3.2.2奇偶性 期中专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上数学期中专题复习：《奇偶性》核心题型总结 题型一：函数奇偶性的定义与判断 1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A．y＝x5 B． C．y＝2x2 D． 2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　） A． B．y＝x+1 C．y＝|x| D． 3．已知函数，则下列函数中为奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．f（x+1）﹣2 B．f（x+1）+2 C．f（1﹣x）+2 D．f（1﹣x）﹣2 4．（多选）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a∈R，下列结论正确的是（　　） A．存在实数a，使得函数f（x）为奇函数 B．存在实数a，使得函数f（x）为偶函数 C．当a＞0时，f（x）的单调增区间为，（a，+∞） D．当a＜0时，f（x）的单调减区间为 5．已知函数f（x）＝x（）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论． 题型二：由函数奇偶性求解析式 6．已知f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x＞0时，f（x）＝（　　） A．x（x﹣1） B．x（x+1） C．﹣x（x﹣1） D．﹣x（x+1） 7．已知y＝f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，，则当x∈（0，+∞）时，f（x）＝（　　） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x﹣1）+a，则下列说法正确的是（　　） A．a＝0 B．当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣x C．不等式f（x）＞2的解集为（2，+∞） D．函数f（x）的单调增区间为 9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+2x2+1，则f（x）的解析式____________________ ． 10．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，函数的解析式为． （1）求f（2）的值； （2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数； （3）求函数f（x）的解析式． 题型三：由函数奇偶性解不等式 11．已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（2）＝0，若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） 12．设奇函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有不等式，且f（﹣3）＝﹣3，则不等式的解集是（　　） A．（﹣1，5） B．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，5） D．（﹣1，2）∪（5，+∞） 13．已知偶函数f（x）的定义域为R，且对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）均有成立，若f（1﹣a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．已知函数f（x）是定义在[a2﹣3，2a]上的偶函数，且对任意的x1、x2∈[0，2a]且x1≠x2，满足，若f（2m﹣1）＜f（1+3m），则m的取值范围是 ____________________ ． 15．已知函数f（x）定义在[﹣3，3]上的奇函数，且f（2）． （1）求实数a，b的值和f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x）在[﹣3，3]上的单调性； （3）解不等式f（3x2﹣4x）+f（6﹣5x）＞0． 16．已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，满足f（2）＝1，当﹣3＜x≤0时，有f（x）． （1）求实数a，b的值； （2）求函数f（x）在区间（0，3）上的解析式，并判断其在该区间上的单调性（不用详细证明）； （3）若对于任意k∈（1，2]，都有不等式f（m+k2﹣k）+f（1）＞0恒成立，求m的取值范围． 题型四：函数的对称性及其应用 17．已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（　　） A．y＝f（x﹣2）﹣1 B．y＝f（x﹣2）+1 C．y＝f（x+2）﹣1 D．y＝f（x+2）+1 18．已知定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，都有f（x+4）＝﹣f（x）+4，若函数f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（4050）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 19．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．则函数f（x）＝﹣x3+3x2+1图象的对称中心为（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 20．（多选）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数．有同学发现可以将其推广为函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．现已知函数，g（x）＝x3﹣3x2+3，则下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）对称中心为（1，a） B．函数g（x）对称中心为（1，1） C．当a＞0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 D．若a＝1，f（x）与g（x）的图象共有2024个交点，记为Ai（xi，yi），i＝1，2，3，…，2024，则（x1+y1）+（x2+y2）+…（x2024+y2024）的值为4048 21．已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝f（a+x）﹣b是奇函数，给定函数f（x）＝x． （1）请你应用题设结论，求函数f（x）图象的对称中心； （2）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上的单调性； （3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围． 22．教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数． （1）已知函数f（x）的定义域为R，且图象关于点（1，1）中心对称，求f（0）+f（1）+f（2）的值． （2）已知函数g（x）＝x3+mx2+nx的图象关于点（1，1）中心对称． （i）求实数m，n的值，并判断函数g（x）的单调性（不用证明）； （ii）若对任意的实数s，都存在实数x∈[1，3]，使得不等式g（|x2+sx+t|）+g（2﹣x）≥2成立，求实数t的取值范围． 题型五：函数图象的识别与判断 23．函数的部分图象是（　　） A． B． C． D． 24．若函数y＝f（x）的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 25．函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 26．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+2． （1）求f（1）和f（﹣2）的值； （2）求函数f（x）的解析式； （3）作函数f（x）的图象，并写出它的单调区间和值域． 27．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x． （1）求当x＜0时，f（x）的解析式． （2）画出f（x）的图象，并由图直接写出它的单调区间和值域． （3）求不等式xf（x）＜0的解集． 题型六：函数基本性质的综合应用 28．已知函数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有成立，且f（0）＝0，则f（x）＞0的解集是（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） D．（﹣4，0） 29．已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+4）＝f（x）+f（2）成立，且f（﹣4）＝﹣2，当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则下列命题错误的是（　　） A．f（2016）＝﹣2 B．函数y＝f（x）的一条对称轴为x＝﹣6 C．函数y＝f（x）在[﹣8，﹣6]上为减函数 D．函数y＝f（x）在[﹣9，9]上有4个根 30．（多选）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（﹣x+1）为奇函数，且f（x）在[0，1]上单调递增，则下列正确的是（　　） A．f（1）＝0 B．x＝2为函数f（x）图象的一条对称轴 C．f（﹣1）＜f（3） D．函数f（x）在[2，4]上单调递减 31．已知函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，满足，当﹣2≤x≤0时，有． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断f（x）的单调性，并利用定义证明； （3）若对∀x∈[﹣2，2]，都有对∀a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 32．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，对定义域内任意的非零实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0． （1）判断并证明函数f（x）的奇偶性； （2）证明：函数f（x）在区间（0，1）上单调递减； （3）已知，g（x）图象关于点对称，且时，.若对任意x1∈[0，1]，总存在，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上数学期中专题复习：《奇偶性》核心题型总结 题型一：函数奇偶性的定义与判断 1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A．y＝x5 B． C．y＝2x2 D． 【分析】根据函数奇偶性的定义，以及幂函数的性质，逐项判定，即可求解． 【解答】解：对于A中，函数f（x）＝x5，可得f（﹣x）＝（﹣x）5＝﹣x5＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数， 再由幂函数的性质，可得函数f（x）为单调递增函数，符合题意，所以A正确； 对于B中，函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）为单调递减函数，不符合题意，所以B错误； 对于C中，函数y＝2x2，由二次函数的性质，可得函数y＝2x2为偶函数，所以C错误； 对于D中，函数在R为递减函数，不符合题意，所以D错误． 故选：A． 【点评】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性的判断，是基础题． 2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　） A． B．y＝x+1 C．y＝|x| D． 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断． 【解答】解：对于A项，函数是奇函数，但是在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减， 在定义域上不具有单调性，不符合题意； 对于B项，函数y＝f（x）＝x+1在R上单调递增，但是f（﹣x）＝﹣x+1，而﹣f（x）＝﹣x﹣1， 故y＝x+1不是奇函数，不符合题意； 对于C项，设f（x）＝|x|，因为f（﹣x）＝|﹣x|＝|x|＝f（x），且定义域为R， 所以函数y＝|x|是偶函数，不符合题意； 对于D项，函数， f（﹣x）f（x），所以f（x）为奇函数， f（x）的图象如图： 故既是奇函数，又是增函数，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题． 3．已知函数，则下列函数中为奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．f（x+1）﹣2 B．f（x+1）+2 C．f（1﹣x）+2 D．f（1﹣x）﹣2 【分析】根据题意，由反比例函数的性质依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，函数2， 依次分析选项： 对于A，f（x+1）﹣2，易得f（x+1）﹣2是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意； 对于B，f（x+1）+24，易得f（x+1）+2不是奇函数，不符合题意； 对于C，f（1﹣x）+24，易得f（1﹣x）+2不是奇函数，不符合题意； 对于D，f（1﹣x）﹣2，易得f（1﹣x）﹣2为奇函数且在（0，+∞）上单调递增，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，涉及函数图象平移的规律，属于基础题． （多选）4．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a∈R，下列结论正确的是（　　） A．存在实数a，使得函数f（x）为奇函数 B．存在实数a，使得函数f（x）为偶函数 C．当a＞0时，f（x）的单调增区间为，（a，+∞） D．当a＜0时，f（x）的单调减区间为 【分析】当a＝0时函数f（x）为奇函数，不存在实数a，使得函数f（x）为偶函数．所以选项A正确，选项B错误；化简函数得，再对a分类讨论得到函数的单调性，再判断得解． 【解答】解：由f（﹣x）＝﹣x|﹣x﹣a|＝﹣x|x+a|，显然当a＝0时，则f（﹣x）＝﹣f（x），但不存在实数a使f（﹣x）＝f（x）成立，所以选项A正确，选项B错误； ，当a＞0时，易知f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以选项C正确； 同理可得，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项D错误． 故选：AC． 【点评】本题考查函数的奇偶性及单调性的求法，属于基础题． 5．已知函数f（x）＝x（）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论． 【分析】（1）由x2﹣1≠0，可求函数f（x）的定义域； （2）利用奇偶函数的定义判断函数f（x）的奇偶性． 【解答】解：（1）由x2﹣1≠0，可得x≠±1， ∴函数f（x）的定义域为{x|x≠±1}； （2）函数f（x）是奇函数． f（x）＝x（）＝x••． ∴f（﹣x）＝﹣x••f（x）， ∴函数f（x）是奇函数． 【点评】本题考查函数的定义域，考查函数奇偶性的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用奇函数的定义是关键． 题型二：由函数奇偶性求解析式 6．已知f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x＞0时，f（x）＝（　　） A．x（x﹣1） B．x（x+1） C．﹣x（x﹣1） D．﹣x（x+1） 【分析】当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），转化成当x＞0时，可得﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1），根据f（x）是偶函数可得解析式． 【解答】解：当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1）， 当x＞0时，可知﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1）＝x（x+1） ∵f（x）是偶函数 ∴f（﹣x）＝f（x） 即f（x）＝x（x+1） 故选：B． 【点评】本题考查了分段函数的解析式的求法．属于基础题． 7．已知y＝f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，，则当x∈（0，+∞）时，f（x）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，先求出x＞0时，f（x）的解析式，结合函数的奇偶性，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当x＞0时，﹣x＜0，则， 又由y＝f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数， 则． 故选：D． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题． （多选）8．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x﹣1）+a，则下列说法正确的是（　　） A．a＝0 B．当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣x C．不等式f（x）＞2的解集为（2，+∞） D．函数f（x）的单调增区间为 【分析】结合函数的单调性，奇偶性检验各选项即可求解． 【解答】解：因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x﹣1）+a， 所以f（0）＝a＝0，A正确； x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1）＝x（x+1）＝﹣f（x）， 所以f（x）＝﹣x2﹣x，B正确； 当x≥0时，由f（x）＝x（x﹣1）＞2可得x＞2或x＜﹣1（舍）， 当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣x＞2可得x不存在，C正确； 函数的单调递增区间为（）和（），D错误． 故选：ABC． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题． 9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+2x2+1，则f（x）的解析式f（x）　 ． 【分析】根据题意，当x＜0时，求出f（﹣x）的表达式，由f（x）为奇函数求出f（x）在（﹣∞，0）上的表达式，结合f（0）＝0求得f（x）的解析式． 【解答】解：因为x＞0时，f（x）＝x3+2x2+1， 所以x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）2+1＝﹣x3+2x2+1， 结合f（x）为奇函数，可得：x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3﹣2x2﹣1， 根据f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0， 故f（x）． 故答案为：f（x）． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、函数解析式的法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 10．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，函数的解析式为． （1）求f（2）的值； （2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数； （3）求函数f（x）的解析式． 【分析】（1）由已知结合奇函数定义即可求解； （2）设x1＜x2＜0，利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可求解； （3）结合奇函数定义即可求解． 【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，当x＜0时，， ∴， （2）证明：设x1＜x2＜0， 则， ， x2﹣x1＞0，x2﹣1＜0，x1﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数； （3）当x＞0时，﹣x＜0，∴， ∴， 又f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0， ∴． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题． 题型三：由函数奇偶性解不等式 11．已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（2）＝0，若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） 【分析】根据条件即可得出f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，且f（2）＝f（﹣2）＝0，从而根据xf（x）＞0可得出或，根据f（x）的单调性即可解出该不等式组，从而得出原不等式的解集． 【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，恒成立， ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）在R上是奇函数， ∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数， 由f（2）＝0得，f（﹣2）＝0， ∴由xf（x）＞0得，或， ∴x＞2或x＜﹣2， ∴不等式xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查了增函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性，奇函数的定义，转化为不等式组求不等式解集的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题． 12．设奇函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有不等式，且f（﹣3）＝﹣3，则不等式的解集是（　　） A．（﹣1，5） B．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，5） D．（﹣1，2）∪（5，+∞） 【分析】构造函数g（x）＝xf（x），并判断其奇偶性及单调性，讨论x﹣2＞0和x﹣2＜0两种情况，并结合g（x）的奇偶性和单调性解不等式即可． 【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数， 所以f（﹣x）＝﹣f（x）， 令g（x）＝xf（x），则g（x）的定义域为R，且g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x）， 所以函数g（x）为偶函数，且g（0）＝0， 因为对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有不等式， 即恒成立， 所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减． 根据偶函数对称性可得，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增， 不等式等价于或． 因为g（﹣3）＝﹣3×f（﹣3）＝9，所以g（3）＝9． 所以或， 所以x＞5或﹣1＜x＜2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题． 13．已知偶函数f（x）的定义域为R，且对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）均有成立，若f（1﹣a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先判断函数的单调性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式． 【解答】解：因为任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）均有成立， 所以f（x）在（﹣∞，0]上单调递减， 因为f（x）为偶函数， 故f（x）在（0，+∞）上单调递增， 由f（1﹣a）＞f（2a﹣1）可得|1﹣a|＞|2a﹣1|， 两边平方得（1﹣a）2＞（2a﹣1）2， 解得0． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题． 14．已知函数f（x）是定义在[a2﹣3，2a]上的偶函数，且对任意的x1、x2∈[0，2a]且x1≠x2，满足，若f（2m﹣1）＜f（1+3m），则m的取值范围是 　　 ． 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得a的值，分析函数f（x）的单调性，利用所求不等式可得出关于m的不等式组，解之即可． 【解答】解：因为函数f（x）是定义在[a2﹣3，2a]上的偶函数，则，解得a＝1，定义域为[﹣2，2]， 对任意的x1、x2∈[0，2]且x1≠x2，满足，所以函数f（x）在[0，2]上为增函数， 由f（2m﹣1）＜f（1+3m）可得f（|2m﹣1|）＜f（|1+3m|）， 所以，，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题． 15．已知函数f（x）定义在[﹣3，3]上的奇函数，且f（2）． （1）求实数a，b的值和f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x）在[﹣3，3]上的单调性； （3）解不等式f（3x2﹣4x）+f（6﹣5x）＞0． 【分析】（1）由已知结合奇函数的性质即可求解a，b及函数解析式； （2）任取﹣3≤x1＜x2≤3，利用作差法比较f（x1）＞与f（x2）的大小即可求解； （3）结合函数单调性及奇偶性进行转化即可求解． 【解答】解：（1）因为函数f（x）定义在[﹣3，3]上的奇函数，且f（2）， 所以f（0）0，， 所以b＝1，a，f（x）； （2）f（x）在[﹣3，3]上的单调递减，证明如下： 任取﹣3≤x1＜x2≤3，则x2﹣x1＞0，16+x1x2＞0，，16＜0， 则f（x1）﹣f（x2）0， 所以f（x1）＞f（x2）， 所以f（x）在[﹣3，3]上的单调递减； （3）不等式f（3x2﹣4x）+f（6﹣5x）＞0可转化为f（3x2﹣4x）＞﹣f（6﹣5x）＝f（5x﹣6）， 所以，解得1， 故不等式的解集为{x|1}． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的总有应用，属于中档题． 16．已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，满足f（2）＝1，当﹣3＜x≤0时，有f（x）． （1）求实数a，b的值； （2）求函数f（x）在区间（0，3）上的解析式，并判断其在该区间上的单调性（不用详细证明）； （3）若对于任意k∈（1，2]，都有不等式f（m+k2﹣k）+f（1）＞0恒成立，求m的取值范围． 【分析】（1）由已知结合奇函数的性质可得f（﹣2）＝﹣1，f（0）＝0，代入即可求解； （2）结合奇函数的定义及已知区间上函数解析式即可求解，同时结合反比例函数的单调性，可得所求函数的单调性； （3）由f（x）的奇偶性和单调性，可得f（m+k2﹣k）＞﹣f（1）＝f（﹣1），即k2﹣k＞﹣1﹣m恒成立，结合二次函数的单调性，可得m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得，，解得a，b＝0； （2）由（1）可知当x∈（﹣3，0]时，f（x）， 当x∈（0，3）时，﹣x∈（﹣3，0），f（x）＝﹣f（﹣x）， 由f（x），y在（0，3）递增， 可得f（x）在（0，3）为增函数； （3）由（2）可得奇函数f（x）在（﹣3，3）上递增， 对于任意k∈（1，2]，都有不等式f（m+k2﹣k）+f（1）＞0恒成立， 即为f（m+k2﹣k）＞﹣f（1）＝f（﹣1），即k2﹣k＞﹣1﹣m恒成立， 由k∈（1，2]，可得g（k）＝k2﹣k递增，可得g（k）∈（0，2]， 则﹣1﹣m≤0，解得m≥﹣1， 由m+k2﹣k＜3恒成立，3﹣m＞2，解得m＜1， 所以m的取值范围是[﹣1，1）． 【点评】本题主要考查利用待定系数法求解函数的解析式及利用奇偶性和单调性求解不等式恒成立问题，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题． 题型四：函数的对称性及其应用 17．已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（　　） A．y＝f（x﹣2）﹣1 B．y＝f（x﹣2）+1 C．y＝f（x+2）﹣1 D．y＝f（x+2）+1 【分析】根据函数图象的平移可得解． 【解答】解：因为1， 所以f（x+2）＝1， f（x+2）﹣1， 又为奇函数，其图象关于原点对称． 故选：C． 【点评】本题考查奇偶函数图象的对称性，属于基础题． 18．已知定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，都有f（x+4）＝﹣f（x）+4，若函数f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（4050）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【分析】根据题意，先由函数图象平移的性质得到f（x）为偶函数，再利用函数周期性的判定得到f（x）为周期函数，进而利用赋值法即可得解． 【解答】解：根据题意，因为函数f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称， 又f（x）的图象由f（x﹣1）的图象向左平移一个单位长度得到， 所以f（x）的图象关于直线x＝0对称，故f（x）为偶函数， 因为f（x+4）＝﹣f（x）+4，所以f（x+8）＝﹣f（x+4）+4＝﹣[﹣f（x）+4]+4＝f（x）， 所以f（x）是以8为一个周期的偶函数， 所以f（4050）＝f（8×506+2）＝f（2）， 由f（2）＝f（﹣2+4）＝﹣f（﹣2）+4＝﹣f（2）+4，得f（2）＝2，则f（4050）＝2． 故选：C． 【点评】本题考查函数奇偶性、周期性的综合应用，注意分析函数的周期性，属于中档题． 19．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．则函数f（x）＝﹣x3+3x2+1图象的对称中心为（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【分析】根据题意，分析可得f（x）＝﹣（x﹣1）3+3（x﹣1）+3，进而可得f（x+1）﹣3＝﹣x3+3x为奇函数，由此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x3+3x2+1＝﹣（x﹣1）3+3x＝﹣（x﹣1）3+3（x﹣1）+3， 则函数f（x+1）﹣3＝﹣x3+3x，为奇函数， 则函数f（x）＝﹣x3+3x2+1图象的对称中心为（1，3）． 故选：A． 【点评】本题考查函数的对称性问题，涉及函数的解析式以及变形，属于基础题． （多选）20．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数．有同学发现可以将其推广为函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．现已知函数，g（x）＝x3﹣3x2+3，则下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）对称中心为（1，a） B．函数g（x）对称中心为（1，1） C．当a＞0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 D．若a＝1，f（x）与g（x）的图象共有2024个交点，记为Ai（xi，yi），i＝1，2，3，…，2024，则（x1+y1）+（x2+y2）+…（x2024+y2024）的值为4048 【分析】根据定义直接可判断AB选项，举反例可判断C选项，根据对称性直接计算可判断D选项． 【解答】解：因为，所以， 所以， 所以函数f（x）的对称中心为（1，a），A选项正确； 因为g（x）＝x3﹣3x2+3，所以g（x+1）﹣1＝（x+1）3﹣3（x+1）2+3﹣1＝x3﹣3x， 所以g（﹣x+1）﹣1＝﹣x3+3x＝﹣[g（x+1）﹣1]， 所以函数g（x）的对称中心为（1，1），B选项正确； f（2）＝2a+1，， 当，即0＜a＜2时，， 此时f（x）不满足在（1，+∞）上递增，C选项错误； 若a＝1时，可知函数f（x）的对称中心为（1，1）， 又函数g（x）的对称中心也为（1，1）， 所以f（x）与g（x）的2024个交点也关于点（1，1）中心对称， 所以（x1+y1）+（x2+y2）+…（x2024+y2024）＝（x1+x2+…+x2024）+（y1+y2+…+y2024），D选项正确．． 故选：ABD． 【点评】本题考查函数的奇偶性与对称性，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝f（a+x）﹣b是奇函数，给定函数f（x）＝x． （1）请你应用题设结论，求函数f（x）图象的对称中心； （2）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上的单调性； （3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，3]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围． 【分析】（1）设函数f（x）图象的对称中心为（a，b），根据函数关于点对称的性质得到f（a+x）+f（a﹣x）﹣2b＝0，代入求解即可得到a，b的值，从而得到对称中心； （2）根据单调性定义证明即可； （3）由题意可知函数g（x）的值域是f（x）值域的子集，由（2）易得f（x）的值域，g（x）的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）设函数f（x）图象的对称中心为（a，b）， 则f（a+x）+f（a﹣x）﹣2b＝0， 即（x+a）（a﹣x）2b， 即（a﹣b）0， （a﹣b）[（a+1）2﹣x2]﹣2[（a+1）+x]﹣2[（a+1）﹣x]＝0， 整理得（a﹣b）x2＝（a﹣b）（a+1）2﹣4（a+1）， 于是（a﹣b）＝（a﹣b）（a+1）2﹣4（a+1）＝0， 解得a＝b＝﹣1， 所以f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1）； （2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 则， 所以x1﹣x2＜0且， 所以f（x1）﹣f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2）， 所以在（0，+∞）上单调递增； （3）由题意得：g（x）的值域是f（x）值域的子集， 由（2）知f（x）在[1，3]上单调递增， 故f（x）的值域为[﹣1，2]， 于是原问题转化为g（x）在[0，2]上的值域A⊆[﹣2，4]， ①当，即m≤0时，g（x）在[0，1]上单调递增， 同时g（x）＝x2﹣mx+m的图象恒过对称中心（1，1）， 可知g（x）在（1，2]上也单调递增， 故g（x）在[0，2]上单调递增， 又g（0）＝m，g（2）＝2﹣g（0）＝2﹣m， 故A＝[m，2﹣m]， 所以[m，2﹣m]≤[﹣1，2]， 所以，解得m≥0， 又m≤0，故此时m＝0； ②当，即0＜m＜2时， g（x）在上单调递减，上单调递增， 又g（x）过对称中心（1，1）， 故g（x）在上单调递增，上单调递减， 故此时A＝（min{g（2），}，max{g（0）， 欲使A⊆[﹣1，2]， 只需，且， 解得2﹣2m≤3且0≤m≤2， 解不等式得：0≤m≤2， 又0＜m＜2， 故此时0＜m＜2； ③当1，即m≥2时， g（x）在[0，1]上单调递减，在（1，2]上也单调递减， 由对称性知g（x）在[0，2]上单调递减， 于是A＝[2﹣m，m]， 因为[2﹣m，m]≤[﹣1，2]， 故，解得m≤2， 又m≥2，故此时m＝2， 综上，实数m的取值范围是[0，2]． 【点评】本题考查了函数的对称性、二次函数性质，考查了转化思想及分类讨论思想，属于难题． 22．教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数． （1）已知函数f（x）的定义域为R，且图象关于点（1，1）中心对称，求f（0）+f（1）+f（2）的值． （2）已知函数g（x）＝x3+mx2+nx的图象关于点（1，1）中心对称． （i）求实数m，n的值，并判断函数g（x）的单调性（不用证明）； （ii）若对任意的实数s，都存在实数x∈[1，3]，使得不等式g（|x2+sx+t|）+g（2﹣x）≥2成立，求实数t的取值范围． 【分析】（1）利用中心对称图形的性质赋值后计算可得； （2）（i）由g（1）＝1，g（2）＝2列方程组可得；由函数的单调性和平移的性质可判断； （ii）利用奇函数的性质变形不等式，再构造，设，使原命题等价于M﹣N≥2，分t的取值结合函数的单调性讨论可得． 【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象关于点（1，1）中心对称， 所以y＝f（x+1）﹣1为奇函数，所以f（﹣x+1）﹣1＝﹣[f（x+1）﹣1]， 令x＝0，则有2f（1）＝2，故f（1）＝1；令x＝1，则有f（2）+f（0）＝2， 所以f（0）+f（1）+f（2）＝3． （2）（i）由（1）可知g（1）＝1，g（2）+g（0）＝2， 因为g（0）＝0，所以g（2）＝2，则解得 此时g（x）＝x3﹣3x2+3x＝（x﹣1）3+1， 所以g（﹣x+1）﹣1＝（﹣x+1﹣1）3＝﹣x3，g（x+1）﹣1＝（x+1﹣1）3＝x3， 所以g（﹣x+1）﹣1＝﹣[g（x+1）﹣1]，即y＝g（x+1）﹣1为奇函数，符合题意， 所以m＝﹣3，n＝3． 因为函数g（x）的图象可由y＝x3先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 故函数g（x）在（﹣∞，+∞）上也是增函数． （ii）因为函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且该函数的定义域为R， 对任意的x∈R，g（x）+g（2﹣x）＝2， 由g（|x2+sx+t|）+g（2﹣x）≥2可得g（|x2+sx+t|）+g（2﹣x）≥g（x）+g（2﹣x）， 即g（|x2+sx+t|）≥g（x）， 因为函数g（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则|x2+sx+t|≥x， 因为x∈[1，3]，所以， 令，得|h（x）+s|≥1， 设，只有M﹣N≥2才能保证图象上下平移时，其绝对值不小于1． 否则当M﹣N＜2，s任意变化到使时，对任意的x∈[1，3]， ． 故原命题等价于M﹣N≥2． ①当t≤0时，在x∈[1，3]上单调递增， 即，所以t≤0， ②当t＞0时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当0＜t≤1时，h（x）在[1，3]上单调递增，； ③当1＜t＜9时，h（x）在上单调递减，在上单调递增， ， 若1＜t＜3，则h（1）＜h（3），所以， 若3≤t＜9，则h（1）＞h（3），所以， 所以， 当t≥9时，h（x）在[1，3]上单调递减，此时，得t≥9． 综上， 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，函数的对称性，考查运算求解能力，属于难题． 题型五：函数图象的识别与判断 23．函数的部分图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数单调性的性质可排除BC；根据x∈（﹣1，1）时，f（x）的奇偶性可排除D． 【解答】解：， 当x∈（1，+∞）和（﹣∞，﹣1）时，y＝x单调递增，单调递减， 所以函数y＝x在（1，+∞），（﹣∞，﹣1）上单调递增， 所以在（1，+∞），（﹣∞，﹣1）上单调递减，可排除BC； 当x∈（﹣1，1）时，， 所以f（x）图象不关于y轴对称，可排除D． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数图象的判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题． 24．若函数y＝f（x）的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图象利用特殊值可判断结果 【解答】解：由图象可知x∈（0，1）时，因为f（）＜0，可排除B，D； x＞0时，A项f（x）1，此函数由向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 因为的对称中心为（0，0），所以此时的对称中心为（1，1） 由图知A不正确． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象，以及由函数图象判断所对应的解析式，属于中档题． 25．函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的奇偶性以及取值情况可得． 【解答】解：由已知，f（x）定义域为R，且f（﹣x）f（x）， 所以f（x）为奇函数，D错误； 又x＞0时，f（x）＜0恒成立，B错误； x趋于正无穷时，f（x）趋于0，故C错误，A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查由函数解析式求函数图象，属于基础题． 26．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+2． （1）求f（1）和f（﹣2）的值； （2）求函数f（x）的解析式； （3）作函数f（x）的图象，并写出它的单调区间和值域． 【分析】（1）根据函数的解析式可直接求解f（1），再根据奇函数的性质可求解f（﹣2）； （2）根据奇函数的性质即可求解； （3）结合（2）可得f（x）图象，即可求解f（x）的单调区间和值域． 【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x+2，则f（1）＝1， 又因为函数f（x）为R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣2； （2）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）， 令x＝0，得f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0， 任取x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞）， 所以f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2×（﹣x）+2＝x2+2x+2， 所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣2x﹣2， 综上所述； （3）结合（2）可得f（x）图象如下， 由图象可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，0）和（0，1）， f（x）值域为（﹣∞，﹣1]∪{0}∪[1，+∞）． 【点评】本题主要考查函数的求值，函数解析式的求法，函数的单调性及值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 27．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x． （1）求当x＜0时，f（x）的解析式． （2）画出f（x）的图象，并由图直接写出它的单调区间和值域． （3）求不等式xf（x）＜0的解集． 【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，结合已知可得此时函数的解析式，综合可得； （2）画出图象，据图写出单调区间和值域； （3）分x＞0和x＜0两种情况结合函数图像即可求解． 【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0， 当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x， 可得f（﹣x）＝﹣x2﹣2x， 又f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（﹣x）＝﹣f（x）， 可得﹣f（x）＝﹣x2﹣2x， 所以f（x）＝x2+2x（x＜0）； （2）根据图象得出（﹣1，1）单调递增，（1，+∞），（﹣∞，﹣1）单调递减，函数值域为R； （3）由不等式xf（x）＜0，可分两种情况：或， 解得x＞2或x＜﹣2， 即不等式xf（x）＜0的解集（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 【点评】本题考查函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性，属基础题． 题型六：函数基本性质的综合应用 28．已知函数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有成立，且f（0）＝0，则f（x）＞0的解集是（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） D．（﹣4，0） 【分析】由已知条件得到f（x）的图象关于x＝﹣2对称，从而可知f（x）在（﹣∞，﹣2]上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，且f（﹣4）＝0，再画出折线图表示出函数f（x）的单调性，即可得到答案． 【解答】解：根据题意，因为数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），则所以f（x）的图象关于x＝﹣2对称． 因为函数f（x）对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有成立， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2]上为增函数． 又因为f（x）的图象关于x＝﹣2对称，f（0）＝0， 所以f（x）在（﹣2，+∞）为减函数，且f（﹣4）＝0． 用折线图表示函数f（x）的单调性，如图所示： 由图知：f（x）＞0⇒﹣4＜x＜0． 故选：D． 【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的图象分析，属于中档题． 29．已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+4）＝f（x）+f（2）成立，且f（﹣4）＝﹣2，当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则下列命题错误的是（　　） A．f（2016）＝﹣2 B．函数y＝f（x）的一条对称轴为x＝﹣6 C．函数y＝f（x）在[﹣8，﹣6]上为减函数 D．函数y＝f（x）在[﹣9，9]上有4个根 【分析】逐项判断各项正误．正确把所给条件进行变形是解决本题的关键． 【解答】解：由f（x+4）＝f（x）+f（2）可得f（2）＝f（﹣2+4）＝f（﹣2）+f（2）， ∴f（﹣2）＝f（2）＝0，∴f（x+4）＝f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数．故有f（2016）＝f（﹣4）＝f（0）﹣f（2）＝﹣2，故A正确； 由f（x+4）＝f（x）得f（﹣x）＝f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）的一条对称轴为x＝2，又其周期为4，所以x＝2﹣8＝6也是其图象的对称轴，故B正确； ∵当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）在[0，2]上为增函数，又其周期为4，故在[﹣8，﹣6]上也为增函数，故C错误； 由f（﹣4）＝f（0）＝﹣2，且函数在[0，2]上递增，故在[0，2]上有且只有f（2）＝0，∵f（x）是偶函数，且周期为4，∴在区间[﹣9，9]上有且只有f（﹣2）＝f（2）＝f（6）＝f（﹣6），故函数f（x）在[﹣9，9]上有4个根，故D正确． 故选：C． 【点评】本题考查函数的基本性质，属于较难题． （多选）30．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（﹣x+1）为奇函数，且f（x）在[0，1]上单调递增，则下列正确的是（　　） A．f（1）＝0 B．x＝2为函数f（x）图象的一条对称轴 C．f（﹣1）＜f（3） D．函数f（x）在[2，4]上单调递减 【分析】根据f（x+2）是偶函数，可得x＝2是f（x）的对称轴，即可判断B；由f（﹣x+1）是奇函数，可得f（1﹣x）＝﹣f（1+x），利用赋值法可判断A；利用赋值法及函数的对称性可判断C；由f（1+x）＝﹣f（1﹣x），可得f（x）关于（1，0）对称，结合已知可得f（x）在[0，2]单调递增，结合x＝2是f（x）的对称轴，即可判断D． 【解答】解：由f（x+2）是偶函数，可得f（2+x）＝f（2﹣x），即x＝2是f（x）的对称轴，故B选项正确； 由f（﹣x+1）是奇函数，可得f（1﹣x）＝﹣f（1+x），令x＝0，得f（1）＝﹣f（1），解得f（1）＝0，故A选项正确； 由f（1﹣x）＝﹣f（1+x），令x＝2，得f（﹣1）＝﹣f（3），由x＝2是对称轴，f（3）＝f（1）＝0，故f（﹣1）＝0，则f（﹣1）＝f（3）＝0，故C选项错误； 由x＝2是对称轴，可得f（x）在[2，4]的单调性与[0，2]的单调性相反； 由f（1+x）＝﹣f（1﹣x），可得f（x）关于（1，0）对称， 又f（x）在[0，1]单调递增，所以f（x）在[1，2]单调递增； 因此f（x）在[0，2]单调递增，故在[2，4]单调递减，故D选项正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查函数性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题． 31．已知函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，满足，当﹣2≤x≤0时，有． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断f（x）的单调性，并利用定义证明； （3）若对∀x∈[﹣2，2]，都有对∀a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 【分析】（1）利用奇函数的定义和性质，先求出a，b的值，然后再由已知的解析式结合奇函数的定义，求出x∈（0，2]的解析式，从而得到f（x）的解析式； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）由函数f（x）的单调性，求出f（x）的最大值，将问题转化为对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，构造函数g（a）＝﹣2am+m2，其中a∈[﹣1，1]，列出不等式组，求解即可． 【解答】解：（1）函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数， 则f（0）＝0，即， 解得b＝0， 又因为，即， 所以a＝1， 经检验可得，a＝1符合题意． 综上所述，a＝1，b＝0， 所以当﹣2≤x≤0时，， 令x∈（0，2]，则﹣x∈[﹣2，0）， 所以 则当， 综上所述，； （2）函数f（x）在[﹣2，2]为单调递增函数．证明如下： 设﹣2≤x1＜x2≤2， 则， 因为﹣2≤x1＜x2≤2， 所以x2﹣x1＞0，x1x2﹣4＜0， 则，即f（x1）＜f（x2）， 故在[﹣2，2]上为增函数； （3）由（2）可知，函数y＝f（x）在区间[﹣2，2]上单调递增， 所以f（x）max＝f（2）， 由于对∀x∈[﹣2，2]恒成立， 则对任意的a∈[﹣1，1]恒成立， 即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立， 构造函数g（a）＝﹣2am+m2，其中a∈[﹣1，1]， 所以，即， 解得m≤﹣2或m＝0或m≥2， 所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）． 【点评】本题考查了函数性质的综合应用，函数解析式的求解，函数单调性定义的理解与应用，不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题． 32．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，对定义域内任意的非零实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0． （1）判断并证明函数f（x）的奇偶性； （2）证明：函数f（x）在区间（0，1）上单调递减； （3）已知，g（x）图象关于点对称，且时，.若对任意x1∈[0，1]，总存在，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围． 【分析】（1）采用赋值法可求得f（1）＝f（﹣1）＝0，取y＝﹣1即可得到奇偶性； （2）任取1＞x2＞x1＞0，令，y＝x2，结合已知等式和f（x）在（0，1）上的正负即可得到结论； （3）记f（x）在上的值域为A，g（x）在[﹣2，﹣1]，[0，1]上的值域为B，将问题转化为B⊆A；根据f（x）的单调性可求得A；分别在、和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得B，根据包含关系可构造不等式求得结果． 【解答】解：（1）令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）+f（1），∴f（1）＝0； 令x＝y＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝0，∴f（﹣1）＝0； 取y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x）； ∴f（x）为定义在[﹣1，1]上的偶函数； （2）任取1＞x2＞x1＞0，∴， ∵当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0， 由偶函数性质当x∈（0，1）时，f（x）＞0， 令，y＝x2，则，即， 又当x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴，即f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x）在（0，1）上单调递减． （3）f（x）在（0，1）上单调递减且f（1）＝0，又， ∴当时，f（x2）∈[0，3]，记A＝[0，3]； ∵对任意x1∈[0，1]，总存在，使得g（x1）＝f（x2）， 记g（x）在[﹣2，﹣1]，[0，1]上的值域为B，∴B⊆A； ∵g（x）的图象关于点中心对称，∴当x∈[0，1]时，g（x）max+g（x）min＝1； ①当，即m≤0时，g（x）在上单调递增，∴， ∴，即， 由B⊆A得：，又m≤0，解得m＝0； ②当，即0＜m＜2时，g（x）在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴， 即， 由B⊆A得：， 又0＜m＜2，解得0＜m＜2； ③当，即m≥2时，g（x）在上单调递减，∴， ∴，即， 由B⊆A得：，又m≥2，解得：m＝2； 综上所述：实数m的取值范围为[0，2]． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，还考查了函数恒成立问题，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司 $