17.1 第1课时 因式分解的概念 教学设计 2026—2027学年人教版数学八年级上册

17.1 第1课时 因式分解的概念 教学设计 课题 17.1　用提公因式法分解因式（第1课时：因式分解的概念） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课（概念课） 教学目标 了解因式分解与公因式的概念，理解因式分解与整式乘法之间的区别与联系，会确定多项式各项的公因式，初步会用提公因式法分解因式。 教学重点 会用提公因式法分解因式。 教学难点 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式。 教学方法 类比导入、归纳探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成教材 P126～127 习题 17.1 第 1、2 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、新课导入 一、新课导入 类比导入：问题：计算 260×3.7＋260×5.6＋260×0.7。 解：原式＝260×(3.7＋5.6＋0.7)＝260×10＝2600。 类比：逆用分配律，＝m(a＋b＋c)。 讨论：上面用了什么运算律？哪种方法简便？多项式 ma＋mb＋mc 的各项有什么公共的因式？ 归纳探究：先计算，再反向填空： (1) m(a＋b＋c)＝　　　　　　　　；(2) (a＋b)(a−b)＝　　　　　　　　； (3) (a＋b)＝　　　　　　　　。 填空：(1) ＝m·　　　　　　　　；(2) ＝　　　　　　　　；(3) ＝　　　　　　　　。 答案：计算 (1) ma＋mb＋mc；(2) ；(3) 。填空 (1) a＋b＋c；(2) (a＋b)(a−b)；(3) 。 思考：两题的变形方向有什么不同？ 师生活动：学生用两种方法计算 260×3.7＋260×5.6＋260×0.7 并比较简便程度，体会“提公因数”的价值；完成乘法与反向填空，发现两组变形方向相反；教师由此引出因式分解的概念。 由数的简算体会“提公因数”的价值，类比到字母；通过整式乘法与其反向填空，发现两类变形方向相反。 以简算激趣，用“分配律逆用”搭起类比支架；正反两组填空让学生自主发现因式分解与整式乘法的互逆关系，渗透逆向思维。 二、探究新知 （概念归纳） 二、探究新知 把下列各式因式分解： (1) pa＋pb＋pc＝　　　　　　　　；(2) ＝　　　　　　　　。 答案：(1) p(a＋b＋c)；(2) 。各项公共的因式分别是 p 和 x。 归纳概念： 1. 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 2. 多项式各项都有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 3. 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 4. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即：多项式 ⇄ 几个整式的积。 确定公因式的“三定”方法：一定系数——取各项系数的最大公约数；二定字母——取各项都含有的相同字母；三定指数——取相同字母的最低次幂。 师生活动：学生完成因式分解并说出公共因式；教师借助“多项式 ⇄ 整式乘积”的板书强调因式分解与整式乘法的互逆关系，并引导学生概括“三定”找公因式的方法。 理解因式分解、公因式、提公因式法的概念，明确因式分解与整式乘法方向相反；掌握确定公因式的“三定”方法。 由具体分解到概念归纳，经历“观察—概括”的过程；“三定”方法把找公因式程序化，为准确分解提供操作保障。 二、探究新知 （例题精析） 二、探究新知 例题精析 例1　下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 A. a(x−y)＝ax−ay　　B. 　　C. 　　D. 答案：D。（A 是整式乘法；B、C 的右边不是整式的积的形式；D 把多项式化成了整式的积，是因式分解。） 例2　下列因式分解正确的是 A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：C。（A 应为 −x(x−4)；B 漏了第三项，应为 x(x＋y＋1)；D 应为 ；只有 C 正确。） 例3　多项式 中各项的公因式是　　　　。A. abc　　B. 　　C. 　　D. 3ab 答案：D。（系数取 6、3、12 的最大公约数 3；字母取各项都含有的 a、b；指数取最低次幂 a、b，故公因式为 3ab。） 例4　多项式 中各项的公因式是　　　　　　。 答案：。（系数 9；字母 a、x 取最低次幂 。） 例5　分解因式： (1) am−an＝　　　　　　；(2) ＝　　　　　　； (3) ＝　　　　　　；(4) ＝　　　　　　。 答案：(1) a(m−n)；(2) ；(3) x(x＋y)；(4) y(x＋y−z)。 师生活动：学生独立判断并说明理由，教师点评：因式分解要满足“右边是整式的积、是恒等变形”（例1）；提公因式后各项都要除尽，不能漏项（例2 B）；“三定”法逐项检查（例3、例4）。 会辨别因式分解与整式乘法；会用“三定”法确定公因式，并能正确提出公因式写出另一个因式。 判断题组针对“乘积形式”“恒等变形”“不漏项”三个易错点，公因式题训练“三定”程序的运用，为下节课熟练分解打基础。 二、探究新知 （简算应用） 二、探究新知 例6　计算：29×20.25＋72×20.25＋13×20.25−20.25×14。 解：原式＝20.25×(29＋72＋13−14)＝20.25×100＝2025。 点拨：各项都含 20.25，逆用分配律提取公因数，把四个乘法化为一个乘法，运算大大简化。 例7　利用因式分解计算： (1) ； 解：原式＝99×(99＋1)＝99×100＝9900。 (2) 。 解：原式＝＝＝＝−。 师生活动：学生先按常规计算感到繁琐，再用提公因数简算对比；幂公因式题（例7(2)）教师提示把 (−2) 的幂统一写成 2 的幂，提取最低次幂，渗透“提公因式”在幂运算中的应用。 会逆用分配律提取公因数进行简算；会把幂的公因式提出，简化幂的和差运算。 两道简算题让学生再次体验“提公因式”的价值，幂公因式题拓展了公因式的形态，深化对公因式概念的理解。 三、当堂练习 三、当堂练习 1. 完成教材 P125 练习第 1、2、3 题。 2. 把 分解因式得 ，则 c 的值为 A. 2　　B. 3　　C. −2　　D. −3 答案：A。，由恒等关系得 c＝2。） 3. 下列各组代数式中，没有公因式的是 A. 5m(a−b) 与 b−a　　B. 与 −a−b　　C. mx＋y 与 x＋y　　D. 与 答案：C。（A 的 b−a＝−(a−b)；B 的 −a−b＝−(a＋b)；D 两式都有公因式 a（进一步有 ab）；C 的两项 mx 与 y 无公共因式。） 4. 分解因式： (1) mn＋4n＝　　　　　　；(2) ＝　　　　　　； (3) ＝　　　　　　；(4) ＝　　　　　　。 答案：(1) n(m＋4)；(2) a(a＋b−1)；(3) x(x−3)；(4) 。 师生活动：限时独立完成，小组核对；教师讲评第 2 题用“恒等展开”定字母取值、第 3 题注意互为相反数的变形、第 4(4) 题公因式只提 x 而不是提 −x 时符号的处理。 会用恒等展开确定待定系数；能判断各组式子的公因式（含互为相反数的变形）；能正确提出单项式公因式。 练习覆盖“恒等定值—公因式辨析—提公因式”三个层次，检验概念学习中是否有遗漏，巩固找公因式的基本功。 四、课堂小结 布置作业 四、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 什么是因式分解？它与整式乘法有什么关系？ 2. 什么是公因式？如何确定多项式各项的公因式？ 3. 什么是提公因式法？ 布置作业：完成教材 P126～127 习题 17.1 第 1、2 题；对应课时练习。 回顾“因式分解—公因式—提公因式法”的知识主线；课后独立完成习题。 梳理本课知识框架，加深对因式分解概念的理解；作业促使学生巩固找公因式与提公因式的基本功。 板书设计 17.1　用提公因式法分解因式（第1课时：因式分解的概念） 一、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式（与整式乘法方向相反） 二、公因式“三定”：一定系数（最大公约数）、二定字母（相同字母）、三定指数（最低次幂） 三、提公因式法：多项式＝公因式×另一个因式 四、注意：右边必须是整式的积；是恒等变形；各项都要除尽不漏项 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $