精品解析：山西省太原师范学院附属中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

太原师院附中2025－2026学年第一学期12月 初三年级数学学情导航试题 一、选择题 1. 已知四条线段成比例，其中，，，则线段的长（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，若四条线段，，，成比例，则，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四条线段，，，成比例， ， ，，， ， 故选：B． 2. 在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解:A项,将长方形木板与地面成一定角度放置时,形成的影子可能为正方形,故A不符合题意, B项,将长方形木板与地面平行放置时,形成的影子为矩形,故B项不符合题意, C项,由于同一时刻物高与影长成比例,且长方形对边相等,得到的投影不可能是梯形,故C选项符合题意, D项,将长方形木板倾斜放置形成的影子为平行四边形,故D项不符合题意, 故选C. 3. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】解：如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是： ； 故选：C． 4. 已知，且，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知等式转化为比例式，利用内项之积等于外项之积进行判断，即可作答． 【详解】解：A、∵，且，∴，故该选项符合题意； B、∵，且，∴，故该选项不符合题意； C、∵，且，∴，故该选项不符合题意； D、∵，且，∴，故该选项不符合题意； 故选：A 5. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 当时， D. 图象分别位于第一、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的，图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小，逐项验证结论是否正确． 【详解】解：∵中，比例系数， ∴ 图象经过第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小， ∴D选项结论正确，不合题意；B选项结论错误，符合题意； 当时，， ∴ A选项结论正确，不合题意； 当时，，且， ∴ C选项结论正确，不合题意； 故选：B． 6. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解： 由图形知：tan∠ACB=．故选A． 7. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ） A. 3m B. 4m C. 4.5m D. 5m 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解． 【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变： ∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m ∴ ，代入得： ∴m 故选：D 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键． 8. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系． 【详解】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限， 观察图像：当时， 则． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 10. 如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似图形的性质，如图，标记点E，F，则长方形长方形，根据对应边成比例列等式即可求解． 【详解】解：如图，标记点E，F，则长方形长方形， ， ， 长方形长方形， ， ， （负值舍去）， ， 故选：B． 二、填空题 11. 已知，若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 利用等比性质，分子之和与分母之和的比值等于已知比例值． 【详解】解： 且， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据图形与位似中心的位置关系，结合原图形与新图形的位似比为3，坐标对应乘以求解即可． 【详解】解：将点的坐标乘以或可得：点的对应点的坐标为或． 13. 如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从点骑行到点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据勾股定理求出的长，根据斜坡的坡度等于的值进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴斜坡的坡度为； 故答案为：． 14. 在九年级新年联欢会上，舞台的长为米，主持人站在点处最自然得体．已知点是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．根据黄金分割的定义，点是线段上靠近点的黄金分割点，则为较大部分，且与的比值等于，从而求出，再求． 【详解】解：点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴ 米， ∴ 米， 故答案为：． 15. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点I，由矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，得，则，由矩形的长是宽的2倍，得，由是的高，得，，则，由，得，而，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点I， 矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上， ， ， 矩形的长是宽的2倍， ， 是的高， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 的长度是， 故答案为：． 16. 如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，根据，，即可求解． 【详解】解：由题意知， ， ， 故答案为：4． 17. 如图，在正方形中，，点E是边的中点，的平分线交于点F，连接，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求角的正切值等，作于点G，由角平分线的性质可得，再证，推出，，设，用勾股定理解和，求出x的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点G， 正方形中，，点E是边的中点， ，， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ， 故答案为：． 三、解答题 18. 如图，在中，、、分别是边上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据，可得，则，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的横坐标为3． （1）求这两个函数的表达式； （2）在第一象限内，当取何值时，？（根据图象直接写出结果） （3）的面积为______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）运用待定系数法，求得一次函数和反比例函数的解析式； （2）一次函数图象在反比例函数的图象上方部分对应的x的取值范围即为所求； （3）先求出点C的坐标，再根据求解． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得， 一次函数解析式为； 将代入，得， 解得， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：两个函数图象交于、两点，点的坐标为，点的横坐标为3， 由图可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 在第一象限内，当时，； 【小问3详解】 解：令， 解得， ， ， 将代入，得：， ， ， 故答案为：． 21. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 【答案】电池板离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 延长交于点，根据题意可得：米，米，设米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， （米）， 电池板离地面的高度约为米． 22. 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． （1）求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式． （2）为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议． 【答案】（1） （2）近视眼镜度数小于400度时符合医生的建议 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，其中，将代入即可求解； （2）求出时对应的D的值，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：设，其中， 将代入，得：， 解得， 故度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 由图可知，D随f的增大而减小， 故近视眼镜度数小于400度时符合医生的建议． 23. 在中，，，，如图 1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P． （1）在图 1 中，求证：； （2）在图 2 中，绕点D旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中， ①如图 3，当时，求的长； ②当经过点B时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2） ， 证明如下：连接，如图所示． 由旋转的性质，得，， 在与中， ∴， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，，再根据推得，根据平行线的性质得出，，从而得，根据等角对等边即可证明； （2）连接，由旋转的性质得，，据此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系； （3）①先利用勾股定理求出，再由（1）得，根据三角形中位线的性质得出，根据勾股定理求出，根据矩形的判定和性质得出，根据三角形的面积求出，，利用勾股定理求得，再利用，求得，再用勾股定理求得； ②设，则．由旋转的性质得，，再根据得，根据等边对等角得出，从而得，根据等角对等边得出，然后根据勾股定理求出的值，从而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①过点作于点，交于点，如图所示． 在中，，，， 由勾股定理，得． 由（1）可知，，，， ∴， ∴是的中位线， ∴． 在中，由勾股定理，得． 由旋转的性质，得，， ∴， 四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ， ∴， 又， ， ， 解得：， ； ②． 理由：如图，设，则． 由旋转的性质，得，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称的性质，直角三角形全等的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师院附中2025－2026学年第一学期12月 初三年级数学学情导航试题 一、选择题 1. 已知四条线段成比例，其中，，，则线段的长（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 9 2. 在一个晴朗的上午，乐乐拿着一块长方形木板在地面上形成的投影中不可能的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 当时， D. 图象分别位于第一、三象限 6. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ） A. 3m B. 4m C. 4.5m D. 5m 8. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题 11. 已知，若，且，则______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 13. 如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从点骑行到点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为______． 14. 在九年级新年联欢会上，舞台的长为米，主持人站在点处最自然得体．已知点是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点的距离为______米（结果保留根号）． 15. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 16. 如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点、，连接，已知的值为8，则的面积为______． 17. 如图，在正方形中，，点E是边的中点，的平分线交于点F，连接，则的值为_______． 三、解答题 18. 如图，在中，、、分别是边上的点，且，，，，求的长． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的横坐标为3． （1）求这两个函数的表达式； （2）在第一象限内，当取何值时，？（根据图象直接写出结果） （3）的面积为______． 21. 项目化学习 【项目主题】太阳能路灯电池板离地面高度的思考． 【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《直接三角形的边角关系》之后，在数学课上进行了项目化学习研究： 【提出驱动性问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量 【设计实践任务】 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 素材1 光伏能源被认为是二十一世纪最重要的新能源之一，太阳能路灯可以利用太阳能发电，其清洁无污染并可再生绿色环保受到广泛欢迎． 某学校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度． 素材2 如图所示，已知测角仪的高度为1米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为，点与F在同一条直线上． 问题解决 任务 太阳能路灯电池板离地面高度的测量 求电池板离地面的高度的长． （结果精确到米；参考数据：，） 22. 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． （1）求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式． （2）为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议． 23. 在中，，，，如图 1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P． （1）在图 1 中，求证：； （2）在图 2 中，绕点D旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中， ①如图 3，当时，求的长； ②当经过点B时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $