3. 计算：(1) ；(2) ；(3) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 ；(3) 原式 。 4. 计算：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 解：(1) 原式 ；(2) 原式 ；(3) 原式 ；(4) 原式 。 板块三　完全平方公式的应用 公式变形 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 。 题型①　在 a+b、a-b、ab、、 中“知二求三” 类型1　知 a+b、a-b 求值 【例1】已知 ，，求 和 的值。 解：，。 类型2　知 ab、 a+b 求值 【例2】已知 ，，求 和 的值。 解：；，所以 。 类型3　知a+b或a-b、 求值 【例3】已知 ，，求 的值。 解：，即 ，所以 。，所以 。 类型4　知ab、 求值 【例4】已知 ，，求下列各式的值：① ；② ；③ 。 解：① ；② ，所以 ；③ ，所以 。 题型②　求 ，， 的值 【例5】已知 ，求下列各式的值：① ；② 。 解：① ；② 题型③　换元法 【例6】若 满足 ，求 的值。 解：设 ，，则 ，且 。所以 ，即 。 实战演练 1. 解答下列各题： (1) 已知 ，，求 的值； (2) 已知 ，，求 与 的值； (3) 已知 ，，求 与 的值。 解：(1) ；(2) ，；，；(3) ，。 2. 已知 ，求下列各式的值：① ；② ；③ 。 解：由 （显然 ）两边同除以 得 。① ；② ；③ 。 3. 若 ，求 的值。 解：设 ，，则 ，。因为 ，所以 ，，即 。 板块四　配方法 题型①　配方后利用非负性求值 【例1】已知 ，求 、 的值。 解：，即 ，所以 ，。 题型②　裂项配方 【例2】已知 ，求 、 的值。 解：，即 ，所以 。 题型③　作差后配方比较大小 【例3】已知 ，，求证：。 解：，所以 。 题型④　求最值 【例4】求代数式 的最大值。 解：。因为 ，所以 ，最大值为 。 【例5】求代数式 的最小值。 解：原式 。因为 ，，所以原式 ，最小值为 。 实战演练 1. 已知 ，求 的值。 解：，即 ，所以 ，，，。 2. 已知 ，求 的值。 解：，即 ，所以 ，。 3. 已知 ，求 的值。 解：移项得 ，即 ，所以 ，，。 4. 当 、 为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值。 解：原式 。因为 ，，所以当 时取最小值 。 5. 求代数式 的最大值。 解：原式 ，最大值为 。 6. 若 ，，其中 为任意实数，试比较 和 的大小，并说明理由。 解：，所以 。 板块五　整式乘法与几何图形结合 【例1】如图，长方形 的周长为 ，四个正方形的面积和为 ，求长方形 的面积。 解：设 ，，由题意得 ，即 ；又四个正方形的面积和为 ，即 。由 得 ，，即长方形 的面积为 。 【例2】如图，两个正方形的边长分别为 、，且 ，，分别求图1、图2中阴影部分的面积。 解：图1中阴影部分的面积 ；图2中阴影部分的面积 。 【例3】如图， 是线段 上的一点，以 、 为边向两边分别作正方形，设 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积。 解：由题意得 ，。因为 ，所以 ，。阴影部分的面积为 。 【例4】如图，正方形 的边长为 ，，，长方形 的面积是 ，四边形 和四边形 都是正方形，四边形 是长方形，求图中阴影部分的面积。 解：，。依题意得 。设 ，，则 ，。阴影部分的面积 。 实战演练 1. 如图，在长方形 中，点 、 分别在 、 上，，，连接 、，若 ，求图中阴影部分的面积。 解：设 ，，则阴影部分的面积 ，即图中阴影部分的面积为 。 2. 如图，四边形 与四边形 都是正方形，设 ，（）。如果正方形 的边长比正方形 的边长多 ，它们的面积相差 ，求 、 的值。 解：由题意得 ，，即 ，所以 。解得 ，。 3. 四张长为 、宽为 （）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 。若 ，求 的值。 解：，。由 得 ，即 ，。因为 ，所以 ，。 4. 如图，将大小不同的两个正方形按图1、图2的方式摆放。若图1中阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，求大正方形的边长。 解：设大、小正方形的边长分别为 、。由图1得 ，即 ；由图2得 ，即 ，，（），所以 ，即大正方形的边长为 。 第3课时　情境创新题 板块一　数学活动（课本变式） 【变式1】如图1是某年某月的月历，用如图2所示的“凹”字型框在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为 、、、、。求证： 为定值。 证明：由题意知 ，，，，所以 ，为定值。 【变式2】在数表中标出一个“十字星”，通过计算它的十字差（将十字星左右两数、上下两数分别相乘再将所得的积作差）可发现相应的规律。 (1) 如图是2025年某月的月历，表中该“十字星”的十字差为______； (2) 将正整数依次填入一个5列的长方形数表中，十字差也是一个定值，求这个定值。 解：(1) ；(2) 设十字星中心的数为 ，则左右两数分别为 、，上下两数分别为 、。十字差 ，所以这个定值是 。 【变式3】小聪同学通过计算下列两位数的乘积：，，，，发现结果存在某种规律。若设其中一个两位数十位上的数字为 ，个位上的数字为 （其中 、 为小于 的正整数），请用你所学整式的乘除运算说明结论的正确性。 证明：。即结果的前两位为 、后两位为 ，规律成立。 板块二　综合与实践 活动主题　探究图形面积与代数式之间的关系。 活动资源　提供长度不同的两种木棒各 根（如图）。 活动素材　运用以上 根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完。选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图）进行研究。 问题探究过程 发现问题　请观察以上所有图形，并研究不同（ 种或 种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？ 小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的 倍。 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积。 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？你的发现是________（请用简洁的语言描述）。 提出问题　请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为 、，其中 ），四种图形面积分别为 、、、。 例如：小明的结论是 。 小张的结论是 。 你的结论是________。 分析问题　请用所学的数学知识证明你的结论。 例如：小明的证明方法如下。 证明：，，所以 。 你的证明：________。 拓展创新　把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为 的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系。 迁移运用　根据以上的研究结论，请解决问题：若 ，，求 的值。 解：发现问题：丙摆法的面积是乙和丁摆法面积之和。 提出问题：。 分析问题：，，所以 ；又 ，所以 。 拓展创新：。 迁移运用：由拓展创新知 ，所以 ，，。 22 学科网（北京）股份有限公司 $