第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破（九大高频+六大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数全章高频重难点，构建从基础概念到综合应用的梯度训练体系，以题型为载体培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|9类高频题型|单一知识点聚焦，含概念判断、图像性质（5种形式）、系数关系等基础题|从概念生成到图像性质推导，逐步建立二次函数表达形式与图像特征的关联| |核心提升|6类重难题型|综合应用导向，涉及几何综合、函数交汇、实际应用（面积/利润）、含参问题|从性质应用拓展到跨知识综合，强化运算能力与推理意识| |题型专练|配套专项题|覆盖高频考点与易错点，含中考真题变式|通过典例迁移，实现知识逻辑向解题能力的转化|

第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念与一般形式 题型2 二次函数 的图像与性质 题型3 二次函数 的图像与性质 题型4 二次函数 的图像与性质 题型5 二次函数 的图像与性质 题型6 二次函数 的图像与性质 题型7 二次函数图像与系数的关系 题型8 抛物线形实际应用 题型9 二次函数图像变换综合 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次函数与几何综合 题型2 二次函数与一次函数综合 题型3 二次函数的实际应用——面积问题 题型4 二次函数的实际应用——利润问题 题型5 二次函数与方程、不等式的综合 题型6 含参二次函数问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 二次函数的概念与一般形式 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若 是关于 的二次函数，则 的值为________。 3.【易错题】若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是________。 4. 将二次函数 化为一般形式为________________，其中二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________。 5. 已知二次函数 的图像经过点 ，，，求这个二次函数的解析式。 ◆题型2 二次函数 的图像与性质 6. 抛物线 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。 7. 已知二次函数 。 1. 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； 1. 当 时， 随 的增大而________；当 时， 随 的增大而________。 8. 点 在抛物线 上，且点 的横坐标为 ，求点 的坐标。 9. 已知抛物线 经过点 ，求这个二次函数的解析式。 ◆题型3 二次函数 的图像与性质 10. 抛物线 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。 11. 将抛物线 向上平移 个单位，得到的抛物线解析式为________________。 12. 已知抛物线 的顶点坐标为 ，且经过点 ，求这个二次函数的解析式。 ◆题型4 二次函数 的图像与性质 13. 抛物线 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。 14.【易错题】将抛物线 向左平移 个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 15. 已知抛物线 的顶点坐标为 ，且经过点 ，求这个二次函数的解析式。 ◆题型5 二次函数 的图像与性质 16. 抛物线 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。 17.【易错题】将抛物线 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 18. 已知二次函数 。 1. 用配方法将其化为 的形式； 1. 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。 19. 已知二次函数 。 1. 用配方法将其化为顶点式； 1. 求该抛物线与 轴的交点坐标。 ◆题型6 二次函数 的图像与性质 20. 抛物线 的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 21.【易错题】已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 22. 已知点 ，， 都在抛物线 上，则 ，， 的大小关系为________。 23. 已知二次函数 。 1. 求该抛物线与 轴的交点坐标； 1. 求该抛物线与 轴的交点坐标； 1. 在直角坐标系中画出该函数的大致图像。 ◆题型7 二次函数图像与系数的关系 24.【中考高频】二次函数 的图像如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 25.【易错题】二次函数 的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 26. 已知二次函数 的图像经过点 ，，。求这个二次函数的解析式； ◆题型8 抛物线形实际应用 27. 如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面 ，水面宽 。 1. 建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； 1. 若水面上涨 ，此时水面宽是多少？ ◆题型9二次函数图像变换综合 28.【易错题】将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，求所得抛物线的解析式。 29. 将抛物线 关于 轴对称，求所得抛物线的解析式。 ◆题型1 二次函数与几何综合 1. 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点为 ，求 的面积。 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，。 1. 求抛物线的解析式； 1. 设抛物线的顶点为 ，求 的面积。 ◆题型2 二次函数与一次函数综合 3. 已知一次函数 的图像与二次函数 的图像交于 ， 两点，求 ， 两点的坐标。 4. 如图，一次函数 的图像与二次函数 的图像交于 ， 两点。 1. 求一次函数的解析式； 1. 当 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？ 5.【易错题】如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，求 ， 两点的坐标及 的面积（ 为原点）。 ◆题型3 二次函数的实际应用——面积问题 6. 如图，用长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 ，花圃的面积为 。 1. 求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； 1. 当 为何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 7.【易错题】如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为 ），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆。设矩形花园垂直于墙的边 的长为 ，面积为 。已知篱笆总长为 。 1. 直接写出 与 的函数关系式，并写出 的取值范围； 1. 当边 的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 8. 某农场欲围建一个矩形养鸡场，其中一边利用现有的一堵墙（墙长 ），另外三边用总长为 的篱笆围成。设矩形养鸡场垂直于墙的边长为 ，面积为 。 1. 求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； 1. 当 为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？ ． ◆题型4 二次函数的实际应用——利润问题 9.【易错题】某专卖店销售的一款童装每件进价为 元，销售价为 元，每天可售出 件。如果每件童装降价 元，那么平均可多售出 件，设每件童装降价 元。当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 10. 某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元。经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价每提高 元时，每天的销售量就减少 件。 1. 求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； 1. 当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ ◆题型5 二次函数与方程、不等式的综合 11. 已知二次函数 。 1. 当 为何值时，？ 1. 当 为何值时，？ 1. 当 为何值时，？ 12. 已知二次函数 的图像经过点 ，，。 1. 求这个二次函数的解析式； 1. 当 为何值时，？ 13.【易错题】已知关于 的一元二次方程 。 1. 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； 1. 若方程的两个实数根为 ，，且满足 ，求 的值。 ◆题型6 含参二次函数问题 14. 已知二次函数 。 求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个交点； 15.【易错题】已知二次函数 。若该抛物线与 轴有两个交点，求 的取值范围。 一、选择题 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3.【易错题】将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 5.【中考高频】已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则代数式 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7.【易错题】已知二次函数 的开口向上，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点 ，， 都在抛物线 上，则 ，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 抛物线 的对称轴是________，顶点坐标是________。 10.【易错题】已知二次函数 的最小值为 ，则 的值为________。 11. 将抛物线 化为顶点式为________________。 12. 已知抛物线 经过点 ，，则抛物线的对称轴为________。 13. 某商品原价 元，连续两次涨价后售价为 元，则平均每次涨价的百分率为________。 14. 已知二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，则 的面积为________。 三、解答题 15. 已知二次函数 。 1. 用配方法将其化为 的形式； 1. 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； 1. 当 时，求函数的最大值和最小值。 16. 已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 。 1. 求这个二次函数的解析式； 1. 求该抛物线与 轴的交点坐标。 17. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 。 1. 求 ，， 三点的坐标； 1. 求 的面积。 18. 某跳水运动员进行 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点 的一条抛物线。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 ，入水处距池边的距离为 。同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 1. 求这条抛物线的解析式； 1. 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。 19.【易错题】已知二次函数 。 1. 求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个交点； 1. 若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值。 20. 某商店将进货价为每件 元的商品按每件 元售出时，每天可售出 件。已知这种商品每涨价 元，每天的销售量就减少 件。问：将售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破 ◆题型1 二次函数的概念与一般形式 1. 【详解】A 含 不是整式；B 展开为 是一次函数；C 是二次函数；D 是一次函数。 故选C 2.【详解】需 且 。由 得 ，又 ，故 。 3.【详解】二次项系数 ，即 。 4.【详解】。 二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为-3. 5.【详解】代入三点：；；。解得 ，，。 故 ◆题型2 二次函数 的图像与性质 6. 【详解】，开口向上； 型对称轴为 轴，顶点 。 7. 【详解】，开口向下；右侧()递减，左侧()递增。 故(1) 开口向下；对称轴 轴（）；顶点 ；(2) 减小；增大 8.【详解】将 代入 ：。 故 9. 【详解】代入 ：，。 故 ◆题型3 二次函数 的图像与性质 10.【详解】开口向上；对称轴 轴（）；顶点 11.【详解】 12.【详解】顶点 ，。代入 ：，。 故 ◆题型4 二次函数 的图像与性质 13.【详解】开口向下；对称轴 ；顶点 14.【详解】左移 ： 替换为 ，。 故选B 15.【详解】，代入 ：，。 故 ◆题型5 二次函数 的图像与性质 16.【详解】开口向下；对称轴 ；顶点 17.【详解】右移 ：；上移 ：。 故选C 18. 【详解】（1） (2) 开口向上；对称轴 ；顶点 19. 【详解】（1） （2） 令 ：， 或 。 故该抛物线与 轴的交点坐标 ， ◆题型6 二次函数 的图像与性质 20. 【详解】，顶点 。 故选A 21.【详解】由图像：开口向上 （A 正确）；对称轴在右侧 （B 错）；与 轴交于负半轴 （C 错）； 时 ，（D 错）。 故选A 22. 已知点 ，， 都在抛物线 上，则 ，， 的大小关系为________。 【详解】。；；。 故 23. 【详解】(1) ，。 该抛物线与 轴的交点坐标（3，0），（-1，0） (2) 时 。 该抛物线与 轴的交点坐标；（0，-3） （3）图略 ◆题型7 二次函数图像与系数的关系 24.【详解】由图像：开口向下 （A 错）；对称轴在左侧 （B 错）；与 轴交于正半轴 （C 正确）；与 轴有两个交点 （D 错）。 故选C 25.【详解】由图像：开口向上 ，①正确；对称轴 ，，②正确；与 轴交于负半轴 ，③错误；与 轴有两个交点 ，④正确；顶点在 轴下方 ，⑤正确；，⑥正确。共 个。 故D（ 个正确：①②④⑤⑥） 26. 【详解】代入三点：；；。解得 ，，。 故 ◆题型8 抛物线形实际应用 27. 【详解】(1) 以水面中点为原点，向上为正。抛物线过 ，顶点 。 设 ，代入 ，。 （2）水面上涨 ，令 ：，，，宽 。 故(1) ；(2) ◆题型9二次函数图像变换综合 28. 【详解】，左移 ：，下移 ：。 故 29. 【详解】关于 轴对称， 取相反数：。 故 ◆题型1 二次函数与几何综合 1.【详解】令 ：， ，，。顶点 ，高 。。 故 2. 【详解】(1) 代入 ，：，，解得 ，。 （2） ，，，高 。。 故(1) ；(2) ◆题型2 二次函数与一次函数综合 3.【详解】联立 ，，。 时 ； 时 。 ， 4. 【详解】(1) 代入 ，：，，解得 ，。 （2），，，。 故(1) ；(2) 5.【详解】联立 ，得 或 ，，。 直线 ， 到直线距离 ，，。 故，； ◆题型3 二次函数的实际应用——面积问题 6. 【详解】。 故(1) （）；(2) 时最大 7.【详解】平行于墙的边长 ，。 约束：；。 在 上递减， 时 。 故(1) （）；(2) 时最大 8. 【详解】。约束：。 时 。 故(1) （）；(2) 时最大 ◆题型4 二次函数的实际应用——利润问题 9.【详解】】。 故降价 元时，最大利润 元 10. 【详解】销量 ，。 故(1) （）；(2) 售价 元时最大利润 元 ◆题型5 二次函数与方程、不等式的综合 11. 【详解】 故(1) 或 ；(2) 或 ；(3) 12. 【详解】(1) 设 ，代入 ：，。 故(1) ；(2) 或 13.【详解】(1) ，。 （2），。，（满足 ）。 故(1) ；(2) ◆题型6 含参二次函数问题 14. 【详解】（1） ∴无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个交点； 15. 【详解】】 恒成立。需 ，。 1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D 9. 【答案】； 10.【答案】 11. 【答案】 12. 【答案】 13. 【答案】 14.【答案】6 15.【答案】(1) 。(2) 开口向上，，。（3）最大值 ，最小值 。 16. 【答案】。 17.【答案】（1），，。（2）。 18. 【答案】（1） （2）会出现失误 19.【答案】（2） 或 20. 【答案】售价定为每件 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 元。 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念与一般形式 题型2 二次函数 的图像与性质 题型3 二次函数 的图像与性质 题型4 二次函数 的图像与性质 题型5 二次函数 的图像与性质 题型6 二次函数 的图像与性质 题型7 二次函数图像与系数的关系 题型8 抛物线形实际应用 题型9 二次函数图像变换综合 核心提升：重难题型归纳 题型1 二次函数与几何综合 题型2 二次函数与一次函数综合 题型3 二次函数的实际应用——面积问题 题型4 二次函数的实际应用——利润问题 题型5 二次函数与方程、不等式的综合 题型6 含参二次函数问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 二次函数的概念与一般形式 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【详解】A 含 不是整式；B 展开为 是一次函数；C 是二次函数；D 是一次函数。 故选C 2. 若 是关于 的二次函数，则 的值为________。 【详解】需 且 。由 得 ，又 ，故 。 3.【易错题】若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是________。 【详解】二次项系数 ，即 。 4. 将二次函数 化为一般形式为________________，其中二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________。 【详解】。 二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为-3. 5.已知二次函数 的图像经过点 ，，，求这个二次函数的解析式。 【详解】代入三点：；；。解得 ，，。 故 ◆题型2 二次函数 的图像与性质 6. 抛物线 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。 【详解】，开口向上； 型对称轴为 轴，顶点 。 7. 已知二次函数 。 1. 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； 1. 当 时， 随 的增大而________；当 时， 随 的增大而________。 【详解】，开口向下；右侧()递减，左侧()递增。 故(1) 开口向下；对称轴 轴（）；顶点 ；(2) 减小；增大 8.点 在抛物线 上，且点 的横坐标为 ，求点 的坐标。 【详解】将 代入 ：。 故 9. 已知抛物线 经过点 ，求这个二次函数的解析式。 【详解】代入 ：，。 故 ◆题型3 二次函数 的图像与性质 10. 抛物线 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。 【详解】开口向上；对称轴 轴（）；顶点 11. 将抛物线 向上平移 个单位，得到的抛物线解析式为________________。 【详解】 12. 已知抛物线 的顶点坐标为 ，且经过点 ，求这个二次函数的解析式。 【详解】顶点 ，。代入 ：，。 故 ◆题型4 二次函数 的图像与性质 13. 抛物线 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。 【详解】开口向下；对称轴 ；顶点 14.【易错题】将抛物线 向左平移 个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【详解】左移 ： 替换为 ，。 故选B 15.已知抛物线 的顶点坐标为 ，且经过点 ，求这个二次函数的解析式。 【详解】，代入 ：，。 故 ◆题型5 二次函数 的图像与性质 16.抛物线 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。 【详解】开口向下；对称轴 ；顶点 17.【易错题】将抛物线 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【详解】右移 ：；上移 ：。 故选C 18. 已知二次函数 。 1. 用配方法将其化为 的形式； 1. 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。 【详解】（1） (2) 开口向上；对称轴 ；顶点 19. 已知二次函数 。 1. 用配方法将其化为顶点式； 1. 求该抛物线与 轴的交点坐标。 【详解】（1） （2） 令 ：， 或 。 故该抛物线与 轴的交点坐标 ， ◆题型6 二次函数 的图像与性质 20. 抛物线 的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【详解】，顶点 。 故选A 21.【易错题】已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【详解】由图像：开口向上 （A 正确）；对称轴在右侧 （B 错）；与 轴交于负半轴 （C 错）； 时 ，（D 错）。 故选A 22. 已知点 ，， 都在抛物线 上，则 ，， 的大小关系为________。 【详解】。；；。 故 23. 已知二次函数 。 1. 求该抛物线与 轴的交点坐标； 1. 求该抛物线与 轴的交点坐标； 1. 在直角坐标系中画出该函数的大致图像。 【详解】(1) ，。 该抛物线与 轴的交点坐标（3，0），（-1，0） (2) 时 。 该抛物线与 轴的交点坐标；（0，-3） （3）图略 ◆题型7 二次函数图像与系数的关系 24.【中考高频】二次函数 的图像如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【详解】由图像：开口向下 （A 错）；对称轴在左侧 （B 错）；与 轴交于正半轴 （C 正确）；与 轴有两个交点 （D 错）。 故选C 25.【易错题】二次函数 的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【详解】由图像：开口向上 ，①正确；对称轴 ，，②正确；与 轴交于负半轴 ，③错误；与 轴有两个交点 ，④正确；顶点在 轴下方 ，⑤正确；，⑥正确。共 个。 故D（ 个正确：①②④⑤⑥） 26. 已知二次函数 的图像经过点 ，，。求这个二次函数的解析式； 【详解】代入三点：；；。解得 ，，。 故 ◆题型8 抛物线形实际应用 27. 如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面 ，水面宽 。 1. 建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； 1. 若水面上涨 ，此时水面宽是多少？ 【详解】(1) 以水面中点为原点，向上为正。抛物线过 ，顶点 。 设 ，代入 ，。 （2）水面上涨 ，令 ：，，，宽 。 故(1) ；(2) ◆题型9二次函数图像变换综合 28. 【易错题】将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，求所得抛物线的解析式。 【详解】，左移 ：，下移 ：。 故 29. 将抛物线 关于 轴对称，求所得抛物线的解析式。 【详解】关于 轴对称， 取相反数：。 故 ◆题型1 二次函数与几何综合 1. 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点为 ，求 的面积。 【详解】令 ：， ，，。顶点 ，高 。。 故 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，。 1. 求抛物线的解析式； 1. 设抛物线的顶点为 ，求 的面积。 【详解】(1) 代入 ，：，，解得 ，。 （2） ，，，高 。。 故(1) ；(2) ◆题型2 二次函数与一次函数综合 3.已知一次函数 的图像与二次函数 的图像交于 ， 两点，求 ， 两点的坐标。 【详解】联立 ，，。 时 ； 时 。 ， 4. 如图，一次函数 的图像与二次函数 的图像交于 ， 两点。 1. 求一次函数的解析式； 1. 当 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？ 【详解】(1) 代入 ，：，，解得 ，。 （2），，，。 故(1) ；(2) 5.【易错题】如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，求 ， 两点的坐标及 的面积（ 为原点）。 【详解】联立 ，得 或 ，，。 直线 ， 到直线距离 ，，。 故，； ◆题型3 二次函数的实际应用——面积问题 6. 如图，用长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 ，花圃的面积为 。 1. 求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； 1. 当 为何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【详解】。 故(1) （）；(2) 时最大 7.【易错题】如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为 ），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆。设矩形花园垂直于墙的边 的长为 ，面积为 。已知篱笆总长为 。 1. 直接写出 与 的函数关系式，并写出 的取值范围； 1. 当边 的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 【详解】平行于墙的边长 ，。 约束：；。 在 上递减， 时 。 故(1) （）；(2) 时最大 8. 某农场欲围建一个矩形养鸡场，其中一边利用现有的一堵墙（墙长 ），另外三边用总长为 的篱笆围成。设矩形养鸡场垂直于墙的边长为 ，面积为 。 1. 求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； 1. 当 为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【详解】。约束：。 时 。 故(1) （）；(2) 时最大 ◆题型4 二次函数的实际应用——利润问题 9. 【易错题】某专卖店销售的一款童装每件进价为 元，销售价为 元，每天可售出 件。如果每件童装降价 元，那么平均可多售出 件，设每件童装降价 元。当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 【详解】】。 故降价 元时，最大利润 元 10. 某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元。经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价每提高 元时，每天的销售量就减少 件。 1. 求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； 1. 当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【详解】销量 ，。 故(1) （）；(2) 售价 元时最大利润 元 ◆题型5 二次函数与方程、不等式的综合 11. 已知二次函数 。 1. 当 为何值时，？ 1. 当 为何值时，？ 1. 当 为何值时，？ 【详解】 故(1) 或 ；(2) 或 ；(3) 12. 已知二次函数 的图像经过点 ，，。 1. 求这个二次函数的解析式； 1. 当 为何值时，？ 【详解】(1) 设 ，代入 ：，。 故(1) ；(2) 或 13.【易错题】已知关于 的一元二次方程 。 1. 若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； 1. 若方程的两个实数根为 ，，且满足 ，求 的值。 【详解】(1) ，。 （2），。，（满足 ）。 故(1) ；(2) ◆题型6 含参二次函数问题 14. 已知二次函数 。 求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个交点； 【详解】（1） ∴无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个交点； 15.【易错题】已知二次函数 。若该抛物线与 轴有两个交点，求 的取值范围。 【详解】】 恒成立。需 ，。 一、选择题 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】A为一次函数；B等于号右边不是整式；D化简后没有二次项。 故选：C． 2. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】（2，3） 故选：A 3．【易错题】将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 故选：B． 4.二次函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 故选B 5.【中考高频】已知抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则代数式 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】把代入 中得， =3+2024=2027，故选D 6. 如图，二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】开口向下 ；对称轴在左侧 ；与 轴交正半轴 ； 时由图像 ，D 正确。 7.【易错题】已知二次函数 的开口向上，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】开口向上，，。 故选B 8. 已知点 ，， 都在抛物线 上，则 ，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】。，，。。 故选D 二、填空题 9. 抛物线 的对称轴是________，顶点坐标是________。 【答案】； 【详解】； 10.【易错题】已知二次函数 的最小值为 ，则 的值为________。 【答案】 【详解】 11. 将抛物线 化为顶点式为________________。 【答案】 【详解】 12. 已知抛物线 经过点 ，，则抛物线的对称轴为________。 【答案】 【详解】 13. 某商品原价 元，连续两次涨价后售价为 元，则平均每次涨价的百分率为________。 【答案】 【详解】 14. 已知二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，则 的面积为________。 【答案】6 【详解】令y=0, 令x=0则y=-3, 三、解答题 15. 已知二次函数 。 1. 用配方法将其化为 的形式； 1. 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； 1. 当 时，求函数的最大值和最小值。 【答案】(1) 。(2) 开口向上，，。（3）最大值 ，最小值 。 【详解】 （2） a=1＞0，所以开口向上，对称轴x=2， 顶点坐标（2，-1） （3） 当x=-1时，最大值为8； 当x=2时，最小值为-1. 16. 已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 。 1. 求这个二次函数的解析式； 1. 求该抛物线与 轴的交点坐标。 【答案】。 【详解】(1) 设，代入 ：，。 （2），，。 该抛物线与 轴的交点坐标 17. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 。 1. 求 ，， 三点的坐标； 1. 求 的面积。 【答案】（1），，。（2）。 【详解】(1) 令y=0，， 所以，， 令x=0则y=-3 。 （2）， 到 轴距离 ， 18. 某跳水运动员进行 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点 的一条抛物线。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 ，入水处距池边的距离为 。同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 1. 求这条抛物线的解析式； 1. 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。 【答案】（1） （2）会出现失误。 【详解】（1）求抛物线的解析式 以跳台边缘 为原点，建立如图所示的直角坐标系： 轴水平向右（指向池内）， 轴竖直向上。 由题意可知： 跳台距水面 ，即水面所在直线为 ； 运动员在空中的最高处距水面 ，即最高点距跳台的高度为 ，即顶点纵坐标为 ； 抛物线经过原点 ； 池边在 点左侧水平距离 处，入水处距池边 ，故入水点的横坐标为 ，即入水点 的坐标为 。 因为抛物线经过原点，所以设抛物线解析式为： 条件一： 顶点纵坐标为 。 由顶点公式，，得： 条件二： 抛物线过点 。 将 ， 代入 ： 化简得： 由 ② 得： 代入 ①： 两边同乘 ，去分母： 用求根公式： 当 时， 此时顶点横坐标 顶点在 点左侧，抛物线对称轴在 轴左侧， 不符合抛物线向右延伸的实际方向，舍去。 当 时， 此时顶点横坐标 ，符合实际。 （2）判断是否会失误 运动员距池边的水平距离为 ，池边在 处，故运动员的横坐标为： 将 代入抛物线解析式： 此时运动员距水面的高度为： 因为 ，即运动员调整好入水姿势时，距水面高度不足 ，尚未在 高度以上完成规定动作。 19.【易错题】已知二次函数 。 1. 求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个交点； 1. 若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值。 【答案】（2） 或 【详解】（1）证明抛物线与 轴总有两个交点 令 ，得 计算判别式： 因为 ，且 的值与 无关，恒为正数， 所以无论 取何值，方程 总有两个不相等的实数根， 即该抛物线与 轴总有两个交点。 （2）求 的值 由求根公式，方程 的两根为： 即 ， 两个交点分别为 和 ，它们之间的距离为： 20. 某商店将进货价为每件 元的商品按每件 元售出时，每天可售出 件。已知这种商品每涨价 元，每天的销售量就减少 件。问：将售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】售价定为每件 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 元。 【详解】设每件商品涨价 元（），则： 每件售价为 元； 每件利润为 元； 每天销售量为 件。 设每天获得的总利润为 元，则： 展开： 提取公因数并配方： 因为 ，所以当 时， 取最大值，最大值为 。 此时售价为：（元）。 故售价定为每件 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 元。 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $