17.1-17.2 因式分解习题集 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解 题集 目录 第1课时 因式分解 3 题型1 分解因式 3 题型2 综合运用 3 第2课时 平方差公式 4 题型1 分解因式 4 题型2 综合运用 4 题型3 求值 4 第3课时 完全平方公式 5 题型1 分解因式 5 题型2 综合运用 5 题型3 求值 5 第4课时 分组分解法 6 题型1 分组后可提公因式 6 题型2 分组后利用公式 6 第5课时 十字相乘法 7 题型1 二次项系数为1 7 题型2 二次项系数不为1 7 题型3 含参数型 7 第6课时 换元法 8 第7课时 因式分解的应用 9 题型1 求值 9 题型2 整除问题 9 题型3 判定符号 9 第8课时 情境创新题 10 第9课时 综合与实践 11 第1课时 因式分解 题型1 分解因式 【例1】分解因式：(1)12a2x3+6abx2y-15acx2=______；(2)-4a3b3+6a2b2-2ab2=______；(3)(2x-3y)(3x-2y)+(2y-3x)(2x+3y)=______。 【例2】分解因式：(1)a(1-b+b2)-1+b-b2；(2)x2(a-1)+x(1-a)；(3)4a(m-n)2-2a(n-m)。 题型2 综合运用 【例3】已知 x-y=3，xy=2，求 x2y-xy2 的值。 【例4】已知 x-y=-3，a-b=2，求 (y-x)(a-b-c)+(x-y)(b-a-c) 的值。 实战演练 1. 分解因式：(1)-6abc-14a2b2+12a3b；(2)4x(a2+x2)-a2-x2；(3)-6a3+15a2-12a4；(4)6(a-b)3-3b(b-a)。 2. 化简：(1)；(2)。 第2课时 平方差公式 题型1 分解因式 【例1】分解因式：(1)9(m-n)2-4(m+n)2；(2)(a+b+c+d)2-(a-b+c-d)2；(3)(3m-2n)2-(5m-6n)2；(4)16a4-1。 题型2 综合运用 【例2】分解因式：(1)xy3-4xy；(2)a2(x-y)+b2(y-x)；(3)8a2b2-2a2。 题型3 求值 【例3】已知 a-b=2，求 a2-b2-4b 的值。 实战演练 1. 分解因式：(1)4y2-(2z-x)2；(2)y4-81；(3)-2x2+y2；(4)(3x-2y)2-16y2。 2. 分解因式：(1)a3-9a；(2)3m(2x-y)2-3mn2；(3)(a-b)b2-4(a-b)。 第3课时 完全平方公式 题型1 分解因式 【例1】分解因式：(1)9x2-24xy+16y2；(2)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2。 题型2 综合运用 【例2】分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(x2+x)2-(x+1)2；(3)a2(a-b)+2ab(b-a)+b2(a-b)；(4)(m+2n)2+2(m+2n)(2m+n)+(2m+n)2。 题型3 求值 【例3】已知 a+b=3，ab=2，求 a3b+2a2b2+ab3 的值。 实战演练 1. 分解因式：(1)(x+y)2-4(x+y)+4；(2)4-12(x-y)+9(x-y)2。 2. 分解因式：(1)(c2-a2-b2)2-4a2b2；(2)(x2+4)2-16x2。 3. 简便计算：(1)2022+202×196+982；(2)184.52+184.5×31+15.52。 第4课时 分组分解法 题型1 分组后可提公因式 【例1】[问题]分解因式：x2-4y2-2x+4y。 [应用]分解因式：(1)x2+6y-3x-2xy；(2)x3+3x2y-4x-12y。 题型2 分组后利用公式 【例2】分解因式：(1)a2-2ab+b2-c2；(2)x2-y2-4x+4；(3)1-x2-y2-2xy；(4)9a2-b2-4c2+4bc。 实战演练 1. 分解因式：(1)x2-4y2-10x+20y；(2)x2-2xy+y2-5x+5y。 2. 分解因式：(1)x2-y2-z2+2yz；(2)x2-4y2-10x+25。 3. △ABC 的三边分别为 a，b，c，当 b2-c2+2ab-2ac=0 时，试判断△ABC 的形状。 第5课时 十字相乘法 题型1 二次项系数为1 【例1】分解因式：(1)x2+5x+6；(2)x2-6x+8；(3)(x+y)2-4(x+y)-12。 题型2 二次项系数不为1 【例2】分解因式：(1)3a2-7a-6；(2)5x2+12x-9；(3)6x2-5xy-6y2。 题型3 含参数型 【例3】分解因式：(1)x2-(b+1)x+b；(2)kx2+(2k-3)x+k-3；(3)(m+1)x2-x-m。 实战演练 1. 分解因式：(1)y2-y-12=______；(2)y2+8y+15=______；(3)y2+6y-16=______；(4)x4-5x2+4=______。 2. 分解因式：(1)3x2-8x-3；(2)-12x2+11x+15；(3)6x2-5xy-4y2；(4)12x2-25xy+12y2。 3. 分解因式：(1)ax2-(a2-1)x-a；(2)x4-x2(a2+1)+a2。 第6课时 换元法 【例】(1)因式分解：(a+b)(a+b-4)+4；(2)求证：若 n 为正整数，则代数式 (n+1)(n+2)(n2+3n)+1 的值一定是某一个整数的平方。 实战演练 1. 分解因式：(1)x(x+1)(x+2)(x+3)+1；(2)(x-5)(x-1)(x-2)(x+2)+36。 2. 分解因式：(1)(x2+x)2-8(x2+x)+12；(2)(x2+3x-9)(x2+3x+1)+25。 3. 分解因式：(1)(2a+3b)2-4(2a+3b)-12；(2)(x2-x)(x2-x-14)+24。 第7课时 因式分解的应用 题型1 求值 【例1】已知 ab=-3，a+b=2，求 a3b+ab3 的值。 题型2 整除问题 【例2】求证：当 n 为整数时，多项式 (2n+1)2-(2n-1)2 一定能被 8 整除。 题型3 判定符号 【例3】已知 a，b，c 是△ABC 的三边，求证：(a-c)2-b2 是负数。 实战演练 1. 已知 4x+y=20，2x-3y=5，求 (x+2y)2-(3x-y)2 的值。 2. 已知 a，b，c 是△ABC 的三边，且满足 a2+b2+2c2=2c(a+b)，判定△ABC 的形状。 3. 若 a2≠b2，求证：(a2+b2)2-4a2b2 为正数。 第8课时 情境创新题 【变式1】数学小组在研究式子 M2-N2 时，发现当 M，N 是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律：112-112=0，212-122=1×3×99，322-232=1×5×99，422-242=2×6×99，根据上述规律解决下列问题： (1)填空：522-252=______×7×99； (2)若两位数 M，十位上的数字为 a，个位上的数字为 b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小勤发现某一式子 M2-N2(M≠N) 的结果恰好是一个整数的平方，直接写出 M 的值。 【变式2】在互联网时代，智能手机几乎人手必备，锁屏密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 x2-1 因式分解的结果为 (x-1)(x+1)，当 x=13 时，x-1=12，x+1=14，此时可以得到数字密码 1214 或 1412。 (1)根据上述方法，若多项式为 x2-16，当 x=15 时，求出锁屏密码； (2)小敏同学设计的多项式为 x3-9xy2，根据上述方法，当 x=25，y=2 时，写出由多项式生成的六位数的锁屏密码； (3)若多项式 x3+(m-3n)x2-nx-21 因式分解后，利用上述方法，当 x=27 时可以得到其中一个六位数的数字密码为 242834，求 m，n 的值。 第9课时 综合与实践 【例】通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。例如：图1可以得到 (a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】(1)①若 xy=8，x+y=6，则 x2+y2 的值为______；②若 (x-1)(5-x)=3，则 (x-1)2+(5-x)2 的值是______； 【迁移应用】(2)两块完全相同的直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中 A，O，D 在一直线上，连接 AC，BD，若 AD=14，S△AOC+S△BOD=54，求一块三角板的面积。 实战演练 【阅读材料】若 x2+y2=34，x-y=2，求 xy 的值。 【拓展应用】(1)已知 (x-2024)2+(x-2025)2=2026，求 (x-2024)(x-2025) 的值； 【知识迁移】(2)如图，在线段 CE 上取一点 D，分别以 CD，DE 为边作正方形 ABCD，DEFG，连接 BG，CG，EG。若阴影部分的面积和为 11，△CDG 的面积为 7，求 CE 的长。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 题集 目录 第1课时 因式分解 2 题型1 分解因式 2 题型2 综合运用 2 第2课时 平方差公式 3 题型1 分解因式 3 题型2 综合运用 3 题型3 求值 3 第3课时 完全平方公式 4 题型1 分解因式 4 题型2 综合运用 4 题型3 求值 4 第4课时 分组分解法 5 题型1 分组后可提公因式 5 题型2 分组后利用公式 5 第5课时 十字相乘法 6 题型1 二次项系数为1 6 题型2 二次项系数不为1 6 题型3 含参数型 6 第6课时 换元法 7 第7课时 因式分解的应用 8 题型1 求值 8 题型2 整除问题 8 题型3 判定符号 8 第8课时 情境创新题 9 第9课时 综合与实践 11 第1课时 因式分解 题型1 分解因式 【例1】分解因式：(1)12a2x3+6abx2y-15acx2=______；(2)-4a3b3+6a2b2-2ab2=______；(3)(2x-3y)(3x-2y)+(2y-3x)(2x+3y)=______。 解：(1)原式=3ax2(4ax+2by-5c)；(2)原式=-2ab2(2a2b-3a+1)；(3)原式=(2x-3y)(3x-2y)-(3x-2y)(2x+3y)=(3x-2y)(2x-3y-2x-3y)=-6y(3x-2y)。 【例2】分解因式：(1)a(1-b+b2)-1+b-b2；(2)x2(a-1)+x(1-a)；(3)4a(m-n)2-2a(n-m)。 解：(1)原式=a(1-b+b2)-(1-b+b2)=(1-b+b2)(a-1)；(2)原式=x2(a-1)-x(a-1)=x(a-1)(x-1)；(3)原式=4a(m-n)2+2a(m-n)=2a(m-n)(2m-2n+1)。 题型2 综合运用 【例3】已知 x-y=3，xy=2，求 x2y-xy2 的值。 解：x2y-xy2=xy(x-y)=2×3=6。 【例4】已知 x-y=-3，a-b=2，求 (y-x)(a-b-c)+(x-y)(b-a-c) 的值。 解：∵x-y=-3，∴y-x=3。原式=3(a-b-c)-3(b-a-c)=3[(a-b-c)-(b-a-c)]=3(2a-2b)=6(a-b)=6×2=12。 实战演练 1. 分解因式：(1)-6abc-14a2b2+12a3b；(2)4x(a2+x2)-a2-x2；(3)-6a3+15a2-12a4；(4)6(a-b)3-3b(b-a)。 解：(1)原式=-2ab(3c+7ab-6a2)；(2)原式=4x(a2+x2)-(a2+x2)=(a2+x2)(4x-1)；(3)原式=-3a2(4a2+2a-5)；(4)原式=6(a-b)3+3b(a-b)=3(a-b)[2(a-b)2+b]=3(a-b)(2a2-4ab+2b2+b)。 2. 化简：(1)；(2)。 解：(1)原式===52=25；(2)原式====。 第2课时 平方差公式 题型1 分解因式 【例1】分解因式：(1)9(m-n)2-4(m+n)2；(2)(a+b+c+d)2-(a-b+c-d)2；(3)(3m-2n)2-(5m-6n)2；(4)16a4-1。 解：(1)原式=[3(m-n)]2-[2(m+n)]2=[3(m-n)+2(m+n)][3(m-n)-2(m+n)]=(5m-n)(m-5n)；(2)原式=[(a+b+c+d)+(a-b+c-d)][(a+b+c+d)-(a-b+c-d)]=(2a+2c)(2b+2d)=4(a+c)(b+d)；(3)原式=[(3m-2n)+(5m-6n)][(3m-2n)-(5m-6n)]=(8m-8n)(-2m+4n)=16(m-n)(2n-m)；(4)原式=(4a2+1)(4a2-1)=(4a2+1)(2a+1)(2a-1)。 题型2 综合运用 【例2】分解因式：(1)xy3-4xy；(2)a2(x-y)+b2(y-x)；(3)8a2b2-2a2。 解：(1)原式=xy(y2-4)=xy(y+2)(y-2)；(2)原式=a2(x-y)-b2(x-y)=(x-y)(a2-b2)=(x-y)(a+b)(a-b)；(3)原式=2a2(4b2-1)=2a2(2b+1)(2b-1)。 题型3 求值 【例3】已知 a-b=2，求 a2-b2-4b 的值。 解：a2-b2-4b=(a+b)(a-b)-4b=2(a+b)-4b=2a+2b-4b=2a-2b=2(a-b)=2×2=4。 实战演练 1. 分解因式：(1)4y2-(2z-x)2；(2)y4-81；(3)-2x2+y2；(4)(3x-2y)2-16y2。 解：(1)原式=(2y+2z-x)(2y-2z+x)；(2)原式=(y2+9)(y2-9)=(y2+9)(y+3)(y-3)；(3)原式=(y2-4x2)=(y+2x)(y-2x)；(4)原式=(3x-2y+4y)(3x-2y-4y)=(3x+2y)(3x-6y)=3(3x+2y)(x-2y)。 2. 分解因式：(1)a3-9a；(2)3m(2x-y)2-3mn2；(3)(a-b)b2-4(a-b)。 解：(1)原式=a(a2-9)=a(a+3)(a-3)；(2)原式=3m[(2x-y)2-n2]=3m(2x-y+n)(2x-y-n)；(3)原式=(a-b)(b2-4)=(a-b)(b+2)(b-2)。 第3课时 完全平方公式 题型1 分解因式 【例1】分解因式：(1)9x2-24xy+16y2；(2)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2。 解：(1)原式=(3x-4y)2；(2)原式=(x2+4)2+2·(x2+4)·4x+(4x)2=(x2+4+4x)2=(x+2)4。 题型2 综合运用 【例2】分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(x2+x)2-(x+1)2；(3)a2(a-b)+2ab(b-a)+b2(a-b)；(4)(m+2n)2+2(m+2n)(2m+n)+(2m+n)2。 解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=x2(x+1)2-(x+1)2=(x+1)2(x2-1)=(x+1)2(x+1)(x-1)=(x+1)3(x-1)；(3)原式=a2(a-b)-2ab(a-b)+b2(a-b)=(a-b)(a2-2ab+b2)=(a-b)3；(4)原式=[(m+2n)+(2m+n)]2=(3m+3n)2=9(m+n)2。 题型3 求值 【例3】已知 a+b=3，ab=2，求 a3b+2a2b2+ab3 的值。 解：a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=2×32=18。 实战演练 1. 分解因式：(1)(x+y)2-4(x+y)+4；(2)4-12(x-y)+9(x-y)2。 解：(1)原式=(x+y-2)2；(2)原式=(2-3x+3y)2。 2. 分解因式：(1)(c2-a2-b2)2-4a2b2；(2)(x2+4)2-16x2。 解：(1)原式=(c2-a2-b2+2ab)(c2-a2-b2-2ab)=[c2-(a-b)2][c2-(a+b)2]=(c+a-b)(c-a+b)(c+a+b)(c-a-b)；(2)原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2。 3. 简便计算：(1)2022+202×196+982；(2)184.52+184.5×31+15.52。 解：(1)原式=2022+2×202×98+982=(202+98)2=3002=90000；(2)原式=184.52+2×184.5×15.5+15.52=(184.5+15.5)2=2002=40000。 第4课时 分组分解法 题型1 分组后可提公因式 【例1】[问题]分解因式：x2-4y2-2x+4y。 [解决]x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2)。这种分解因式的方法叫分组分解法。利用这种方法解决下列问题： [应用]分解因式：(1)x2+6y-3x-2xy；(2)x3+3x2y-4x-12y。 解：(1)原式=x(x-3)+2y(3-x)=x(x-3)-2y(x-3)=(x-3)(x-2y)；(2)原式=x2(x+3y)-4(x+3y)=(x+3y)(x2-4)=(x+3y)(x+2)(x-2)。 题型2 分组后利用公式 【例2】分解因式：(1)a2-2ab+b2-c2；(2)x2-y2-4x+4；(3)1-x2-y2-2xy；(4)9a2-b2-4c2+4bc。 解：(1)原式=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)；(2)原式=(x-2)2-y2=(x-2+y)(x-2-y)；(3)原式=1-(x+y)2=(1+x+y)(1-x-y)；(4)原式=9a2-(b-2c)2=(3a+b-2c)(3a-b+2c)。 实战演练 1. 分解因式：(1)x2-4y2-10x+20y；(2)x2-2xy+y2-5x+5y。 解：(1)原式=(x+2y)(x-2y)-10(x-2y)=(x-2y)(x+2y-10)；(2)原式=(x-y)2-5(x-y)=(x-y)(x-y-5)。 2. 分解因式：(1)x2-y2-z2+2yz；(2)x2-4y2-10x+25。 解：(1)原式=x2-(y-z)2=(x+y-z)(x-y+z)；(2)原式=(x-5)2-4y2=(x-5+2y)(x-5-2y)。 3. △ABC 的三边分别为 a，b，c，当 b2-c2+2ab-2ac=0 时，试判断△ABC 的形状。 解：∵b2-c2+2ab-2ac=0，∴(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0，即(b-c)(b+c+2a)=0。∵a，b，c 是△ABC 的三边，∴b+c+2a>0，∴b-c=0，即 b=c。∴△ABC 是等腰三角形。 第5课时 十字相乘法 题型1 二次项系数为1 【例1】分解因式：(1)x2+5x+6；(2)x2-6x+8；(3)(x+y)2-4(x+y)-12。 解：(1)原式=(x+2)(x+3)；(2)原式=(x-2)(x-4)；(3)原式=(x+y-6)(x+y+2)。 题型2 二次项系数不为1 【例2】分解因式：(1)3a2-7a-6；(2)5x2+12x-9；(3)6x2-5xy-6y2。 解：(1)原式=(3a+2)(a-3)；(2)原式=(5x-3)(x+3)；(3)原式=(3x+2y)(2x-3y)。 题型3 含参数型 【例3】分解因式：(1)x2-(b+1)x+b；(2)kx2+(2k-3)x+k-3；(3)(m+1)x2-x-m。 解：(1)原式=(x-1)(x-b)；(2)原式=(kx+k-3)(x+1)；(3)原式=(x-1)[(m+1)x+m]。 实战演练 1. 分解因式：(1)y2-y-12=______；(2)y2+8y+15=______；(3)y2+6y-16=______；(4)x4-5x2+4=______。 解：(1)(y-4)(y+3)；(2)(y+3)(y+5)；(3)(y+8)(y-2)；(4)(x2-1)(x2-4)=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)。 2. 分解因式：(1)3x2-8x-3；(2)-12x2+11x+15；(3)6x2-5xy-4y2；(4)12x2-25xy+12y2。 解：(1)原式=(3x+1)(x-3)；(2)原式=-(12x2-11x-15)=-(4x+3)(3x-5)；(3)原式=(3x-4y)(2x+y)；(4)原式=(3x-4y)(4x-3y)。 3. 分解因式：(1)ax2-(a2-1)x-a；(2)x4-x2(a2+1)+a2。 解：(1)原式=ax2-a2x+x-a=ax(x-a)+(x-a)=(x-a)(ax+1)；(2)原式=x2(x2-a2)-(x2-a2)=(x2-a2)(x2-1)=(x+a)(x-a)(x+1)(x-1)。 第6课时 换元法 【例】(1)因式分解：(a+b)(a+b-4)+4；(2)求证：若 n 为正整数，则代数式 (n+1)(n+2)(n2+3n)+1 的值一定是某一个整数的平方。 解：(1)设 a+b=t，则原式=t(t-4)+4=t2-4t+4=(t-2)2=(a+b-2)2。(2)证明：∵(n+1)(n+2)=n2+3n+2，∴设 n2+3n=t，则原式=(t+2)t+1=t2+2t+1=(t+1)2=(n2+3n+1)2。∵n 为正整数，∴n2+3n+1 是整数，∴代数式的值一定是整数 n2+3n+1 的平方。 实战演练 1. 分解因式：(1)x(x+1)(x+2)(x+3)+1；(2)(x-5)(x-1)(x-2)(x+2)+36。 解：(1)原式=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]+1=(x2+3x)(x2+3x+2)+1。设 x2+3x=t，则原式=t(t+2)+1=t2+2t+1=(t+1)2=(x2+3x+1)2。(2)原式=[(x-5)(x+2)][(x-1)(x-2)]+36=(x2-3x-10)(x2-3x+2)+36。设 x2-3x=t，则原式=(t-10)(t+2)+36=t2-8t+16=(t-4)2=(x2-3x-4)2=(x-4)2(x+1)2。 2. 分解因式：(1)(x2+x)2-8(x2+x)+12；(2)(x2+3x-9)(x2+3x+1)+25。 解：(1)设 x2+x=t，则原式=t2-8t+12=(t-2)(t-6)=(x2+x-2)(x2+x-6)=(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)。(2)设 x2+3x=t，则原式=(t-9)(t+1)+25=t2-8t+16=(t-4)2=(x2+3x-4)2=(x+4)2(x-1)2。 3. 分解因式：(1)(2a+3b)2-4(2a+3b)-12；(2)(x2-x)(x2-x-14)+24。 解：(1)设 2a+3b=t，则原式=t2-4t-12=(t-6)(t+2)=(2a+3b-6)(2a+3b+2)。(2)设 x2-x=t，则原式=t(t-14)+24=t2-14t+24=(t-2)(t-12)=(x2-x-2)(x2-x-12)=(x-2)(x+1)(x-4)(x+3)。 第7课时 因式分解的应用 题型1 求值 【例1】已知 ab=-3，a+b=2，求 a3b+ab3 的值。 解：a3b+ab3=ab(a2+b2)=ab[(a+b)2-2ab]=(-3)×[22-2×(-3)]=(-3)×10=-30。 题型2 整除问题 【例2】求证：当 n 为整数时，多项式 (2n+1)2-(2n-1)2 一定能被 8 整除。 证明：(2n+1)2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n。∵n 为整数，∴8n 能被 8 整除，即多项式一定能被 8 整除。 题型3 判定符号 【例3】已知 a，b，c 是△ABC 的三边，求证：(a-c)2-b2 是负数。 证明：(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b)。∵a，b，c 是△ABC 的三边，∴a+b>c，即 a-c+b>0；a<b+c，即 a-c-b<0。∴(a-c)2-b2=(正数)×(负数)<0，即 (a-c)2-b2 是负数。 实战演练 1. 已知 4x+y=20，2x-3y=5，求 (x+2y)2-(3x-y)2 的值。 解：(x+2y)2-(3x-y)2=[(x+2y)+(3x-y)][(x+2y)-(3x-y)]=(4x+y)(-2x+3y)=-(4x+y)(2x-3y)=-20×5=-100。 2. 已知 a，b，c 是△ABC 的三边，且满足 a2+b2+2c2=2c(a+b)，判定△ABC 的形状。 解：∵a2+b2+2c2=2c(a+b)，∴a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0，即(a-c)2+(b-c)2=0。∴a-c=0 且 b-c=0，∴a=b=c。∴△ABC 是等边三角形。 3. 若 a2≠b2，求证：(a2+b2)2-4a2b2 为正数。 证明：(a2+b2)2-4a2b2=a4+2a2b2+b4-4a2b2=a4-2a2b2+b4=(a2-b2)2。∵a2≠b2，∴(a2-b2)2>0，即 (a2+b2)2-4a2b2 为正数。 第8课时 情境创新题 板块一 数学活动（课本变式） 【变式1】数学小组在研究式子 M2-N2 时，发现当 M，N 是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律：112-112=0，212-122=1×3×99，322-232=1×5×99，422-242=2×6×99，根据上述规律解决下列问题： (1)填空：522-252=______×7×99； (2)若两位数 M，十位上的数字为 a，个位上的数字为 b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小勤发现某一式子 M2-N2(M≠N) 的结果恰好是一个整数的平方，直接写出 M 的值。 解：(1)522-252=2704-625=2079=3×7×99，故填 3。 (2)规律：当 M=10a+b，N=10b+a（a>b）时，M2-N2=99(a+b)(a-b)。证明：M2-N2=(10a+b)2-(10b+a)2=(10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a)=(11a+11b)(9a-9b)=99(a+b)(a-b)。 (3)M=65。因为 M2-N2=99(a+b)(a-b)=9×11×(a+b)(a-b)，要使它是完全平方数，只需 11(a+b)(a-b) 是完全平方数。又 1≤a≤9，1≤b≤9，a>b，所以 1≤a-b≤8，3≤a+b≤17，于是 11(a+b)(a-b)≤11×8×17=1496<11×122=1584，只需 (a+b)(a-b)=11（此时 11(a+b)(a-b)=121=112）或 44、99 等 11 的倍数。检验：(a+b)(a-b)=11=1×11，得 a+b=11，a-b=1，解得 a=6，b=5，M=65；(a+b)(a-b)=44=4×11，得 a+b=11，a-b=4，解得 a=7.5，不合题意；(a+b)(a-b)=99=9×11，得 a+b=11，a-b=9，解得 a=10，不合题意。故 M=65。验证：652-562=4225-3136=1089=332。 【变式2】在互联网时代，智能手机几乎人手必备，锁屏密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 x2-1 因式分解的结果为 (x-1)(x+1)，当 x=13 时，x-1=12，x+1=14，此时可以得到数字密码 1214 或 1412。 (1)根据上述方法，若多项式为 x2-16，当 x=15 时，求出锁屏密码； (2)小敏同学设计的多项式为 x3-9xy2，根据上述方法，当 x=25，y=2 时，写出由多项式生成的六位数的锁屏密码； (3)若多项式 x3+(m-3n)x2-nx-21 因式分解后，利用上述方法，当 x=27 时可以得到其中一个六位数的数字密码为 242834，求 m，n 的值。 解：(1)∵x2-16=(x+4)(x-4)，当 x=15 时，x+4=19，x-4=11，∴锁屏密码为 1911 或 1119。 (2)∵x3-9xy2=x(x2-9y2)=x(x+3y)(x-3y)，当 x=25，y=2 时，x=25，x+3y=31，x-3y=19，∴六位数的锁屏密码为 253119（或 311925、192531 等）。 (3)∵当 x=27 时，27-3=24，27+1=28，27+7=34，而密码为 242834，∴该多项式分解因式的结果为 (x-3)(x+1)(x+7)。展开：(x-3)(x+1)(x+7)=(x2-2x-3)(x+7)=x3+5x2-17x-21。与 x3+(m-3n)x2-nx-21 比较，得 -n=-17，m-3n=5，∴n=17，m=5+3n=5+51=56。 第9课时 综合与实践 【例】通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。例如：图1可以得到 (a+b)2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】(1)①若 xy=8，x+y=6，则 x2+y2 的值为______；②若 (x-1)(5-x)=3，则 (x-1)2+(5-x)2 的值是______； 【迁移应用】(2)两块完全相同的直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中 A，O，D 在一直线上，连接 AC，BD，若 AD=14，S△AOC+S△BOD=54，求一块三角板的面积。 解：【类比应用】(1)①x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×8=20；②设 u=x-1，v=5-x，则 u+v=4，uv=(x-1)(5-x)=3，∴(x-1)2+(5-x)2=u2+v2=(u+v)2-2uv=42-2×3=10。 【迁移应用】(2)∵两块三角板完全相同，∠AOB=∠COD=90°，且 A，O，D 在一直线上，∴OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD=90°。设 OA=OC=a，OB=OD=b，则 AD=OA+OD=a+b=14。∵S△AOC+S△BOD=OA·OC+OB·OD=a2+b2=54，∴a2+b2=108。∴(a+b)2=a2+b2+2ab=108+2ab=196，∴ab=44。∴一块三角板的面积=OA·OB=ab=×44=22。 实战演练 【阅读材料】若 x2+y2=34，x-y=2，求 xy 的值。 解：∵x2+y2=34，x-y=2，∴(x-y)2=x2+y2-2xy=4，∴xy=15。 【拓展应用】(1)已知 (x-2024)2+(x-2025)2=2026，求 (x-2024)(x-2025) 的值； 【知识迁移】(2)如图，在线段 CE 上取一点 D，分别以 CD，DE 为边作正方形 ABCD，DEFG，连接 BG，CG，EG。若阴影部分的面积和为 11，△CDG 的面积为 7，求 CE 的长。 解：(1)设 u=x-2024，v=x-2025，则 u-v=1。∵(u-v)2=u2+v2-2uv，∴1=2026-2uv，∴uv=，即 (x-2024)(x-2025)=。 (2)设 CD=a，DE=b，则 CE=a+b，正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 DEFG 的边长为 b。∵S△CDG=CD·DG=ab=7，∴ab=14。∵S△ABG=AB·AG=a(a-b)，S△EFG=GF·EF=b2，∴a(a-b)+b2=11，即 a2-ab+b2=11。把 ab=14 代入，得 (a2+b2)-7=11，∴a2+b2=36。∴(a+b)2=a2+b2+2ab=36+2×14=64，∴a+b=8（负值舍去），即 CE=8。 1 学科网（北京）股份有限公司 $