第26章二次函数重难点专项训练（六大题型）2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数重难点专项训练（六大题型） 2026—2027 学年九年级上册数学 类型一　二次函数的图象与性质 【知识点】二次函数一般式 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）经配方可化为顶点式 y＝a(x−h)²＋k，顶点为 (h，k)，对称轴为直线 x＝h＝−；a 决定开口方向与大小（a＞0 开口向上，a＜0 开口向下，|a| 越大开口越小）；a＞0 时，x＜h 时 y 随 x 增大而减小，x＞h 时 y 随 x 增大而增大，a＜0 时相反；最值在顶点处取得；图象平移遵循“左加右减、上加下减”；c 决定图象与 y 轴交点 (0，c)，a、b 的符号共同决定对称轴位置。 选择题 1．抛物线 y＝−2x²＋4x＋1 的开口方向及顶点坐标是（　） A. 开口向上，顶点 (1，3)　B. 开口向下，顶点 (1，3) C. 开口向下，顶点 (−1，3)　D. 开口向上，顶点 (−1，−1) 2．抛物线 y＝ax²＋bx＋c 的对称轴是直线 x＝1，且经过点 (0，−3)、(−1，0)，则 a−b＋c 的值为（　） A. −4　B. 0　C. 4　D. −6 3．把抛物线 y＝−x² 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式及顶点坐标是（　） A. y＝−(x−2)²＋3，顶点 (2，−3)　B. y＝−(x＋2)²＋3，顶点 (−2，3) C. y＝−(x−2)²＋3，顶点 (2，3)　D. y＝−(x−2)²−3，顶点 (2，−3) 填空题 4．点 A(−1，y₁)、B(1，y₂)、C(2，y₃) 都在抛物线 y＝−x²＋2x＋3 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是______。 5．若抛物线 y＝x²−2mx＋m²−2m＋4 的顶点在 x 轴上，则 m＝______。 解答题 6．已知二次函数 y＝x²−4x＋3。 （1）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标； （3）当 −1≤x≤4 时，求 y 的取值范围。 7．如图，已知抛物线 y＝ax²＋bx＋c 经过点 A(−1，0)、B(3，0)、C(0，−3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）当 x 在什么范围内，y 随 x 的增大而增大？ （3）将该抛物线向上平移 k（k＞0）个单位后经过点 (2，1)，求 k 的值。 类型二　二次函数与一元二次方程 【知识点】抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标即方程 ax²＋bx＋c＝0 的根；判别式 Δ＝b²−4ac 决定交点个数（Δ＞0 两个交点，Δ＝0 一个交点，Δ＜0 无交点）；已知两根 x₁、x₂ 时可用交点式 y＝a(x−x₁)(x−x₂)；韦达定理 x₁＋x₂＝−，x₁x₂＝，两根之差的绝对值 |x₁−x₂|＝。 选择题 1．若抛物线 y＝x²−6x＋m 与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值为（　） A. 3　B. 6　C. 9　D. 12 2．若一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为 −2 和 4，则抛物线 y＝ax²＋bx＋c 的对称轴是（　） A. x＝−1　B. x＝1　C. x＝2　D. x＝3 3．设 x₁、x₂ 是方程 x²−2x−3＝0 的两个根，且 x₁＜x₂，则 |x₁−x₂| 的值为（　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 6 填空题 4．若抛物线 y＝x²−(m＋1)x＋m 与 x 轴的两个交点关于原点对称，则 m＝______。 5．抛物线 y＝x²＋bx＋c 与 x 轴交于 A(−1，0)、B(3，0) 两点，则 b＝______，c＝______。 解答题 6．已知二次函数 y＝x²−(m＋1)x＋m−2。 （1）求证：无论 m 取何值，抛物线与 x 轴都有两个交点； （2）若抛物线与 x 轴的一个交点为 (2，0)，求 m 的值及另一个交点的坐标； （3）在（2）的条件下，求抛物线的顶点坐标。 7．如图，抛物线 y＝x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）求 △ABC 的面积； （3）若直线 x＝m 与抛物线交于点 P，与 x 轴交于点 M，当 PM＝4 时，求 m 的值。 类型三　二次函数与不等式 【知识点】解二次不等式 ax²＋bx＋c＞0（或＜0）就是看抛物线在 x 轴上（或下）方的部分对应的 x 范围：开口向上时，ax²＋bx＋c＞0 ⇔ x＜x₁ 或 x＞x₂，ax²＋bx＋c＜0 ⇔ x₁＜x＜x₂（x₁＜x₂ 为两根）；比较两个函数的函数值大小时，上方图象的函数值大于下方图象的函数值，两图象交点的横坐标是分界点。 选择题 1．已知抛物线 y＝ax²＋bx＋c 的开口向上，且与 x 轴交于点 (−1，0)、(3，0)，则不等式 ax²＋bx＋c＜0 的解集是（　） A. x＜−1　B. x＞3　C. −1＜x＜3　D. x＜−1 或 x＞3 2．已知抛物线 y＝ax²＋bx＋c 的开口向下，且与 x 轴交于点 (−2，0)、(4，0)，则不等式 ax²＋bx＋c＞0 的解集是（　） A. −2＜x＜4　B. x＜−2 或 x＞4　C. x＞−2　D. x＜4 3．抛物线 y＝x²−2x−3 与直线 y＝x＋1 交于两点，则不等式 x²−2x−3＜x＋1 的解集是（　） A. x＜−1 或 x＞4　B. −1＜x＜4　C. −1＜x＜3　D. x＜−1 填空题 4．已知抛物线 y＝ax²＋bx＋c 经过点 (−2，0)、(1，0)、(0，−2)，则不等式 ax²＋bx＋c≥0 的解集为______。 5．一次函数 y＝kx＋b 与二次函数 y＝x²−2x−3 的图象交于点 A(−1，0)、B(2，−3)，则 k＝______，不等式 x²−2x−3＞kx＋b 的解集为______。 解答题 6．如图，抛物线 y＝x²−2x−3 与 直线 y＝x＋1交于 A、B 两点（A 在 B 左侧）。 （1）求点 A、B 的坐标； （2）求不等式 x²−2x−3＞0 的解集； （3）求不等式 x²−2x−3＜x＋1 的解集。 7．如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成 （1）若图象与直线y=m有四个交点，m的取值范围是多少？ （2）若图象与直线y=m有两个交点，m的取值范围是多少？ 类型四　二次函数与一次函数 【知识点】求一次函数与二次函数图象的交点，联立方程组化为一元二次方程，方程解的个数即交点个数；判别式 Δ＝0 时直线与抛物线相切（只有一个公共点）；二次函数图象在一次函数图象上方时，函数值大于一次函数值；与面积结合时，常以坐标轴或水平线段为底，用铅直高计算三角形面积。 选择题 1．直线 y＝2x＋1 与抛物线 y＝x²−2x＋2 的交点个数为（　） A. 0　B. 1　C. 2　D. 无法确定 2．抛物线 y＝x²＋2x＋1 与直线 y＝2x＋1 的公共点个数为（　） A. 0　B. 1　C. 2　D. 3 3．抛物线 y＝x²−2x−3 与直线 y＝x−3 的交点坐标是（　） A. (0，−3)　B. (3，0)　C. (0，−3)、(3，0)　D. (−1，0)、(3，0) 填空题 4．若直线 y＝2x＋b 与抛物线 y＝x²−2x−3 只有一个公共点，则 b＝______。 5．抛物线 y＝−x²＋4x 与直线 y＝2x 的交点坐标为______。 解答题 6．已知抛物线的对称轴为直线 ． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与抛物线总有两个交点． 7．如图，抛物线 y＝x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，直线 l 经过点 B、C。 （1）求直线 l 的解析式； （2）点 P 是抛物线上位于直线 l 下方的动点，求 △PBC 面积的最大值及此时点 P 的坐标。 类型五　实际应用与二次函数 【知识点】利润问题：利润＝(售价−进价)×销量，将销量用售价表示后利润常化为二次函数，在对称轴处取得最大值；围栏、矩形面积问题：用一边表示另一边，面积化为二次函数求最值；抛物线形问题（拱桥、铅球等）：先建立平面直角坐标系，用待定系数法求解析式，再求特定高度下的宽度、最远水平距离等；求最值时要注意自变量的实际取值范围。 选择题 1．某商店销售一种进价为 20 元/件的商品，若售价定为 x 元/件（x≥20），则日销量为 (60−x) 件，当日销售利润最大时，售价应定为（　） A. 30 元　B. 40 元　C. 45 元　D. 50 元 2．一座抛物线形拱桥，正常水位时水面宽 20 m，拱顶高出水面 4 m，以拱顶为原点、水平方向为 x 轴建立坐标系，则拱桥所在抛物线的解析式为（　） A. y＝−x²/25　B. y＝−x²/20　C. y＝−x²/10　D. y＝−x²/5 3．某商品每件进价为 20 元，售价为 x 元/件（x≥20）时，日销量为 (80−2x) 件，则日销售利润 y（元）与 x 的函数关系式为 y＝−2x²＋120x−1600，售价定为多少元时，日销售利润最大（　） A. 25 元　B. 30 元　C. 35 元　D. 40 元 填空题 4．某超市销售一种进价为 30 元/件的商品，若每件售价定为 x 元（x≥30），则日销量为 (90−x) 件，为使日销售利润最大，售价应定为______元，最大日销售利润为______元。 5．如图，一座抛物线形拱桥，桥下水面宽 AB＝8 m，拱顶 C 距水面 4 m，以 AB 的中点 O 为原点、AB 所在直线为 x 轴建立坐标系，则抛物线解析式为______；当水面上升 1 m 时，水面宽度为______m。 解答题 6．某商场销售一种进价为 20 元/件的商品，经调查发现：当售价为 30 元/件时，每天可售出 200 件，售价每提高 1 元，日销量减少 10 件。设售价提高 x 元（x≥0）。 （1）求日销量 y（件）与 x 的函数关系式； （2）求日销售利润 w（元）与 x 的函数关系式； （3）售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 7．如图，某同学练习推铅球，铅球出手点 A 在地面上方，铅球运行的路线是抛物线 y＝−x²＋x＋（x 为水平距离，y 为离地高度，单位均为 m）。 （1）铅球出手时离地面的高度； （2）铅球运行中离地面的最大高度； （3）铅球落地点到出手点的水平距离。 类型六　二次函数与几何 【知识点】抛物线与三角形：先求交点坐标，再用分割法或铅直高求面积，用两点间距离（或勾股定理）判断等腰、直角三角形；抛物线与四边形：结合对称性与坐标法求面积；动点存在性问题：设出动点坐标（用参数表示），根据几何条件列方程求解，注意检验是否满足限制范围。 选择题 1．抛物线 y＝x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则 △ABC 的面积为（　） A. 4　B. 6　C. 8　D. 12 2．抛物线 y＝x²−2x−3 的顶点为 D，与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，则 △BCD 的面积为（　） A. 2　B. 3　C. 4　D. 6 3．抛物线 y＝−x²＋4x 与 x 轴交于 O、A 两点（O 为原点），顶点为 M，则关于 △OAM 的下列说法正确的是（　） A. OA＝OM　B. OM＝AM　C. ∠OAM＝90°　D. △OAM 是等边三角形 填空题 4．抛物线 y＝x²−4x＋3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线上的一点，且 △PAB 的面积等于 △CAB 的面积，则点 P 的坐标为______。 5．抛物线 y＝x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），点 P 是 x 轴下方抛物线上的动点，则 △ABP 面积的最大值为______，此时点 P 的坐标为______。 解答题 6．如图，抛物线 y＝x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）判断 △BCD 的形状，并说明理由； （3）求四边形 ABCD 的面积。 7．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； (4)点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 参考答案与解析 类型一　二次函数的图象与性质 选择题：1．B　2．B　3．C 填空题：4．y₂＞y₃＞y₁　5．m＝2 【解析】 1．B　y＝−2(x−1)²＋3，开口向下，顶点 (1，3)。 2．B　设 y＝a(x−1)²＋k，则 a＋k＝−3，4a＋k＝0，解得 a＝1，k＝−4，故 y＝x²−2x−3，a−b＋c＝1＋2−3＝0。 3．C　平移不改变开口方向与大小，右移 2 个单位、上移 3 个单位得 y＝−(x−2)²＋3，顶点 (2，3)。 4．y＝−(x−1)²＋4，对称轴 x＝1。y₁＝0，y₂＝4，y₃＝3，故 y₂＞y₃＞y₁。 5．y＝(x−m)²−2m＋4，顶点 (m，−2m＋4)。顶点在 x 轴上，即 −2m＋4＝0，m＝2。 6．（1）y＝(x−2)²−1，开口向上，对称轴 x＝2，顶点 (2，−1)。 （2）令 y＝0，x²−4x＋3＝0，x＝1 或 3，与 x 轴交于 (1，0)、(3，0)；令 x＝0，y＝3，与 y 轴交于 (0，3)。 （3）对称轴 x＝2 在−1＜x＜4内，故最小值 y＝−1；x＝−1 时 y＝8，x＝4 时 y＝3，故最大值 8。所以 −1≤y≤8。 7．（1）设 y＝a(x＋1)(x−3)，代入 C(0，−3)，得 −3a＝−3，a＝1，故 y＝(x＋1)(x−3)＝x²−2x−3。 （2）对称轴 x＝1，开口向上，故当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大。 （3）平移后解析式为 y＝x²−2x−3＋k，代入 (2，1)：4−4−3＋k＝1，解得 k＝4。 类型二　二次函数与一元二次方程 选择题：1．C　2．B　3．C 填空题：4．m＝−1　5．b＝−2，c＝−3 【解析】 1．C　Δ＝(−6)²−4m＝36−4m＝0，m＝9。 2．B　两根之和 −2＋4＝2，对称轴 x＝1。 3．C　|x₁−x₂|＝＝4（或解方程得 x₁＝−1，x₂＝3）。 4．两个交点关于原点对称，则两根互为相反数，x₁＋x₂＝0，即 m＋1＝0，m＝−1（此时 y＝x²−1，Δ＝4＞0，符合）。 5．y＝(x＋1)(x−3)＝x²−2x−3，故 b＝−2，c＝−3。 6．（1）Δ＝(m＋1)²−4(m−2)＝m²−2m＋9＝(m−1)²＋8＞0 恒成立，故无论 m 取何值，抛物线与 x 轴都有两个交点。 （2）代入 (2，0)：4−2(m＋1)＋m−2＝0，解得 m＝0。此时 y＝x²−x−2，另一交点为 (−1，0)。 （3）y＝x²−x−2＝(x−)²−，顶点坐标为 (，−)。 7．（1）令 y＝0，x²−2x−3＝0，x＝−1 或 3，故 A(−1，0)、B(3，0)；令 x＝0，y＝−3，故 C(0，−3)。 （2）S△ABC＝×AB×OC＝×4×3＝6。 （3）P(m，m²−2m−3)，M(m，0)，PM＝|m²−2m−3|＝4。 ① 当 m²−2m−3＝4 时，m²−2m−7＝0，m＝1±2；② 当 m²−2m−3＝−4 时，m²−2m＋1＝0，m＝1。故 m＝1±2 或 m＝1。 类型三　二次函数与不等式 选择题：1．C　2．A　3．B 填空题：4．x≤−2 或 x≥1　5．k＝−1；x＜−1 或 x＞2 【解析】 1．C　开口向上且两根为 −1、3，ax²＋bx＋c＜0 对应 x 轴下方的部分，即 −1＜x＜3。 2．A　开口向下且两根为 −2、4，ax²＋bx＋c＞0 对应 x 轴上方的部分，即 −2＜x＜4。 3．B　联立 x²−3x−4＝0，得 x＝−1、4；抛物线开口向上，在直线下方，故 −1＜x＜4。 4．设 y＝a(x＋2)(x−1)，代入 (0，−2)：−2a＝−2，a＝1，开口向上。ax²＋bx＋c≥0 即图象在 x 轴上方的部分，解集为 x≤−2 或 x≥1。 5．直线过 A(−1，0)、B(2，−3)，故 k＝(−3−0)/(2＋1)＝−1，直线为 y＝−x−1。由图象，抛物线在直线上方的部分对应 x＜−1 或 x＞2。 6．（1）x²−2x−3＝0，x＝−1 或 3，故 A(−1，0)、B(3，0)。 （2）开口向上，x²−2x−3＞0 对应 x 轴上方，解集为 x＜−1 或 x＞3。 （3）联立 x²−2x−3＝x＋1，得 x²−3x−4＝0，x＝−1 或 4，即 C、D 的横坐标为 −1、4。抛物线在直线下方，故解集为 −1＜x＜4。 7．（1）0＜m＜4 （2）m＞4或m=0 类型四　二次函数与一次函数 选择题：1．C　2．B　3．C 填空题：4．b＝−7　5．(0，0)、(2，4) 【解析】 1．C　联立 x²−4x＋1＝0，Δ＝12＞0，两个交点。 2．B　联立 x²＝0，仅一个公共点 (0，1)。 3．C　联立 x²−3x＝0，x＝0、3，交点 (0，−3)、(3，0)。 4．联立 x²−2x−3＝2x＋b，得 x²−4x−(3＋b)＝0。只有一个公共点，Δ＝16＋4(3＋b)＝28＋4b＝0，b＝−7。 5．联立 −x²＋4x＝2x，得 −x²＋2x＝0，x＝0 或 2，交点 (0，0)、(2，4)。 6．(1)抛物线的解析式为 (2)证明：由， 得， 即， ，且． ． 直线与抛物线总有两个交点. 7．（1）B(3，0)、C(0，−3)，设 y＝kx＋b，则 3k＋b＝0，b＝−3，k＝1，故直线 l：y＝x−3。 （2）设 P(x，x²−2x−3)（0＜x＜3），铅直高 h＝(x−3)−(x²−2x−3)＝3x−x²。S△PBC＝×(3−0)×h＝×3×(3x−x²)。h＝3x−x² 在 x＝ 时取最大值 ，故 S 最大为 ×3×＝。此时 P(，−)。 类型五　实际应用与二次函数 选择题：1．B　2．A　3．B 填空题：4．60；900　5．y＝−＋4；4 【解析】 1．B　y＝(x−20)(60−x)，对称轴 x＝40。 2．A　以拱顶为原点，抛物线过 (10，−4)，设 y＝ax²，100a＝−4，a＝−，故 y＝−。 3．B　y＝−2x²＋120x−1600，对称轴 x＝30。 4．y＝(x−30)(90−x)＝−x²＋120x−2700，对称轴 x＝60，最大利润 30×30＝900。故售价 60 元，最大利润 900 元。 5．A(−4，0)、B(4，0)、C(0，4)，设 y＝ax²＋4，16a＋4＝0，a＝−，故 y＝− ＋4。水面上升 1 m 后 y＝1，−＋4＝1，x²＝12，水面宽度 2＝4（m）。 6．（1）y＝200−10x。 （2）w＝(30＋x−20)(200−10x)＝(10＋x)(200−10x)＝−10x²＋100x＋2000。 （3）w＝−10(x−5)²＋2250，故 x＝5 时 w 最大，为 2250 元，此时售价 30＋5＝35 元。 7．（1）x＝0 时，y＝，铅球出手时离地面 m。 （2）对称轴 x＝4。最大高度 y＝−＋＋＝3（m）。 （3）令 y＝0：−x²＋x＋＝0，即 x²−8x−20＝0，x＝10 或 −2（舍去），故落地点到出手点的水平距离为 10 m。 类型六　二次函数与几何 选择题：1．B　2．B　3．B 填空题：4．(4，3)　5．8；(1，−4) 【解析】 1．B　A(−1，0)、B(3，0)、C(0，−3)，S△ABC＝×4×3＝6。 2．B　B(3，0)、C(0，−3)、D(1，−4)。BC²＝18，CD²＝2，BD²＝20，BC²＋CD²＝BD²，∠BCD＝90°，S＝×3×＝3。 3．B　A(4，0)、M(2，4)。OM²＝20，AM²＝20，OA²＝16，故 OM＝AM，△OAM 是等腰三角形（非等边，∠OAM≠90°）。 4．A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)。S△CAB＝×2×3＝3。设 P(x，y)，S△PAB＝×2×|y|＝|y|＝3。y＝3 时 x²−4x＋3＝3，x＝0（点 C）或 4，故 P(4，3)；y＝−3 时方程 x²−4x＋6＝0 无实解。 5．A(−1，0)、B(3，0)。P 在 x 轴下方，y 最小时面积最大，即 P 为顶点 D(1，−4)，S 最大＝ ×4×4＝8。 6．（1）A(−1，0)、B(3，0)、C(0，−3)、D(1，−4)。 （2）BC²＝(3−0)²＋(0＋3)²＝18，CD²＝(0−1)²＋(−3＋4)²＝2，BD²＝(3−1)²＋(0＋4)²＝20。因为 BC²＋CD²＝BD²，所以 △BCD 是以 ∠BCD 为直角的直角三角形。 （3）S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝6＋1＝7（其中 S△ACD＝××＝1）。 7．(1) (2) (3)点的坐标为 (4)或 学科网（北京）股份有限公司 $