17.1-17.2 因式分解习 专项练习 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解 题集 第1课时 因式分解的概念与提公因式法 一、知识梳理 1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 【特征】（1）要分解的式子是多项式；（2）因式分解的结果是整式的乘积的形式。 【温馨提醒】（1）因式分解与整式乘法是方向相反的变形；（2）分解后的每一个因式都要分解到不能再分解为止；（3）因式分解的结果要与原式相等；（4）几个相同因式的积要写成幂的形式。 2. 公因式的概念：多项式各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 【特征】（1）系数部分是取多项式各项系数的最大公因数；（2）字母部分是取多项式各项中含有的相同的字母的积，并且相同字母的指数取其次数最低的。 3. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 表达式：pa+pb+pc=p(a+b+c) 【温馨提醒】（1）提公因式法实质是乘法分配律的逆用；（2）根据公因式的概念，提取的因式要是各项的公因式；（3）公因式提取后，另一个多项式是原多项式各项与公因式相除所得的商式的和。 二、核心母题 【例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. (a+b)(a-b)=a2-b2 B. x2-2x-5=x(x-2)-5 C. 2x+1=x(2+) D. y2-5y=y(y-5) 【变式】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. x(x-2)=x2-2x B. (x+1)2=x2+2x+1 C. x2-4=(x+2)(x-2) D. x+2=x(1+) 【例2】（1）多项式m2-mn的公因式是______；（2）多项式x2+3x的公因式是______； （3）多项式-a2+2a的公因式是______；（4）多项式4x3-3x2+2x的公因式是______。 【变式】多项式ab2+2ac2的公因式是（ ） A. a B. b2 C. c2 D. ab2c2 【例3】把6a3b+4a2-a分解因式，首先找到公因式是______，提取公因式后另一个因式为______，所以6a3b+4a2-a=______。 【变式】把-x3+x2-x因式分解时，提出公因式-x后，另一个因式是（ ） A. x2-x B. x2+x-1 C. -x2+x D. x2-x+1 【例4】分解因式： （1）3x2-6xy+x；（2）-2x2+4x-8。 【变式】分解因式： （1）b2-ab+bc；（2）-m2n+5mn-n。 【例5】利用因式分解计算： （1）20292-2028×2029；（2）39×37+13×81-39×54。 【变式】利用因式分解简便计算： （1）23.7×0.125+76.3×0.125；（2）49×19.99+52×19.99-19.99。 【例6】如图，△ABC是某小区的一块空地，O是空地内安装喷泉的位置，它到三边的距离相等，即OD=OE=OF=m，a，b，c分别为△ABC的三边BC，AC，AB的长。 （1）用含a，b，c，m的式子表示这块空地的面积； （2）现测得m=8.48米，a=41米，b=34米，c=25米，求这块空地的面积。 第2课时 提公因式法的应用 一、知识梳理 因式分解的方法：提公因式法分解因式。 二、核心母题 【例1】写出下列多项式在分解因式时应提取的公因式： （1）4x(a-2b)-6y(a-2b)的公因式为______； （2）20x(a+b)2-30y(a+b)3的公因式为______。 【例2】对下列多项式进行因式分解： （1）2x3y3-4x3y2-6xy；（2）-6a3-10a2-2a； （3）3m(x+y)-9n(x+y)；（4）(x-3)2+3x-9； （5）2m(a-b)-3n(b-a)；（6）6a(m-n)2-8(n-m)3。 【变式】分解因式： （1）-4b2+2ab；（2）-4a3b+6a2b-5ab2。 【例3】（1）若mn=2，m-n=1，则代数式m2n-mn2=______； （2）先分解因式，再求值：(a-1)+2(a-1)，其中a=-2。 【变式】（1）已知x+5y=6，求x2+5xy+30y的值为______； （2）先分解因式，再求值：3n(m-3)+n(3-m)2，其中m=4，n=-2。 【例4】已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2-ab+ac-bc=0。求证：△ABC是等腰三角形。 【变式】如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值。 （1）a2b-ab2；（2）3a3b-3a2b2+3ab3。 【例5】阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式。 尝试运用： （1）分解因式：x2+xy-xz-yz； （2）已知xy=15，且满足x2y+y-xy2-x=28，求x-y的值。 第3课时 平方差公式分解因式 一、知识梳理 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 符号表述：a2-b2=(a+b)(a-b) 【温馨提醒】（1）平方差公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式；（2）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 二、核心母题 【例1】分解因式： （1）x2-4；（2）9x2-25y2；（3）x2y2-81； （4）100-x2；（5）-64x2+y2； （6）-1+a2。 【变式】分解因式： （1）16a2-1；（2）-m2n2+4； （3）x2-。 【例2】分解因式： （1）16x2-y4；（2）3a2-3；（3）25(x+y)2-4(x-y)2。 【变式】分解因式： （1）16x4-1；（2）-2a2+50b2；（3）(x+z)2-(y+z)2。 【例3】利用因式分解计算： （1）1002-992； （2）(1-)(1-)×…×(1-)。 【变式】利用因式分解简便计算： （1）1.952-2.952； （2）(1-)(1-)×…×(1-)。 【例4】先分解因式，再求值：(4x+y)2-9y2，其中x+y=2，y-2x=3。 【变式】先分解因式，再求值：(4x+5y)2-(3x-5y)2，其中x= ，y=1。 【例5】求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。 【变式】求证：当n为整数时，(n+14)2-n2能被28整除。 第4课时 完全平方公式分解因式 一、知识梳理 1. 完全平方式的概念：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，像这样的式子叫作完全平方式。 符号表述：（1）a2+2ab+b2；（2）a2-2ab+b2。 2. 完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 符号表述：（1）a2+2ab+b2=(a+b)2；（2）a2-2ab+b2=(a-b)2。 二、核心母题 【例1】填空： （1）若x2+8x+m是完全平方式，则m=______； （2）若x2-6x+n2是完全平方式，则n=______； （3）若多项式4x2-kx+25是一个完全平方式，则k=______。 【变式】填空： （1）若x2-6x+c是完全平方式，则常数c的值为______； （2）若x2+bx+4是完全平方式，则常数b的值为______； （3）若多项式x2+8x+k2是一个完全平方式，则k=______。 【例2】分解因式： （1）x2-10x+25；（2）a2+8ab+16b2； （3）m2+m+；（4）4x+4x2+1； （5）2a2-12ab+18b2；（6）-4ab-4a2-b2。 【变式】分解因式： （1）n2-12n+36；（2）4+4m+m2；（3）2x2-8x+8； （4）25m2-20mn+4n2；（5）-12mn+4m2+9n2； （6）a2-ab+b2。 【例3】分解因式： （1）(m+n)2-6(m+n)+9；（2）9(x-y)2+12(x-y)+4； （3）(a-2b)2-6(a-2b)c+9c2；（4）(x2+3x)(x2+3x+10)+25。 【变式】分解因式： （1）(x-y)2+4y(x-y)+4y2；（2）4(x+y)2-20(x+y)+25。 【例4】利用因式分解简便计算： （1）1022+2×98×102+982；（2）-101×190+1012+952。 【变式】利用因式分解计算： （1）872+87×26+132；（2）2×1012-101×204+2×512。 【例5】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，试判断该三角形的形状，并说明理由。 第5课时 因式分解的综合运用 一、知识梳理 分解因式的一般步骤： 一提：看有无公因式，如果有公因式，先提取公因式； 二公：看能不能运用公式，如果能运用公式，就运用公式法分解因式。 二、核心母题 【例1】分解因式： （1）3x3-12xy2；（2）x2(a-b)+25(b-a)。 【变式】分解因式： （1）4x2y2-4；（2）9a2(x-y)-16b2(x-y)。 【例2】分解因式： （1）-3x2+6xy-3y2；（2）18y3-27y4-3y2。 【变式】分解因式： （1）3ax2-6axy+3ay2；（2）4x3y-4x2y2+xy3； （3）4x2y+12xy+9y；（4）-3ax2+6axy-3ay2。 【例3】分解因式： （1）x4-16y4；（2）m4-18m2+81；（3）(a2+3a)2-(a-1)2。 【变式】分解因式： （1）a4-1；（2）x4-81y4；（3）(a2-4a)2+8(a2-4a)+16。 【例4】分解因式： （1）(x+1)(x+2)+；（2）(x+3)(4x-3)-9x。 【变式】分解因式： （1）(a+b)2-4ab；（2）(x2+16y2)2-64x2y2。 【例5】分解因式： （1）ax+ay+bx+by；（2）a2-6ab-16+9b2。 【变式】分解因式： （1）m2-n2-3m+3n；（2）a2-2a+1-b2。 【例6】（选学）十字相乘法分解因式： （1）x2-2x-15；（2）x2+3x-10；（3）y2+10y+21。 【变式】分解因式： （1）x2+7x+6；（2）x2-2x-8；（3）x2-8x+15。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 题集 第1课时 因式分解的概念与提公因式法 一、知识梳理 1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 【特征】（1）要分解的式子是多项式；（2）因式分解的结果是整式的乘积的形式。 【温馨提醒】（1）因式分解与整式乘法是方向相反的变形；（2）分解后的每一个因式都要分解到不能再分解为止；（3）因式分解的结果要与原式相等；（4）几个相同因式的积要写成幂的形式。 2. 公因式的概念：多项式各项都含有的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 【特征】（1）系数部分是取多项式各项系数的最大公因数；（2）字母部分是取多项式各项中含有的相同的字母的积，并且相同字母的指数取其次数最低的。 3. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 表达式：pa+pb+pc=p(a+b+c) 【温馨提醒】（1）提公因式法实质是乘法分配律的逆用；（2）根据公因式的概念，提取的因式要是各项的公因式；（3）公因式提取后，另一个多项式是原多项式各项与公因式相除所得的商式的和。 二、核心母题 【例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. (a+b)(a-b)=a2-b2 B. x2-2x-5=x(x-2)-5 C. 2x+1=x(2+1/x) D. y2-5y=y(y-5) 解：D 【变式】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. x(x-2)=x2-2x B. (x+1)2=x2+2x+1 C. x2-4=(x+2)(x-2) D. x+2=x(1+2/x) 解：C 【例2】（1）多项式m2-mn的公因式是______；（2）多项式x2+3x的公因式是______； （3）多项式-a2+2a的公因式是______；（4）多项式4x3-3x2+2x的公因式是______。 解：（1）m；（2）x；（3）-a；（4）x 【变式】多项式ab2+2ac2的公因式是（ ） A. a B. b2 C. c2 D. ab2c2 解：A 【例3】把6a3b+4a2-a分解因式，首先找到公因式是______，提取公因式后另一个因式为______，所以6a3b+4a2-a=______。 解：a；6a2b+4a-1；a(6a2b+4a-1) 【变式】把-x3+x2-x因式分解时，提出公因式-x后，另一个因式是（ ） A. x2-x B. x2+x-1 C. -x2+x D. x2-x+1 解：D 【例4】分解因式： （1）3x2-6xy+x；（2）-2x2+4x-8。 解：（1）原式=x(3x-6y+1)； （2）原式=-2(x2-2x+4)。 【变式】分解因式： （1）b2-ab+bc；（2）-m2n+5mn-n。 解：（1）原式=b(b-a+c)； （2）原式=-n(m2-5m+1)。 【例5】利用因式分解计算： （1）20292-2028×2029；（2）39×37+13×81-39×54。 解：（1）原式=2029×(2029-2028)=2029； （2）原式=13×111+13×81-13×162=13×(111+81-162)=13×30=390。 【变式】利用因式分解简便计算： （1）23.7×0.125+76.3×0.125；（2）49×19.99+52×19.99-19.99。 解：（1）原式=0.125×(23.7+76.3)=0.125×100=12.5； （2）原式=19.99×(49+52-1)=19.99×100=1999。 【例6】如图，△ABC是某小区的一块空地，O是空地内安装喷泉的位置，它到三边的距离相等，即OD=OE=OF=m，a，b，c分别为△ABC的三边BC，AC，AB的长。 （1）用含a，b，c，m的式子表示这块空地的面积； （2）现测得m=8.48米，a=41米，b=34米，c=25米，求这块空地的面积。 解：（1）连接OA，OB，OC， 则S△ABC=BC·OD+AC·OE+AB·OF=ma+mb+mc。 （2）ma+mb+mc=m(a+b+c)。 ∵m=8.48，a=41，b=34，c=25， ∴原式=×8.48×(41+34+25)=424。 答：这块空地的面积为424 m²。 第2课时 提公因式法的应用 一、知识梳理 因式分解的方法：提公因式法分解因式。 二、核心母题 【例1】写出下列多项式在分解因式时应提取的公因式： （1）4x(a-2b)-6y(a-2b)的公因式为______； （2）20x(a+b)2-30y(a+b)3的公因式为______。 解：（1）2(a-2b)；（2）10(a+b)2。 【例2】对下列多项式进行因式分解： （1）2x3y3-4x3y2-6xy；（2）-6a3-10a2-2a； （3）3m(x+y)-9n(x+y)；（4）(x-3)2+3x-9； （5）2m(a-b)-3n(b-a)；（6）6a(m-n)2-8(n-m)3。 解：（1）原式=2xy(x2y2-2x2y-3)； （2）原式=-2a(3a2+5a+1)； （3）原式=3(x+y)(m-3n)； （4）原式=(x-3)2+3(x-3)=(x-3)(x-3+3)=x(x-3)； （5）原式=2m(a-b)+3n(a-b)=(a-b)(2m+3n)； （6）原式=6a(m-n)2+8(m-n)3=2(m-n)2(3a+4m-4n)。 【变式】分解因式： （1）-4b2+2ab；（2）-4a3b+6a2b-5ab2。 解：（1）原式=-2b(2b-a)； （2）原式=-ab(4a2-6a+5b)。 【例3】（1）若mn=2，m-n=1，则代数式m2n-mn2=______； （2）先分解因式，再求值：(a-1)+2(a-1)，其中a=-2。 解：（1）m2n-mn2=mn(m-n)=2×1=2； （2）原式=(a-1)(a2+2)；当a=-2时，原式=(-2-1)×(4+2)=-3×6=-18。 【变式】（1）已知x+5y=6，求x2+5xy+30y的值为______； （2）先分解因式，再求值：3n(m-3)+n(3-m)2，其中m=4，n=-2。 解：（1）x2+5xy+30y=x(x+5y)+30y=6x+30y=6(x+5y)=6×6=36； （2）原式=3n(m-3)+n(m-3)2=n(m-3)(3+m-3)=mn(m-3)； 当m=4，n=-2时，原式=-2×4×(4-3)=-8。 【例4】已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2-ab+ac-bc=0。求证：△ABC是等腰三角形。 解：证明：∵a2-ab+ac-bc=0， ∴a(a-b)+c(a-b)=0， ∴(a+c)(a-b)=0。 ∵a+c>0，∴a-b=0，∴a=b，即△ABC是等腰三角形。 【变式】如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值。 （1）a2b-ab2；（2）3a3b-3a2b2+3ab3。 解：根据题意，得a-b=1，ab=12。 （1）原式=ab(a-b)=12×1=12； （2）∵a2+b2=(a-b)2+2ab=1+2×12=25， ∴原式=3ab(a2-ab+b2)=3×12×(25-12)=468。 【例5】阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式。 解：解：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)。 尝试运用： （1）分解因式：x2+xy-xz-yz； （2）已知xy=15，且满足x2y+y-xy2-x=28，求x-y的值。 解：（1）原式=(x2+xy)-(xz+yz)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z)； （2）x2y+y-xy2-x=xy(x-y)-(x-y)=(xy-1)(x-y)=28， ∵xy=15，∴(15-1)(x-y)=28，∴x-y=2。 第3课时 平方差公式分解因式 一、知识梳理 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 符号表述：a2-b2=(a+b)(a-b) 【温馨提醒】（1）平方差公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式；（2）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 二、核心母题 【例1】分解因式： （1）x2-4；（2）9x2-25y2；（3）x2y2-81； （4）100-x2；（5）-64x2+y2； （6）-1+a2。 解：（1）原式=(x+2)(x-2)； （2）原式=(3x+5y)(3x-5y)； （3）原式=(xy+9)(xy-9)； （4）原式=(10+x)(10-x)； （5）原式=(y+8x)(y-8x)； （6）原式=(a+1)(a-1)。 【变式】分解因式： （1）16a2-1；（2）-m2n2+4； （3）x2-。 解：（1）原式=(4a)2-12=(4a+1)(4a-1)； （2）原式=22-(mn)2=(2+mn)(2-mn)； （3）原式=(x)2-()2=(x+)(x-)。 【例2】分解因式： （1）16x2-y4；（2）3a2-3；（3）25(x+y)2-4(x-y)2。 解：（1）原式=(4x)2-(y2)2=(4x+y2)(4x-y2)； （2）原式=3(a2-1)=3(a+1)(a-1)； （3）原式=(5x+5y)2-(2x-2y)2=(5x+5y+2x-2y)(5x+5y-2x+2y)=(7x+3y)(3x+7y)。 【变式】分解因式： （1）16x4-1；（2）-2a2+50b2；（3）(x+z)2-(y+z)2。 解：（1）原式=(4x2+1)(4x2-1)=(4x2+1)(2x+1)(2x-1)； （2）原式=-2(a2-25b2)=-2(a+5b)(a-5b)； （3）原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]=(x+y+2z)(x-y)。 【例3】利用因式分解计算： （1）1002-992； （2）(1-)(1-)×…×(1-)。 解：（1）原式=(100+99)×(100-99)=199； （2）原式=(1-)(1+)(1-)(1+)×…×(1-)(1+) =××××…××=。 【变式】利用因式分解简便计算： （1）1.952-2.952； （2）(1-)(1-)×…×(1-)。 解：（1）原式=(1.95-2.95)×(1.95+2.95)=-1×4.9=-4.9； （2）原式=××××…××=。 【例4】先分解因式，再求值：(4x+y)2-9y2，其中x+y=2，y-2x=3。 解：原式=(4x+y+3y)(4x+y-3y)=(4x+4y)(4x-2y)=8(x+y)(2x-y)， 当x+y=2，y-2x=3时，原式=8×2×(-3)=-48。 【变式】先分解因式，再求值：(4x+5y)2-(3x-5y)2，其中x=1/2，y=1。 解：原式=(4x+5y+3x-5y)(4x+5y-3x+5y)=7x(x+10y)， 当x=，y=1时，原式=7××(+10)=10。 【例5】求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。 解：证明：∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n， ∴两个连续奇数2n+1与2n-1（n为整数）的平方差是8的整数倍。 【变式】求证：当n为整数时，(n+14)2-n2能被28整除。 解：证明：(n+14)2-n2=[(n+14)+n][(n+14)-n]=(2n+14)×14=28(n+7)， 又n为整数，∴(n+14)2-n2能被28整除。 第4课时 完全平方公式分解因式 一、知识梳理 1. 完全平方式的概念：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，像这样的式子叫作完全平方式。 符号表述：（1）a2+2ab+b2；（2）a2-2ab+b2。 2. 完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 符号表述：（1）a2+2ab+b2=(a+b)2；（2）a2-2ab+b2=(a-b)2。 二、核心母题 【例1】填空： （1）若x2+8x+m是完全平方式，则m=______； （2）若x2-6x+n2是完全平方式，则n=______； （3）若多项式4x2-kx+25是一个完全平方式，则k=______。 解：（1）16；（2）±3；（3）±20。 【变式】填空： （1）若x2-6x+c是完全平方式，则常数c的值为______； （2）若x2+bx+4是完全平方式，则常数b的值为______； （3）若多项式x2+8x+k2是一个完全平方式，则k=______。 解：（1）9；（2）±4；（3）±4。 【例2】分解因式： （1）x2-10x+25；（2）a2+8ab+16b2； （3）m^2+m+；（4）4x+4x2+1； （5）2a2-12ab+18b2；（6）-4ab-4a2-b2。 解：（1）原式=(x-5)2； （2）原式=(a+4b)2； （3）原式=(m+)2； （4）原式=(2x+1)2； （5）原式=2(a2-6ab+9b2)=2(a-3b)2； （6）原式=-(4a2+4ab+b2)=-(2a+b)2。 【变式】分解因式： （1）n2-12n+36；（2）4+4m+m2；（3）2x2-8x+8； （4）25m2-20mn+4n2；（5）-12mn+4m2+9n2； （6）a^2-ab+b2。 解：（1）原式=(n-6)2； （2）原式=(m+2)2； （3）原式=2(x2-4x+4)=2(x-2)2； （4）原式=(5m-2n)2； （5）原式=(2m-3n)2； （6）原式=(a-b)2。 【例3】分解因式： （1）(m+n)2-6(m+n)+9；（2）9(x-y)2+12(x-y)+4； （3）(a-2b)2-6(a-2b)c+9c2；（4）(x2+3x)(x2+3x+10)+25。 解：（1）原式=(m+n-3)2； （2）原式=[3(x-y)+2]2=(3x-3y+2)2； （3）原式=(a-2b-3c)2； （4）原式=(x2+3x)2+10(x2+3x)+25=(x2+3x+5)2。 【变式】分解因式： （1）(x-y)2+4y(x-y)+4y2；（2）4(x+y)2-20(x+y)+25。 解：（1）原式=(x-y+2y)2=(x+y)2； （2）原式=[2(x+y)-5]2=(2x+2y-5)2。 【例4】利用因式分解简便计算： （1）1022+2×98×102+982；（2）-101×190+1012+952。 解：（1）原式=(102+98)2=2002=40000； （2）原式=1012-2×101×95+952=(101-95)2=62=36。 【变式】利用因式分解计算： （1）872+87×26+132；（2）2×1012-101×204+2×512。 解：（1）原式=(87+13)2=1002=10000； （2）原式=2(1012-2×101×51+512)=2(101-51)2=2×502=5000。 【例5】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，试判断该三角形的形状，并说明理由。 解：等边三角形。理由如下： ∵a2+2b2+c2-2ab-2bc=0， ∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0， ∴(a-b)2+(b-c)2=0。 ∵(a-b)2≥0，(b-c)2≥0， ∴(a-b)2=(b-c)2=0，∴a=b=c， ∴△ABC为等边三角形。 第5课时 因式分解的综合运用 一、知识梳理 分解因式的一般步骤： 一提：看有无公因式，如果有公因式，先提取公因式； 二公：看能不能运用公式，如果能运用公式，就运用公式法分解因式。 二、核心母题 【例1】分解因式： （1）3x3-12xy2；（2）x2(a-b)+25(b-a)。 解：（1）原式=3x(x2-4y2)=3x(x+2y)(x-2y)； （2）原式=(a-b)(x2-25)=(a-b)(x+5)(x-5)。 【变式】分解因式： （1）4x2y2-4；（2）9a2(x-y)-16b2(x-y)。 解：（1）原式=4(x2y2-1)=4(xy+1)(xy-1)； （2）原式=(x-y)(9a2-16b2)=(x-y)(3a+4b)(3a-4b)。 【例2】分解因式： （1）-3x2+6xy-3y2；（2）18y3-27y4-3y2。 解：（1）原式=-3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2； （2）原式=-3y2(9y2-6y+1)=-3y2(3y-1)2。 【变式】分解因式： （1）3ax2-6axy+3ay2；（2）4x3y-4x2y2+xy3； （3）4x2y+12xy+9y；（4）-3ax2+6axy-3ay2。 解：（1）原式=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2； （2）原式=xy(4x2-4xy+y2)=xy(2x-y)2； （3）原式=y(4x2+12x+9)=y(2x+3)2； （4）原式=-3a(x2-2xy+y2)=-3a(x-y)2。 【例3】分解因式： （1）x4-16y4；（2）m4-18m2+81；（3）(a2+3a)2-(a-1)2。 解：（1）原式=(x2+4y2)(x2-4y2)=(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)； （2）原式=(m2-9)2=[(m+3)(m-3)]2=(m+3)2(m-3)2； （3）原式=(a2+3a+a-1)(a2+3a-a+1)=(a2+4a-1)(a2+2a+1)=(a2+4a-1)(a+1)2。 【变式】分解因式： （1）a4-1；（2）x4-81y4；（3）(a2-4a)2+8(a2-4a)+16。 解：（1）原式=(a2+1)(a2-1)=(a2+1)(a+1)(a-1)； （2）原式=(x2+9y2)(x2-9y2)=(x2+9y2)(x+3y)(x-3y)； （3）原式=(a2-4a+4)2=[(a-2)2]2=(a-2)4。 【例4】分解因式： （1）(x+1)(x+2)+；（2）(x+3)(4x-3)-9x。 （1）原式=x2+3x+2+=x^2+3x+=(x+)2； （2）原式=4x2-3x+12x-9-9x=4x2-9=(2x+3)(2x-3)。 【变式】分解因式： （1）(a+b)2-4ab；（2）(x2+16y2)2-64x2y2。 解：（1）原式=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2； （2）原式=(x2+16y2+8xy)(x2+16y2-8xy)=(x+4y)2(x-4y)2。 【例5】分解因式： （1）ax+ay+bx+by；（2）a2-6ab-16+9b2。 解：（1）原式=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)； （2）原式=(a2-6ab+9b2)-16=(a-3b)2-42=(a-3b+4)(a-3b-4)。 【变式】分解因式： （1）m2-n2-3m+3n；（2）a2-2a+1-b2。 解：（1）原式=(m2-n2)-(3m-3n)=(m+n)(m-n)-3(m-n)=(m-n)(m+n-3)； （2）原式=(a-1)2-b2=(a-1+b)(a-1-b)。 【例6】（选学）十字相乘法分解因式： （1）x2-2x-15；（2）x2+3x-10；（3）y2+10y+21。 解：（1）原式=(x+3)(x-5)； （2）原式=(x+5)(x-2)； （3）原式=(y+3)(y+7)。 【变式】分解因式： （1）x2+7x+6；（2）x2-2x-8；（3）x2-8x+15。 解：（1）原式=(x+1)(x+6)； （2）原式=(x-4)(x+2)； （3）原式=(x-3)(x-5)。 学科网（北京）股份有限公司 $