精品解析：山西长治市沁县部分校2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自 测(华东师大版)

九年级数学（华师大版）上册第20~21章 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若是二次根式，则的值不可以是（ ） A. 3 B. 2026 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数非负确定的取值范围即可． 【详解】解：是二次根式， ， 解得， ， 的值不可以是． 2. 若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”中是含的二次项， 故“”可以是. 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（ ） A. B. C. 3，4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求出一元二次方程的解，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 5. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：因式分解得， ， ∴，， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是正确因式分解． 6. 若取，计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 将表达式中的同类二次根式合并后计算系数，再代入近似值求解即可． 【详解】解：， . 故选：C． 7. 图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出图1和图2中大正方形和小正方形的边长，进而得到的范围，根据，逐项判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 根据图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， 则图1中大正方形的边长为，小正方形的边长为， 此时， 根据图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1， 则图2中大正方形的边长为，小正方形的边长为1， 此时， 取交集得：， 由于，则， 选项A、，则，不符合题意； 选项B、，则，符合题意； 选项C、，则取不到，不符合题意； 选项D、，不符合题意； 故选：B． 8. 若实数满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据满足的等式结构相同且不相等的特征，将其视为一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系求出与的值，代入待求式计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，得，， ∴． 9. 在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（ ） A. 没有实数根 B. 无法判断根的情况 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵写错后的方程有两个相等的实数根， ∴，即，解得； 原方程的判别式为， 将代入，得， ∴原方程有两个不相等的实数根. 10. 图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（ ）         A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的判定和性质得出都是等腰直角三角形，再求出这5个长方形的面积，然后根据面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意，得， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 则这5个长方形的面积为，，． 设，根据题意，得 ， 解得， 所以的长为． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数是2，则一次项系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，结合二次项系数为2的条件，即可得到一次项系数． 【详解】解：将方程化为一般式得，此时二次项系数为2，符合题目要求， ∴一次项系数为． 12. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 对于任意正实数，定义一种新的运算：．例：．若为正实数，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义代入已知条件，整理得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，将代入运算公式得， 整理得， ∵， ∴， 化简得， 两边同时平方得． 14. 国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次方阵表演中的示意图如图所示，无人机原来排成3行4列，后又增加了258架，使得方阵增加的行数比增加的列数少2，求方阵增加了多少行？设方阵增加的行数为，则可列方程：__________． 【答案】 【解析】 【分析】设方阵增加的行数为，则增加的列数为，增加后的行数为，列数为，无人机的总数量为，由此即可列方程． 【详解】解：根据题意列方程为 15. 已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义化简所求代数式，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 由根与系数的关系得， ， 同理可得， ∴原式． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则、二次根式的性质进行计算，再计算二次根式的加法即可得出结果； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，的值为_______． （2）若该方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入原方程求解． （2）利用一元二次方程有两个相等实根时判别式为的性质列方程求解． 【小问1详解】 解：将代入，得 ． 解得． 【小问2详解】 解：∵该一元二次方程有两个相等的实数根． ∴，即， ∴， ∴． 解得． ∵原方程是一元二次方程． ∴，即， ∴符合题意． ∴的值为． 18. 甲、乙、丙、丁四名同学利用如下六张卡片进行数学游戏． A B C D E F （1）甲选择A，B两张卡片并将卡片内容求和，乙选择C，D两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． （2）丙从六张卡片中选取两张，计算两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，判断丙选择的卡片，并计算结果． （3）丁选择卡片E和F，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从______开始出现错误，请写出正确的化简过程． 第一步 第二步 ． 第三步 【答案】（1）乙获得本次游戏的胜利， 计算甲所选A、B卡片的和： ； 计算乙所选C、D卡片的和： ， ∵，， 且，， ， ∴， ∴乙获得本次游戏的胜利； （2）丙选择的卡片为B和D，乘积结果为30；或选择E和F，乘积结果为 （3）二； 正确化简过程： ． 【解析】 【分析】（1）分别计算甲、乙所选卡片的和，通过平方法比较两个正二次根式的大小，判断获胜者； （2）先将各卡片的二次根式化为最简形式，再逐一验证两两组合的乘积是否为整数，筛选符合条件的组合并计算结果； （3）按照二次根式化简与去括号的规则，逐行检查计算过程，确定错误步骤后重新计算． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：先将各卡片内容化为最简二次根式：，，， ， ， ， 逐一分析两两组合的乘积： 选B和D时： ，为整数， 选E和F时： ，为整数， 其余组合的乘积均含无理数部分，不是整数， 综上所述，丙选择的卡片为B和D，结果为30；或选择E和F，结果为； 【小问3详解】 解：检查计算步骤： 第一步：将化为，化为，化为，计算正确； 第二步：去括号时，括号前为负号，括号内第二项未变号，应为，原式写为，故从第二步开始出现错误； 正确化简过程略． 19. 已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】 的值为或 【解析】 【分析】根据题意，得到两个最简二次根式的被开方数相同，列出方程进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 整理，得， 解得或； 当时，，当时，，均满足题意； ∴的值为或. 20. 规定：两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． （1）下面各对含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是______（填序号）． ①与；②与；③与． （2）若与是关于12的“和谐二次根式”，求有理数的值． 【答案】（1）①③ （2） 有理数的值为 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）根据新定义得到，进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵，，； ∴关于9的“和谐二次根式”的是①③； 【小问2详解】 解：由题意，， 即， ， ∴. 21. 阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的中点值 【概念理解】 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．例如：对于方程，对照标准形式，可得，所以，且，故该方程的中点值为4． 【问题解决】 问题1：若方程的中点值为2，则的取值范围为______． 问题2：已知方程的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 解：∵该方程的中点值是3， ∴对照，可知，解得， ∴原方程为． 又∵该方程的一个根为， ∴…… 任务： （1）请将问题1中的空格补充完整：的取值范围为______． （2）请补全问题2中的解题过程． （3）已知关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3，求的值． 【答案】（1） （2） 解：∴， ∴， 解得或； ∵方程有中点值， ∴， ∴， ∴或均符合题意； ∴的值为或. （3） 的值为或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，列出不等式进行求解即可； （2）把代入方程，求出的值，根据新定义进行取舍即可； （3）把代入方程，求出的值，根据新定义进行取舍即可. 【小问1详解】 解：∵方程的中点值为2， ∴对照，可知，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3， ∴， 解得或. ∵， ∴或均满足题意； ∴的值为或. 22. 综合与实践 问题情境：如图，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为． 推理计算： （1）_______，______．（用含的代数式表示） （2）当为多少时，四边形的面积为？ （3）当为多少时，点和点的距离为？ 拓展延伸： （4）两点同时出发，直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）； （2） （3） 或  （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据速度公式分别表示出的线段长度． （2）根据梯形面积公式列出关于  的一元一次方程求解． （3）通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列出关于  的一元二次方程求解． （4）根据以为腰，分和两种情况讨论，分别列方程求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ，， ． 【小问2详解】 解：已知矩形，，． 点速度为，点速度为，运动时间为． 从到总用时， ． 由题意可得，，，四边形是直角梯形，高． 四边形的面积， 即，解得， ，符合题意． 当时，四边形的面积为． 【小问3详解】 解：过点  作  于 ． 四边形为矩形， ，且， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，． 在中，由勾股定理：， 可得，，， 当时，解得 ； 当时，解得 ． ，均满足，符合题意． 当或时，点和点的距离为． 【小问4详解】 解：由（3）得，，，， 由于是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ，即， 当，解得 ，，符合题意， 当，解得 ，，舍去． 当时，即， ，整理得， 解得， ，符合题意， ，符合题意． 综上，满足条件的  的值为或或 23. 综合与探究 问题情境：综合与实践小组的同学来到某知名醋厂研学，对该厂老陈醋的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该厂每日生产的这款老陈醋当日全部售完． 信息2：该厂这款老陈醋日产量（单位：吨）的范围是． 信息3：该款老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系如表所示． 日产量/吨 30 60 90 120 每吨的成本/千元 55 50 45 40 信息4：该款老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． 问题解决： （1）根据收集的信息，该老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为______（无需写自变量的取值范围）． （2）①该老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为______． ②当吨时，该款老陈醋每吨的售价是_______千元． （3）已知销售部计划将某日该款老陈醋的销售利润定额为1200千元，如果你是生产部经理，那么当日该产品的产量应该定为多少比较合理？为什么？ 【答案】（1） （2）①；② （3）解：当日该产品的产量应该定为吨比较合理，理由如下： 由题意可得，， ， 整理得：，， 解得：． 当时，总成本为（千元）；当时，总成本为（千元）， 当日该产品的产量应该定为吨，总成本更低，更合理． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法求出生产成本  与日产量  的一次函数关系式． （2）①结合函数图象，使用待定系数法求出函数关系式；②代入计算的售价即可． （3）根据题意列出方程，求解出的值，再对比两种方案的总成本即可得出结论． 【小问1详解】 解：由表格数据可知， 与  满足一次函数关系，设 ． 代入 、，得， 解得， 所以函数关系式为． 【小问2详解】 解：① 由图象可设 ． 将，代入得， 解得：， 所以函数关系式为 ②当时，代入得，即售价为千元． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（华师大版）上册第20~21章 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若是二次根式，则的值不可以是（ ） A. 3 B. 2026 C. 6 D. 2. 若方程是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（ ） A. B. C. 3，4 D. 5. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若取，计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 9. 在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了，有两个相等的实数根，则原方程（ ） A. 没有实数根 B. 无法判断根的情况 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 10. 图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪5条宽度都为的长方形纸条，用这些长方形纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，长方形纸条不重叠且全部用完），则的长为（ ）         A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数是2，则一次项系数是________． 12. 化简：______． 13. 对于任意正实数，定义一种新的运算：．例：．若为正实数，且，则的值为______． 14. 国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次方阵表演中的示意图如图所示，无人机原来排成3行4列，后又增加了258架，使得方阵增加的行数比增加的列数少2，求方阵增加了多少行？设方阵增加的行数为，则可列方程：__________． 15. 已知，是方程的两个根，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）． （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，的值为_______． （2）若该方程有两个相等的实数根，求的值． 18. 甲、乙、丙、丁四名同学利用如下六张卡片进行数学游戏． A B C D E F （1）甲选择A，B两张卡片并将卡片内容求和，乙选择C，D两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． （2）丙从六张卡片中选取两张，计算两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，判断丙选择的卡片，并计算结果． （3）丁选择卡片E和F，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从______开始出现错误，请写出正确的化简过程． 第一步 第二步 ． 第三步 19. 已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 20. 规定：两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． （1）下面各对含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是______（填序号）． ①与；②与；③与． （2）若与是关于12的“和谐二次根式”，求有理数的值． 21. 阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的中点值 【概念理解】 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．例如：对于方程，对照标准形式，可得，所以，且，故该方程的中点值为4． 【问题解决】 问题1：若方程的中点值为2，则的取值范围为______． 问题2：已知方程的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 解：∵该方程的中点值是3， ∴对照，可知，解得， ∴原方程为． 又∵该方程的一个根为， ∴…… 任务： （1）请将问题1中的空格补充完整：的取值范围为______． （2）请补全问题2中的解题过程． （3）已知关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3，求的值． 22. 综合与实践 问题情境：如图，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为． 推理计算： （1）_______，______．（用含的代数式表示） （2）当为多少时，四边形的面积为？ （3）当为多少时，点和点的距离为？ 拓展延伸： （4）两点同时出发，直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 23. 综合与探究 问题情境：综合与实践小组的同学来到某知名醋厂研学，对该厂老陈醋的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该厂每日生产的这款老陈醋当日全部售完． 信息2：该厂这款老陈醋日产量（单位：吨）的范围是． 信息3：该款老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系如表所示． 日产量/吨 30 60 90 120 每吨的成本/千元 55 50 45 40 信息4：该款老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． 问题解决： （1）根据收集的信息，该老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为______（无需写自变量的取值范围）． （2）①该老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为______． ②当吨时，该款老陈醋每吨的售价是_______千元． （3）已知销售部计划将某日该款老陈醋的销售利润定额为1200千元，如果你是生产部经理，那么当日该产品的产量应该定为多少比较合理？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $