17.2用公式法分解因式知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版八年级上册

**基本信息** 以平方差公式和完全平方公式为核心，通过“概念辨析-直接应用-综合提升-实际应用”的层级训练，结合抽象能力与推理意识，构建公式法分解因式的完整方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识归纳|2个公式|明确公式结构特征（平方差：二项平方异号；完全平方：三项平方同号+2倍积）|从乘法公式逆向生成分解公式，建立“结构判断-公式选择”逻辑| |题型一至四|20题|判断依据公式特征，分解遵循“先判结构再套用”原则|从基础判断到直接应用，强化公式识别与运算能力| |题型五|5题|提公因式与公式法结合，先提后套|体现知识综合，培养分步解题思维| |题型六及强化|20题|应用于代数推理与实际问题，如求值、证不等关系|链接知识应用，发展模型意识与创新意识|

17.2用公式法分解因式知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版八年级上册 知识归纳 知识点1 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点2 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 题型突破 题型一：能否用平方差公式法分解因式的判断 1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 2.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 3．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（　　） A．x2﹣25 B．x3﹣4 C．x2﹣2x+1 D．x2+1 4．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣n2 C．4m2﹣1 D．（m+n）2﹣9 5．若多项式mx2﹣4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则m的值不可能是（　　） A．1 B．5 C．9 D．16 题型二：平方差公式法分解因式 1.把多项式分解因式，结果正确的是　　 A． B． C． D． 2.把2a2﹣8分解因式，结果正确的是(　　) A．2(a2﹣4) B．2(a﹣2)2 C．2(a+2)(a﹣2) D．2(a+2)2 3.解因式：9x2﹣y2＝　 　． 4.分解因式：ax2－4a＝__________． 5．把下列各式因式分解： （1）x2﹣25y2． （2）﹣4m2+25n2． （3）（a+b）2﹣4a2． （4）a4﹣1． （5）9（m+n）2﹣（m﹣n）2． （6）mx2﹣4my2． 题型三：能否用完全平方公式法分解因式的判断 1．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．a2+ab+b2 B．9y2﹣4y C．4a2+1﹣4a D．q2+2q﹣1 2.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②a2+ab+b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个． ①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2 A．2 B．3 C．4 D．5 5.下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型四：完全平方公式法分解因式 1．把2xy﹣x2﹣y2分解因式，结果正确的是（　　） A．（x﹣y）2 B．（﹣x﹣y）2 C．﹣（x﹣y）2 D．﹣（x+y）2 2.把多项式16x2﹣24x+9分解因式得（　　） A．（16x﹣3）2 B．（4x﹣3）2 C．（16x+3）（16x﹣3） D．（4x+3）（4x﹣3） 3．把下列各式分解因式． （1）n2﹣6mn+9m2 （2）a2﹣14ab+49b2 （3）a2﹣4ab+4b2 （4）m2﹣10m+25． 4.因式分解：（2x﹣y）2+4（2x﹣y）+4． 5.因式分解：（3a+2b）2﹣2（a+b）（3a+2b）+（a+b）2． 题型五：提公因式法与公式法分解因式综合 1．因式分解：2a2﹣12a+18＝（　　） A．2（a2﹣6a+9） B．（a﹣3）2 C．2（a﹣3）（a+3） D．2（a﹣3）2 2．因式分解： （1）2x2﹣12xy+18y2．（2）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2． 3．因式分解： （1）x3y﹣xy3；（2）﹣2a2b+16ab﹣32b． 4．因式分解： （1）a3b﹣2a2b2+ab3；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 5．因式分解： （1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 题型六：公式法分解因式的应用 1.已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 2.若是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D．16 3.已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 4.已知（为任意有理数），的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 5.已知是三边的长，且满足，则的形状为 ． 强化训练 1．下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．16m2﹣25n2 C．4x2+4x+1 D．a2+2ab﹣b2 2．已知x2+kx+36可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　） A．±6 B．±12 C．6 D．12 3．下面分解因式正确的是（　　） A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2 4．若多项式x2+mx+n可因式分解为（x﹣2）（x+3），则mn的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．1 5．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（　　） A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z 6．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（　　） A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017 7．若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，则a2﹣b2的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6 8．若二次三项式ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2），则当a＞0，b＜0，c＞0时，c1，c2的符号为（　　） A．c1＞0，c2＞0 B．c1＜0，c2＜0 C．c1＞0，c2＜0 D．c1，c2同号 9. 分解因式：x6﹣28x3+27＝　 　． 10．分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2＝　 　． 11．若多项式x2+mx+n分解因式后的结果为（x+2）（x+3），则m﹣n的值为 　 　． 12．若|a﹣2|+b2﹣2b+1＝0，则a2﹣b＝　 　． 13．已知4m+n＝40，2m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值． 14．下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解的过程： 解：设x2﹣4x＝y， 原式＝y（y+8）+16（第一步） ＝y2+8y+16（（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步）． 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了 　 　． A．提取公因式 B．逆用平方差公式 C．逆用完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果不彻底，应更正为 　 　． （3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解． 15．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如： ①用配方法分解因式：a2+4a+3． 解：原式：＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣1）＝（a+3）（a+1）； ②M＝2a2﹣4a+6，利用配方法求M的最小值． 解：M＝2a2﹣4a+6＝2（a2﹣2a+1）+6﹣2＝2（a﹣1）2+4， ∵2（a﹣1）2≥0，∴2（a﹣1）2+4≥4， ∴当a＝1时，M有最小值4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解x2﹣4x﹣12； （2）若M＝4x2+4x﹣1，求M的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2用公式法分解因式知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版八年级上册 知识归纳 知识点1 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点2 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 题型突破 题型一：能否用平方差公式法分解因式的判断 1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 【答案】B． 2.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【答案】C 3．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（　　） A．x2﹣25 B．x3﹣4 C．x2﹣2x+1 D．x2+1 【答案】A． 4．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣m2+n2 B．﹣m2﹣n2 C．4m2﹣1 D．（m+n）2﹣9 【答案】B． 5．若多项式mx2﹣4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解，则m的值不可能是（　　） A．1 B．5 C．9 D．16 【答案】B． 题型二：平方差公式法分解因式 1.把多项式分解因式，结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 2.把2a2﹣8分解因式，结果正确的是(　　) A．2(a2﹣4) B．2(a﹣2)2 C．2(a+2)(a﹣2) D．2(a+2)2 【答案】C 3.解因式：9x2﹣y2＝　 　． 【答案】(3x+y)(3x﹣y) 4.分解因式：ax2－4a＝__________． 【答案】a(x＋2)(x-2) 5．把下列各式因式分解： （1）x2﹣25y2． （2）﹣4m2+25n2． （3）（a+b）2﹣4a2． （4）a4﹣1． （5）9（m+n）2﹣（m﹣n）2． （6）mx2﹣4my2． 【答案】解：（1）原式＝（x+5y）（x﹣5y）； （2）原式＝（5n﹣2m）（5n+2m）； （3）原式＝（a+b﹣2a）（a+b+2a） ＝（b﹣a）（3a+b）； （4）原式＝（a2+1）（a2﹣1） ＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）； （5）原式＝（3m+3n﹣m+n）（3m+3n+m﹣n） ＝（2m+4n）（4m+2n） ＝4（m+2n）（2m+n）； （6）原式＝m（x2﹣4y2） ＝m（x﹣2y）（x+2y）． 题型三：能否用完全平方公式法分解因式的判断 1．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（　　） A．a2+ab+b2 B．9y2﹣4y C．4a2+1﹣4a D．q2+2q﹣1 【答案】C． 2.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3．下列各式中：①x2﹣2xy+y2；②a2+ab+b2；③﹣4ab﹣a2+4b2；④4x2+9y2﹣12xy；⑤3x2﹣6xy+3y2，能用完全平方公式分解的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 4.下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个． ①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A． 5.下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B． 题型四：完全平方公式法分解因式 1．把2xy﹣x2﹣y2分解因式，结果正确的是（　　） A．（x﹣y）2 B．（﹣x﹣y）2 C．﹣（x﹣y）2 D．﹣（x+y）2 【答案】C． 2.把多项式16x2﹣24x+9分解因式得（　　） A．（16x﹣3）2 B．（4x﹣3）2 C．（16x+3）（16x﹣3） D．（4x+3）（4x﹣3） 【答案】B． 3．把下列各式分解因式． （1）n2﹣6mn+9m2 （2）a2﹣14ab+49b2 （3）a2﹣4ab+4b2 （4）m2﹣10m+25． 【答案】解：（1）n2﹣6mn+9m2＝（n﹣3m）2； （2）a2﹣14ab+49b2＝（a﹣7b）2； （3）a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2； （4）m2﹣10m+25＝（m﹣5）2． 4.因式分解：（2x﹣y）2+4（2x﹣y）+4． 【答案】解：（2x﹣y）2+4（2x﹣y）+4＝（2x﹣y+2）2． 5.因式分解：（3a+2b）2﹣2（a+b）（3a+2b）+（a+b）2． 【答案】解：原式＝[（3a+2b）﹣（a+b）]2 ＝（2a+b）2． 题型五：提公因式法与公式法分解因式综合 1．因式分解：2a2﹣12a+18＝（　　） A．2（a2﹣6a+9） B．（a﹣3）2 C．2（a﹣3）（a+3） D．2（a﹣3）2 【答案】D． 2．因式分解： （1）2x2﹣12xy+18y2．（2）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2． 【答案】解：（1）2x2﹣12xy+18y2 ＝2（x2﹣6xy+9y2） ＝2（x﹣3y）2； （2）9（m﹣2n）2﹣（m+2n）2 ＝[3（m﹣2n）+（m+2n）][3（m﹣2n）﹣（m+2n）] ＝（3m﹣6n+m+2n）（3m﹣6n﹣m﹣2n） ＝（4m﹣4n）（2m﹣8n） ＝8（m﹣n）（m﹣4n） 3．因式分解： （1）x3y﹣xy3；（2）﹣2a2b+16ab﹣32b． 【答案】解：（1）x3y﹣xy3 ＝xy（x2﹣y2） ＝xy（x+y）（x﹣y）； （2）﹣2a2b+16ab﹣32b ＝﹣2b（a2﹣8a+16） ＝﹣2b（a﹣4）2． 4．因式分解： （1）a3b﹣2a2b2+ab3；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【答案】解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3 ＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） ＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）． 5．因式分解： （1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【答案】解：（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2 ＝﹣2a（a2﹣2ab+b2） ＝﹣2a（a﹣b）2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） ＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）． 题型六：公式法分解因式的应用 1.已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 【答案】A 2.若是方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 3.已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 4.已知（为任意有理数），的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 5.已知是三边的长，且满足，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 强化训练 1．下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．16m2﹣25n2 C．4x2+4x+1 D．a2+2ab﹣b2 【答案】D． 2．已知x2+kx+36可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　） A．±6 B．±12 C．6 D．12 【答案】B． 3．下面分解因式正确的是（　　） A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2 【答案】C． 4．若多项式x2+mx+n可因式分解为（x﹣2）（x+3），则mn的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．1 【答案】B． 5．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（　　） A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z 【答案】D． 6．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（　　） A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017 【答案】D． 7．若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，则a2﹣b2的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6 【答案】D． 8．若二次三项式ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2），则当a＞0，b＜0，c＞0时，c1，c2的符号为（　　） A．c1＞0，c2＞0 B．c1＜0，c2＜0 C．c1＞0，c2＜0 D．c1，c2同号 【答案】D． 9. 分解因式：x6﹣28x3+27＝　 　． 【答案】解：原式＝（x3）2﹣28x3+27， ＝（x3﹣1）（x3﹣27）， ＝（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）． 故答案为：（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）． 10．分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2＝　 　． 【答案】3（x+y）（x﹣y） 11．若多项式x2+mx+n分解因式后的结果为（x+2）（x+3），则m﹣n的值为 　 　． 【答案】1． 12．若|a﹣2|+b2﹣2b+1＝0，则a2﹣b＝　 　． 【答案】3． 13．已知4m+n＝40，2m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值． 【答案】解：（m+2n）2﹣（3m﹣n）2 ＝（m+2n+3m﹣n）（m+2n﹣3m+n） ＝（4m+n）（3n﹣2m） ＝﹣（4m+n）（2m﹣3n）， 当4m+n＝40，2m﹣3n＝5时，原式＝﹣40×5＝﹣200． 14．下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解的过程： 解：设x2﹣4x＝y， 原式＝y（y+8）+16（第一步） ＝y2+8y+16（（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步）． 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了 　 　． A．提取公因式 B．逆用平方差公式 C．逆用完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果不彻底，应更正为 　 　． （3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解． 【答案】解：（1）y2+8y+16＝（y+4）2（第三步），系逆用完全平方公式； 故答案为：C； （2）（x2﹣4x+4）2＝{（x﹣2）2}2＝（x﹣2）4； 故答案为：（x﹣2）4； （3）设x2﹣2x＝m， （x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4＝（m﹣1）（m+3）+4＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4． 15．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如： ①用配方法分解因式：a2+4a+3． 解：原式：＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣1）＝（a+3）（a+1）； ②M＝2a2﹣4a+6，利用配方法求M的最小值． 解：M＝2a2﹣4a+6＝2（a2﹣2a+1）+6﹣2＝2（a﹣1）2+4， ∵2（a﹣1）2≥0，∴2（a﹣1）2+4≥4， ∴当a＝1时，M有最小值4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解x2﹣4x﹣12； （2）若M＝4x2+4x﹣1，求M的最小值． 【答案】解：（1）x2﹣4x﹣12 ＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣12 ＝（x﹣2）2﹣16 ＝（x﹣6）（x+2）． （2）M＝4x2+4x﹣1 ＝（4x2+4x+1）﹣1﹣1 ＝（2x+1）2﹣2， ∵（2x+1）2≥0， ∴（2x+1）2﹣2≥﹣2， ∴当时，M有最小值﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $