精品解析：江苏盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年 九年级上学期9月阶段检测数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1-2.3） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. A选项含有,两个未知数，不符合. B选项可整理为，满足全部条件，符合. C选项未说明，当时方程最高次数不为2，不符合. D选项没有等号，不是方程，不符合. 2. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 3. 若，且，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 4. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），现计划安排36场比赛，应安排（ ）个球队 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设应安排个球队参赛，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设应安排个球队参赛， 由题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴应安排9个球队． 5. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（ ）秒． A. 1 B. 2 C. 6 D. 2或6 【答案】B 【解析】 【分析】设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将反比例函数关系式进行变形，逐项判断即可． 【详解】解：由得． A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 7. 如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A. 6 B. 2.5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 8. 在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴一元二次方程的二次项系数不为， 即,解得． 10. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 11. 写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程的两根和二次项系数，先计算两根之和与两根之积，再利用根与系数的关系构造方程即可． 【详解】解：设两根为，, ∵ 计算两根之和, 计算两根之积, 二次项系数为， 根据根与系数的关系，所求方程为， ∴ 代入得所求方程为． 12. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 13. 若是反比例函数，则的值为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 15. 已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 16. 某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 【答案】50 【解析】 【分析】因为压强p是体积V的反比例函数，所以设反比例函数解析式为，．因为函数图像过点，所以将该点坐标代入解析式，可求出常数k的值．因为要求压强为时的体积，所以将代入确定后的反比例函数解析式，求解V即可． 【详解】解：∵是的反比例函数， 设解析式为 ． 由图像可知，反比例函数过点， 将代入得： ， 解得 ， 因此函数解析式为 ． 当压强时， 代入解析式： ， 解得 ． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 解一元二次方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）​， （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：，，，， ， ， 解得​，； 【小问4详解】 解：， ，即， 解得． 18. 请运用代数推理进行证明： （1）反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． （2）对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 【答案】（1）证明：设点是反比例函数图象上任意一点， 则，即． 点关于原点的对称点为， 将代入，得， ∴点也在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． （2）证明：设，是范围内的任意两个自变量的值，且， 则，． ∴． ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴当时，随的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称图形的定义，验证函数图象上任意一点关于原点对称的点仍在该函数图象上即可； （2）采用作差法，结合的条件比较任意两个自变量对应的函数值大小，即可判断增减性． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为，求此时的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中， ，，， ． 对任意实数，，即， 方程总有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负，即可证得方程总有两个实数根； （2）通过因式分解得到方程的两根，结合两根差为的条件列绝对值方程，求解得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将方程左边因式分解，得， 解得，， 方程两个根的差为， ，即， 化简得， 或， 解得或. 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰，，另外两条边是该方程的根，若存在，求的周长，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：对于方程，，，， ， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根； （2）解：不存在这样的等腰， 理由如下：解方程， 配方得， 开方得， ∴ ，． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴另外两条边的长度不相等，即等腰三角形的相等边为其中一条边与相等， 分两种情况： ① 若，则， 解得， 此时， 边长不能为0，不符合题意，舍去； ② 若，则， 解得， 此时， 三角形三边长为、、， ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． 综上所述，不存在这样的等腰． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为 （2）30分钟 （3）有效，理由如下： 把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 【解析】 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【小问1详解】 解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧后y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． 【小问3详解】 略 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；； （2）或； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点D的坐标，再根据，列方程求出的值，进一步求出点P坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：当或时，； 【小问3详解】 解：如图， 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为8，可得： ， ∴，即， 解得：或， 点的坐标为或． 23. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】（1）， （2）至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 （3） 解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． 【小问3详解】 略 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 （1）该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ （2）为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 【答案】（1） 该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 （2） 衬衫的单价应该降15元 【解析】 【分析】（1）利用月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列一元二次方程求解． 【小问1详解】  解：设4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，则6月份产量为件， 根据题意可知，， 解得，（不符合实际意义，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设衬衫的单价降元， ∵原平均每天售出20件，每件赢利40元，单价每降1元多售2件， ∴降价后每件利润为元，每天销售量为件， ∵每天赢利1250元， ∴， 解得， 答：衬衫的单价应该降15元． 25. 某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 【答案】（1） 月平均增长率为． （2） 每件商品的售价应降低元． 【解析】 【分析】（1）本题为增长率问题，由初始量最终量（为增长月数），列方程即可求出增长率； （2）由利润公式：单件商品利润销售量总利润，列方程解决问题，注意题目要求尽量减少库存，优先选择降价多的方案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 设每件商品的售价应该降低元，则每件商品的利润为元，每天的销量为件， 依题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：每件商品的售价应该降低元． 26. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【小问1详解】 解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 ∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 27. 九（1）班数学兴趣小组对苏科版数学九年级上册第28页问题6进行了创新改编： 【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为，点从点出发沿以的速度向点运动，同时，点从点出发沿以的速度向点运动，当点到达点后，动点都停止运动．时间经过多少秒后，的面积是； 【问题拓展】（2）如图2，正方形的对角线长为，是对角线上的两个动点，它们分别从点同时出发，沿对角线以的相同速度运动，过点作交的直角边于点，过点作交的直角边于点，分别连接，当点到达点，点到达点时运动停止． ①请判断四边形的形状，并说明理由； ②时间经过多少秒后，四边形与的面积之和等于． 【迁移应用】（3）如图3，正方形中，点分别是边上的动点，且，分别连接、，求的最小值． 【答案】（1）时间经过秒或秒后，的面积是；（2）①四边形是矩形；②时间经过或秒后，四边形与的面积之和等于；（3） 【解析】 【分析】（1）设时间经过秒后，的面积是，由运动可得，，，，再根据列方程求解即可； （2）①设时间经过秒后，根据正方形的性质可知可得，再由平行线的判定定理可知，最后根据垂直得到四边形是矩形，注意分类讨论． ②根据与两种情况讨论表示出四边形与的面积之和，再列方程求解即可； （3）设，，则，，，再设，根据一元二次方程可得，再根据二次函数求得，即可得到最小值为，此时最小，即最小． 【详解】解：（1）设时间经过秒后，的面积是； ∵正方形的边长为， ∴，， ∵点从点出发沿以的速度向点运动，同时，点从点出发沿以的速度向点运动， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， 解得， ∵当点到达点后，动点都停止运动， ∴，解得， ∴， ∴时间经过秒或秒后，的面积是； （2）①四边形是矩形，理由如下： 当时，在左边，如图，连接交于， ∵正方形的对角线长为， ∴，，， ∵是对角线上的两个动点，它们分别从点同时出发，沿对角线以的相同速度运动，当点到达点，点到达点时运动停止，设时间经过秒后， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理当时，在右边， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 综上所述，四边形是矩形； ②当时，在左边，如图，连接交于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形与的面积之和等于， ∴， 整理得 ，方程无解； 当时，在右边，如图，连接交于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形与的面积之和等于， ∴， 整理得， 解得：，， 综上所述，时间经过或秒后，四边形与的面积之和等于； （3）设，，则 在中， 在中， 设， ∴， 整理得， ∵方程有解， ∴当时，，此时，符合题意， 当时，， 整理得， 令，当时，解得， 函数图象如下： ∴的解集为， ∵， ∴最小值为，此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，二次函数的性质，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质，二次根式的混合运算，第（3）问难度比较大，几何问题转换成一元二次方程和二次函数综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年 九年级上学期9月阶段检测数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1-2.3） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 3. 若，且，，则=（ ） A. B. C. D. 4. 为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），现计划安排36场比赛，应安排（ ）个球队 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（ ）秒． A. 1 B. 2 C. 6 D. 2或6 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A. 6 B. 2.5 C. 3 D. 2 8. 在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 10. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 11. 写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为______． 12. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 13. 若是反比例函数，则的值为_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 15. 已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 16. 某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 解一元二次方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 请运用代数推理进行证明： （1）反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． （2）对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为，求此时的值． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰，，另外两条边是该方程的根，若存在，求的周长，若不存在，说明理由． 21. 为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 23. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 （1）该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ （2）为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 25. 某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． （1）据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 26. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 27. 九（1）班数学兴趣小组对苏科版数学九年级上册第28页问题6进行了创新改编： 【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为，点从点出发沿以的速度向点运动，同时，点从点出发沿以的速度向点运动，当点到达点后，动点都停止运动．时间经过多少秒后，的面积是； 【问题拓展】（2）如图2，正方形的对角线长为，是对角线上的两个动点，它们分别从点同时出发，沿对角线以的相同速度运动，过点作交的直角边于点，过点作交的直角边于点，分别连接，当点到达点，点到达点时运动停止． ①请判断四边形的形状，并说明理由； ②时间经过多少秒后，四边形与的面积之和等于． 【迁移应用】（3）如图3，正方形中，点分别是边上的动点，且，分别连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $