精品解析：江苏宿迁市崇文初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段学情自测数学试卷

2026~2027学年江苏省宿迁市崇文初级中学第一学期第一次测试 初三数学试卷 本卷满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意依据一元二次方程必须满足的四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行验证即可． 【详解】解：A、由可得即，不是一元二次方程，选项错误； B、形式是一元二次方程，但二次项系数a没有标注不等于0，选项错误； C、符合一元二次方程定义．正确． D、含有两个未知数，选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设（为常数，）， 将，代入， 得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 故答案是： 3. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：连接OA，OB． ∵∠APB=45°， ∴∠AOB=2∠APB=90°． ∵OA=OB=2， ∴AB==2． 故选：C． 4. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分点在第一、三象限两种情况讨论． 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 将代入，得 ． 当点在第一象限时，，此时，满足； 当点在第三象限时，， ∵ ，且第三象限内随增大而减小， ∴ ． 综上，的取值范围是或． 5. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用为的直径，，求出，根据得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到，最后，由两直线平行，内错角相等得出． 【详解】解：是的直径， ， 又， ， ， ， ， ， ． 6. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之和为1 D. 两根之积为 【答案】D 【解析】 【分析】先计算根的判别式排除A选项，再利用根与系数的关系验证其余选项． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故A错误． 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系，得 ，， ∵， ∴，即两根之和不为1，故C错误． ∵， ∴两根异号，故B错误，D正确． 7. 如图，为反比例函数上的点，若线段绕点顺时针旋转到，O点对应H点，当P、H在同一个反比例函数图像上时，则是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转性质构造全等三角形求出点的坐标，代入反比例函数解析式建立关于a，b的等式，转化为关于的一元二次方程求解． 【详解】解：过点作轴于，过点作于，如图 在上， ， 线段OP绕点顺时针旋转到 在和中 ， ． 点横坐标为，纵坐标为． 在上， ， ， 等式两边同除以得：． 设，则， 解得， 在第一象限， ， ． 8. 如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 10. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10，半径为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题关键是熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径． 11. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】设，则可得到点B的纵坐标为，点B的横坐标为，据此求出的长，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴． 12. 如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 【答案】20 【解析】 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 13. 反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； ∴或， 故答案为：或． 14. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天下载量达到150万次．设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键． 设下载量的日平均增长率为x，则第二天下载量为，则第三天下载量为，即可建立方程． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为， 故答案为：． 15. 下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的有________________．（填序号） 【答案】③⑤ 【解析】 【分析】逐一验证每个结论，注意圆相关定理的前提限制条件，即可得到正确结果． 【详解】解：①只有不共线的三点才能确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，故①错误； ②只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，故②错误； ③圆内接四边形对角互补，符合圆的性质，故③正确； ④只有当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，且平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，结论不成立，缺少前提条件，故④错误； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都相等，符合外心的性质，故⑤正确； 综上，正确的结论是③⑤． 16. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， 整理得， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 17. 如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 18. 如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， 即． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求k的值． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算判别式并配方，证明其恒正即可得证． （2）利用根与系数的关系代入已知等式求解k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ， ， 解得． 21. 如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【答案】5 【解析】 【分析】过点作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 22. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． （1）求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； （2）根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】（1）材料加热时，与的函数关系式为；停止加热进行锻造时与的函数关系式为： （2） 【解析】 【分析】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解，进而得出答案即可． 【小问1详解】 解：停止加热时，设， 由题意得， 解得：， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． ∴材料加热时，与的函数关系式为：， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：把代入中， 得， ． 答：锻造的操作时间为． 23. 如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴，即 ∵点D是弦延长线上一点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，根据为的直径，得出，根据，利用垂直平分线的性质可得，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明CE=CD； （2）先求得，如图，连接，，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论可得，再利用直角三角形的性质以及勾股定理可得，然后再求半径即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 如图，连接，， ∵所对圆心角的度数为， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∵为的直径， ∴的半径为． 24. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【小问1详解】 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． 【小问2详解】 略 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3）当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 【小问3详解】 解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 26. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是 ；（填写序号） ①；②；③ （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值； （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）①③ （2）的值为或 （3）这个“差根方程”为 【解析】 【分析】首先设该差根方程为，，是方程的两个实数根，满足，进行平方得到，根据勾股定理有，然后求出，，最后，由韦达定理得出结论． 【小问1详解】 解：，解得，，所以是差根方程；，解得，，所以不是差根方程；，解得，，所以是差根方程． 【小问2详解】 ，解得，因为该方程是差根方程，所以，解得． 【小问3详解】 设该差根方程为，，是方程的两个实数根，满足， ， ． 在中，， ， ， ， 或（舍去） 根据韦达定理得，，， ，， 这个“差根方程”为． 27. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标； （2）平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数解析式为， （2）存在满足条件的，坐标为 （3）点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． 【小问3详解】 解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 28. 如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． （1）当时，求的长； （2）求证： ； （3）是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6 （2）证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； （3）存在，的长为3或 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年江苏省宿迁市崇文初级中学第一学期第一次测试 初三数学试卷 本卷满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 2. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A. B. C. D. 3. 如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 4. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之和为1 D. 两根之积为 7. 如图，为反比例函数上的点，若线段绕点顺时针旋转到，O点对应H点，当P、H在同一个反比例函数图像上时，则是（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 10. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是_____． 11. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 12. 如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 13. 反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则___________． 14. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天下载量达到150万次．设下载量的日平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 15. 下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．正确的有________________．（填序号） 16. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则________________． 17. 如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 18. 如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求k的值． 21. 如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 22. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． （1）求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； （2）根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 23. 如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，，求的半径． 24. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 26. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是 ；（填写序号） ①；②；③ （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值； （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 27. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标； （2）平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． （1）当时，求的长； （2）求证： ； （3）是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $