专题01 利用勾股定理解决折叠问题有关的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题01利用勾股定理解决折叠问题有关的 题型归纳 题型一长方形中折痕过对角线模型 题型二长方形中折痕过一顶点模型 题型三长方形中折痕过任意两点模型 题型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 题型专练 题型一：长方形中折痕过对角线模型 1.B 2.5 3.4 4. 【答案】(1) △BED是等腰三角形；理由如下： :四边形ABCD是长方形， .ADlI BC .∠ADB=∠DBC, ,△BCD沿BD折叠得△BCD, .∠C'BD=∠DBC .∠C'BD=∠ADB .'BE =ED.. △BED是等腰三角形， 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题01利用勾股定理解决折叠问题有关的 题型归纳 题型一长方形中折痕过对角线模型 题型二长方形中折痕过一顶点模型 题型三长方形中折痕过任意两点模型 题型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 题型专练 题型一：长方形中折痕过对角线模型 1.B 2.5 3.4 4. 【答案】(1) △BED是等腰三角形；理由如下： :四边形ABCD是长方形， .ADlI BC .∠ADB=∠DBC, ,△BCD沿BD折叠得△BCD, .∠C'BD=∠DBC .∠C'BD=∠ADB .'BE =ED.. △BED是等腰三角形， 1/23 上好每一堂课 六种模型 上好每一堂课 六种模型 命学科网·上好课 www.zxxk.com (2)解：，四边形ABCD是长方形， .∠A=90°，AD=BC, BC=4, .AD=4, 设BE=x, 由(1)知BE=ED,则ED=x, .AE=4-x. 在Rt△AEB中AB2+AE2=BE2, AB=2, 22+(4-x)}=x2, 5 ..x= 2 即BE=5 2 (3)解：Sam=DEAB=5X5x2= 15 2 22 5. 【答案】(1) 证明：由长方形的性质可得∠D=∠B=90°，AD=BC, 由折叠的性质可得CB=CB,∠B=∠B=90°， .CB'=AD,∠B'=∠D=90°. 又，∠AED=∠CEB', ∴.△AED≌aCEB'(AAS) (2)10 (3)4 【详解】(1)略 (2)解：，△AED≌△CEB', .DE B'E, 设DE=B'E=x,则CE=CD-DE=AB-DE=8-x, 在Rt△EB'C中，由勾股定理得CE2=B'C2+B'E2, .(8-x)2=x2+42 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com (2)解：，四边形ABCD是长方形， .∠A=90°，AD=BC, BC=4, .AD=4, 设BE=x, 由(1)知BE=ED,则ED=x, .AE=4-x. 在Rt△AEB中AB2+AE2=BE2, AB=2, 22+(4-x)}=x2, 5 ..x= 2 即BE=5 2 (3)解：Sam=DEAB=5X5x2= 15 2 22 5. 【答案】(1) 证明：由长方形的性质可得∠D=∠B=90°，AD=BC, 由折叠的性质可得CB=CB,∠B=∠B=90°， .CB'=AD,∠B'=∠D=90°. 又，∠AED=∠CEB', ∴.△AED≌aCEB'(AAS) (2)10 (3)4 【详解】(1)略 (2)解：，△AED≌△CEB', .DE B'E, 设DE=B'E=x,则CE=CD-DE=AB-DE=8-x, 在Rt△EB'C中，由勾股定理得CE2=B'C2+B'E2, .(8-x)2=x2+42 2/23 上好每一堂课 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 解得x=3, .CE=5, SAACE=5CE·AD=10: 2 (3)解：如图所示，连接PE, 在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=√AD+DE2=5, :S△MCE=S△MPE+S△cPE, 4Epo+号cEpm=0, G+3PH=10. 5 :.2 2 .PG+PH=4」 E D H G P B 题型二：长方形中折痕过一顶点模型 6.2 7.10 8. 3 8 【答案】操作一：CD=2:操作二：BP的长为3 【详解】操作一：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, .AB=V32+42=5, 由翻折可得，AE=AC=3,CD=DE, ∴.BE=AB-AE=5-3=2, 设CD=x,则DE=x,BD=4-x, 3/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 解得x=3, .CE=5, SAACE=5CE·AD=10: 2 (3)解：如图所示，连接PE, 在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=√AD+DE2=5, :S△MCE=S△MPE+S△cPE, 4Epo+号cEpm=0, G+3PH=10. 5 :.2 2 .PG+PH=4」 E D H G P B 题型二：长方形中折痕过一顶点模型 6.2 7.10 8. 3 8 【答案】操作一：CD=2:操作二：BP的长为3 【详解】操作一：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, .AB=V32+42=5, 由翻折可得，AE=AC=3,CD=DE, ∴.BE=AB-AE=5-3=2, 设CD=x,则DE=x,BD=4-x, 3/23 上好每一堂课 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtADBE中，∠DEB=90°，由勾股定理得：x2+2=(4-x)2, 3 解得：x=。 2 .Co 操作二：在长方形ABCD中，DC=AB=I0,AD=BC=6, 根据折叠的性质得，DE=DC=10, 在Rt△ADE中，∠A=90°， 根据勾股定理可得，AE=√DE2-AD2=8, .BE=AB-AE=2, 设BP=x,则PE=PC=6-x, 在Rt△BPE中，∠B=90°， x2+2=(6-x02, 8 解得x=3, 8 :BP的长为3： 9. 【答案】(I)①证明：：四边形ABCD是长方形，AB=6,AD=8, .AD /BC,AB=CD=6,AD=BC=8. .∠DAC=∠ACB, ,将△ABE沿着AE翻折，B点的对应点为B', .∠ACB'=∠ACB,AD=BC=B'C=8. .∠ACB=∠DAC,即∠ACF=∠FAC, .AF =CF: 168 ②25 (2)9±3√5 【详解】(1)①略 ②解：设AF=CF=x,则DF=AD-AF=8-x,B'F=B'C-CF=8-x, .'.DF=B'F=8-x, ..∠FDB'=∠FB'D, 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtADBE中，∠DEB=90°，由勾股定理得：x2+2=(4-x)2, 3 解得：x=。 2 .Co 操作二：在长方形ABCD中，DC=AB=I0,AD=BC=6, 根据折叠的性质得，DE=DC=10, 在Rt△ADE中，∠A=90°， 根据勾股定理可得，AE=√DE2-AD2=8, .BE=AB-AE=2, 设BP=x,则PE=PC=6-x, 在Rt△BPE中，∠B=90°， x2+2=(6-x02, 8 解得x=3, 8 :BP的长为3： 9. 【答案】(I)①证明：：四边形ABCD是长方形，AB=6,AD=8, .AD /BC,AB=CD=6,AD=BC=8. .∠DAC=∠ACB, ,将△ABE沿着AE翻折，B点的对应点为B', .∠ACB'=∠ACB,AD=BC=B'C=8. .∠ACB=∠DAC,即∠ACF=∠FAC, .AF =CF: 168 ②25 (2)9±3√5 【详解】(1)①略 ②解：设AF=CF=x,则DF=AD-AF=8-x,B'F=B'C-CF=8-x, .'.DF=B'F=8-x, ..∠FDB'=∠FB'D, 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com :LDFB=∠AFC,∠ACF=∠FAC, .∠ACF=∠FAC=∠FDB'=∠FB'D, .AC∥B'D, SMARD=S.CRD; 在RtACDF中，CF2=DF2+CD2, x2=(8-x2+62, 解得x25 4’ 4F=CF=x=至，则Dr=Br=8-x=8-257 44 过D作DG⊥CF于G, B C(E) 图2 SCe2DF·DC=DGFC 7 DG-DF.DC_4x6 42 FC 42525 S.aWn =S.cm=DG-BC-7X75 2 x8=168 =1x42 25 (2)解：分两种情况： 当点E在线段BC上时，过点B作B'M⊥AD于点M,延长MB交BC B R- E N ∴四边形ABNM是矩形， .AB=MN=6,AM=BN,∠ENB=90° 根据翻折的性质得，AB=AB=6,BE=B'E, 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com :LDFB=∠AFC,∠ACF=∠FAC, .∠ACF=∠FAC=∠FDB'=∠FB'D, .AC∥B'D, SMARD=S.CRD; 在RtACDF中，CF2=DF2+CD2, x2=(8-x2+62, 解得x25 4’ 4F=CF=x=至，则Dr=Br=8-x=8-257 44 过D作DG⊥CF于G, B C(E) 图2 SCe2DF·DC=DGFC 7 DG-DF.DC_4x6 42 FC 42525 S.aWn =S.cm=DG-BC-7X75 2 x8=168 =1x42 25 (2)解：分两种情况： 当点E在线段BC上时，过点B作B'M⊥AD于点M,延长MB交BC B R- E N ∴四边形ABNM是矩形， .AB=MN=6,AM=BN,∠ENB=90° 根据翻折的性质得，AB=AB=6,BE=B'E, 5/23 上好每一堂课 于点N,如图： 上好每一堂课 于点N,如图： 可学科网·上好课 www.zxxk.com .AB'=B'D,B'M⊥AD, AM =DM-AD=4 .B'M=VAB'2-AM2=V62-42=25, .B'N=MN-B'M=6-25, 设BE=B'E=x,则EN=BN-BE=4-x, 在RtaB'EN中，B'E2=B'N2+EN2, x2=(6-25+(4-x2, 解得x=9-3V5, 即BE的值为9-3V5: 当点E在射线BC的延长线上时， D E N C 同理可得B'M=2W5,B'N=MN+B'M=6+2W5, 设BE=B'E=x,则EN=BE-BN=x-4, 在RtaB'EN中，B'E2=B'N2+EN2, .x2=(6+25+x-4}, 解得x=9+3√5】 即BE的值为9+3V5: 综上可得BE的值为9±3V5, 10. 【答案】(1) ①△AEP即为所求， 6/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com .AB'=B'D,B'M⊥AD, AM =DM-AD=4 .B'M=VAB'2-AM2=V62-42=25, .B'N=MN-B'M=6-25, 设BE=B'E=x,则EN=BN-BE=4-x, 在RtaB'EN中，B'E2=B'N2+EN2, x2=(6-25+(4-x2, 解得x=9-3V5, 即BE的值为9-3V5: 当点E在射线BC的延长线上时， D E N C 同理可得B'M=2W5,B'N=MN+B'M=6+2W5, 设BE=B'E=x,则EN=BE-BN=x-4, 在RtaB'EN中，B'E2=B'N2+EN2, .x2=(6+25+x-4}, 解得x=9+3√5】 即BE的值为9+3V5: 综上可得BE的值为9±3V5, 10. 【答案】(1) ①△AEP即为所求， 6/23 上好每一堂课 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 6: ②PB=5 (2)D0=4或16 【详解】(1)解：如图所示，以点A为圆心，以AB的长为半径作圆， ∠BAE的角平分线，交BC于一点，该点即为P,连接AP,EP, 根据图形折叠的性质可知，AB=AE=I0,BP=EP, 在RUADE中，DE=VAE2-AD2=V102-82=6. 故答案为：6 ②设PB=x,则BP=EP=x,PC=8-x, .DE=6,CD=AB=10, .EC=CD-DE=10-6=4. 在Rt△PEC中，EP2=EC2+PC2,即x2=16+(8-x)2. 解得x=5,即PB=5 (2)解：①如图所示，当点Q在线段DC上时. B 设D0=x,则QC=10-x, 根据图形折叠的性质可知QD'=DO=x,AD'=AD=8,∠AD'B=90°， 在Rt△ABD中，BD'=√AB2-AD2=V102-82=6, 则B0=BD'+OD'=6+x. 在Rt△BQC中，BQ=QC2+BC2, 即(6+x)2=(10-x)2+82 7/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 6: ②PB=5 (2)D0=4或16 【详解】(1)解：如图所示，以点A为圆心，以AB的长为半径作圆， ∠BAE的角平分线，交BC于一点，该点即为P,连接AP,EP, 根据图形折叠的性质可知，AB=AE=I0,BP=EP, 在RUADE中，DE=VAE2-AD2=V102-82=6. 故答案为：6 ②设PB=x,则BP=EP=x,PC=8-x, .DE=6,CD=AB=10, .EC=CD-DE=10-6=4. 在Rt△PEC中，EP2=EC2+PC2,即x2=16+(8-x)2. 解得x=5,即PB=5 (2)解：①如图所示，当点Q在线段DC上时. B 设D0=x,则QC=10-x, 根据图形折叠的性质可知QD'=DO=x,AD'=AD=8,∠AD'B=90°， 在Rt△ABD中，BD'=√AB2-AD2=V102-82=6, 则B0=BD'+OD'=6+x. 在Rt△BQC中，BQ=QC2+BC2, 即(6+x)2=(10-x)2+82 7/23 上好每一堂课 交CD于点E,连接AE,作 上好每一堂课 交CD于点E,连接AE,作 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 解得x=4,即D0=4: ②如图所示，当点Q在线段DC的延长线上时， D B 根据图形折叠的性质可知∠DQA=∠D'QA, .∠BAD+∠D=180°， .AB∥CD. .∠DOA=∠QAB .∠D'QA=∠QAB .'AB=BO=10 在RtABCO中，C2=VBQ-BC2=V102-82=6, .D0=CD+CQ=16. 综上所述，DQ=4或16. 题型三：长方形中折痕过任意两点模型 20 11.3 13 .10 【答案】()3 as 【详解】(1)解：因为四边形ABCD为长方形， 所以∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10,AD=BC=6 由折叠的性质，得∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，ED=ED,BC'=1 8/23 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 解得x=4,即D0=4: ②如图所示，当点Q在线段DC的延长线上时， D B 根据图形折叠的性质可知∠DQA=∠D'QA, .∠BAD+∠D=180°， .AB∥CD. .∠DOA=∠QAB .∠D'QA=∠QAB .'AB=BO=10 在RtABCO中，C2=VBQ-BC2=V102-82=6, .D0=CD+CQ=16. 综上所述，DQ=4或16. 题型三：长方形中折痕过任意两点模型 20 11.3 13 .10 【答案】()3 as 【详解】(1)解：因为四边形ABCD为长方形， 所以∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10,AD=BC=6 由折叠的性质，得∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，ED=ED,BC'=1 8/23 上好每一堂课 3C=6,D'C'=DC=10 上好每一堂课 3C=6,D'C'=DC=10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 由勾股定理，得AC2=AB2-BC2, 所以AC'=8, 所以AD'=10-8=2 设ED=ED'=a,则AE=6-a. 所以(6-a)2=22+a2, 解得a8 3: 所以4E=6-810 33· 1 2Sa睡24B.4B2x10x0-0 3=3 14. 【答案】() 解：四边形ABCD是长方形， .∠D=∠C=∠B=∠DAB=90°，AD=BC, ∴.∠DAF+∠EAF=90° 由折叠的性质，得∠FAB=∠C=90°，∠B'=∠B=90°，AB=CB, AD=AB',∠D=∠B,∠B'AE+∠EAF=90°， .∠DAF=∠BAE 在△ADF和△AB'E中， ∠D=∠B', AD=AB', ∠DAF=∠B'AE, .△ADF≌△AB'E(ASA) (2)78 【详解】(1)略 (2)解：由折叠的性质，得AF=CF 设AF=CF=x,则DF=DC-CF=l8-x. 在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2, 122+(18-x)=x2,解得x=13. △ADF≌△AB'E, .AF=AE=13, 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 由勾股定理，得AC2=AB2-BC2, 所以AC'=8, 所以AD'=10-8=2 设ED=ED'=a,则AE=6-a. 所以(6-a)2=22+a2, 解得a8 3: 所以4E=6-810 33· 1 2Sa睡24B.4B2x10x0-0 3=3 14. 【答案】() 解：四边形ABCD是长方形， .∠D=∠C=∠B=∠DAB=90°，AD=BC, ∴.∠DAF+∠EAF=90° 由折叠的性质，得∠FAB=∠C=90°，∠B'=∠B=90°，AB=CB, AD=AB',∠D=∠B,∠B'AE+∠EAF=90°， .∠DAF=∠BAE 在△ADF和△AB'E中， ∠D=∠B', AD=AB', ∠DAF=∠B'AE, .△ADF≌△AB'E(ASA) (2)78 【详解】(1)略 (2)解：由折叠的性质，得AF=CF 设AF=CF=x,则DF=DC-CF=l8-x. 在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2, 122+(18-x)=x2,解得x=13. △ADF≌△AB'E, .AF=AE=13, 9/23 上好每一堂课 上好每一堂课 命学科网·上好课 www.zxxk.com e4E,40x1Bx2=8, 15. 【答案】()5 a号 、40 3)7 【详解】(1)解：根据折叠的性质，得AF=CF. ,四边形ABCD是长方形， .∠B=90° 设BF=x, 则AF=CF=AB-BF=10-x, 在Rt△BFC中，BF2+BC2=FC2, .x2+62=(10-x)2, 解得x16 5’ BF=16 5· (2)解：，四边形ABCD是长方形， ∴.∠A=∠C=90° 根据折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，AD=AD 又，BC=AD, .A'D=CB,∠A=∠C :A'B交CD于点E, .∠A'ED=∠CEB, ∴：△A'ED≌aCEB(AAS). .ED=EB. 设CE=y, 则ED=EB=DC-CE=10-y. 在RtABCE中，CE2+BC2=BE2, 10/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com e4E,40x1Bx2=8, 15. 【答案】()5 a号 、40 3)7 【详解】(1)解：根据折叠的性质，得AF=CF. ,四边形ABCD是长方形， .∠B=90° 设BF=x, 则AF=CF=AB-BF=10-x, 在Rt△BFC中，BF2+BC2=FC2, .x2+62=(10-x)2, 解得x16 5’ BF=16 5· (2)解：，四边形ABCD是长方形， ∴.∠A=∠C=90° 根据折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，AD=AD 又，BC=AD, .A'D=CB,∠A=∠C :A'B交CD于点E, .∠A'ED=∠CEB, ∴：△A'ED≌aCEB(AAS). .ED=EB. 设CE=y, 则ED=EB=DC-CE=10-y. 在RtABCE中，CE2+BC2=BE2, 10/23 上好每一堂课 上好每一堂课 命学科网·上好课 www.zxxk.com .y2+62=10-y)2, 解得少16 :CE=16 5· DE=10-16-34 55’ ÷Sm=2xDB×BC=)x34x6-102 2×5 5 (3)解：：四边形ABCD是长方形， ∴.∠A=∠D=90° 由折叠的性质， 得∠A'=∠A=90°，AP=AP,AB=A'B=10 ∴.∠D=∠A∥=90° 又，DF=AF,∠DFP=∠A'FE, :△DFP≌aA'FE(ASA), .'DP=A'E,PF =EF, DE=PA」 又，AD=BC=6, 设PA=m, DP=4'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m, :.EC=10-m,BE=10-(6-m)=4+m 在RtAECB中，(4+m)2=62+(10-m2, 30 解得m= 7 CE=10-3040 Γ77· 题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在 16.B 3 17.2 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com .y2+62=10-y)2, 解得少16 :CE=16 5· DE=10-16-34 55’ ÷Sm=2xDB×BC=)x34x6-102 2×5 5 (3)解：：四边形ABCD是长方形， ∴.∠A=∠D=90° 由折叠的性质， 得∠A'=∠A=90°，AP=AP,AB=A'B=10 ∴.∠D=∠A∥=90° 又，DF=AF,∠DFP=∠A'FE, :△DFP≌aA'FE(ASA), .'DP=A'E,PF =EF, DE=PA」 又，AD=BC=6, 设PA=m, DP=4'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m, :.EC=10-m,BE=10-(6-m)=4+m 在RtAECB中，(4+m)2=62+(10-m2, 30 解得m= 7 CE=10-3040 Γ77· 题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在 16.B 3 17.2 11/23 上好每一堂课 边上)翻折模型 上好每一堂课 边上)翻折模型 可学科网·上好课 www.zxxk.com 18.4 4 19.2或5 20 【答案】(1)3.2 (2)2或5 (3)210 【详解】(1)解：如答图1，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， D 答图1 AB=VAC2+BC2=V82+6=10 ,CD⊥AB ..CCA-CN 即6×8=10.CW 解得CN=4.8 ,折叠 .DC=AC=8 ∴.DN=CD-CN=8-4.8=3.2 DW的长度为3.2； (2)解：①如答图2，根据题意，分两种情况： 当DE⊥AC时， B E 答图2 .∠CDE=90°=∠BCA ∴.BC∥DE .∠CBE=∠E 12/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 18.4 4 19.2或5 20 【答案】(1)3.2 (2)2或5 (3)210 【详解】(1)解：如答图1，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， D 答图1 AB=VAC2+BC2=V82+6=10 ,CD⊥AB ..CCA-CN 即6×8=10.CW 解得CN=4.8 ,折叠 .DC=AC=8 ∴.DN=CD-CN=8-4.8=3.2 DW的长度为3.2； (2)解：①如答图2，根据题意，分两种情况： 当DE⊥AC时， B E 答图2 .∠CDE=90°=∠BCA ∴.BC∥DE .∠CBE=∠E 12/23 上好每一堂课 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 由折叠可知，∠EBD=∠DBA,LE=∠A, .∠CBE=∠A, .·∠DBC=∠EBD+∠CBE ∠BDC=∠DBA+∠A, ∠DBC=∠BDC, ∴.DC=BC=6. .AD=AC-CD=8-6=2: ②如答图3，当BE⊥AC时，则∠DCE=90 ch. 答图3 由折叠可知，DE=AD,BE=AB=10 .CE=BE-BC=10-6=4, 设AD=DE=x,则CD=8-x, 在Rt△CDE中，CD+CE2=DE2, (8-x2+42=x2, 解得x=5, .AD=5, 综上所述：AD的长度为2或5： (3)解：如答图4，取CF的中点T,连接TH, F 答图4 由折叠可知，AF=HF, .AF =CF, 13/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 由折叠可知，∠EBD=∠DBA,LE=∠A, .∠CBE=∠A, .·∠DBC=∠EBD+∠CBE ∠BDC=∠DBA+∠A, ∠DBC=∠BDC, ∴.DC=BC=6. .AD=AC-CD=8-6=2: ②如答图3，当BE⊥AC时，则∠DCE=90 ch. 答图3 由折叠可知，DE=AD,BE=AB=10 .CE=BE-BC=10-6=4, 设AD=DE=x,则CD=8-x, 在Rt△CDE中，CD+CE2=DE2, (8-x2+42=x2, 解得x=5, .AD=5, 综上所述：AD的长度为2或5： (3)解：如答图4，取CF的中点T,连接TH, F 答图4 由折叠可知，AF=HF, .AF =CF, 13/23 上好每一堂课 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CF=HF :T、分别是CF、HF的中点， ∴.QF=TF 又'∠CF0=∠HFT, ∴aCFQ≌aHFT(SAS). ..CO=HT .∴BH+CQ=BH+TH 当T、H、B三点共线时，BH+CO有最小值， 最小值=VBC2+CT2=V62+22=2√10 ∴.BH+CQ的最小值为2V10. 题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 21.7 7 22.8 23. 25 【答案】8cm 【详解】解：：∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm, ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=VAC2-AB2=4(cm), 由折叠的性质知，AE=CE, 设AE=CE=xcm, 则BE=(4-x)cm」 在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB+BE2=AE2, 即32+(4-x)}=x2, 25 解得X=8· 25 六CE的长为gcm. 24. 14/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CF=HF :T、分别是CF、HF的中点， ∴.QF=TF 又'∠CF0=∠HFT, ∴aCFQ≌aHFT(SAS). ..CO=HT .∴BH+CQ=BH+TH 当T、H、B三点共线时，BH+CO有最小值， 最小值=VBC2+CT2=V62+22=2√10 ∴.BH+CQ的最小值为2V10. 题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 21.7 7 22.8 23. 25 【答案】8cm 【详解】解：：∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm, ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=VAC2-AB2=4(cm), 由折叠的性质知，AE=CE, 设AE=CE=xcm, 则BE=(4-x)cm」 在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB+BE2=AE2, 即32+(4-x)}=x2, 25 解得X=8· 25 六CE的长为gcm. 24. 14/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 【答案】(1)40° ②AD= 8 【详解】(1)解：由折叠性质得∠A=∠DBA, :△ABC中，∠C+∠A+∠ABC=180°， 即∠C+∠A+∠DBA+∠CBD=180°， 又∠C=90°，∠CBD=10°， 六∠A=∠DBM=180°-90°-10°=40°， 2 故答案为：40°： (2)解：由折叠性质得AD=BD, 设AD=BD=x,则CD=AC-AD=12-x, RI△BCD中，BC2+CD2=BD2, 即92+(12-x}=x2, 75 :解得r= 8 即AD=75 8· 25. 【答案】(1)8 (2)21 7 (3)10或2 【详解】(1)解：如图1，当点B与点C重合时， .BC=16 :BE=)BC=x16=8 2 2 即BE的长为8， 故答案为：8： (2)解：如图2，当点B与点A重合时， 设CE=x,则BE=AE=BC-CE=16-x, 在Rt△AEC中，∠ACB=90°，AC=12,AC2+CE2=AE2, 15/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 【答案】(1)40° ②AD= 8 【详解】(1)解：由折叠性质得∠A=∠DBA, :△ABC中，∠C+∠A+∠ABC=180°， 即∠C+∠A+∠DBA+∠CBD=180°， 又∠C=90°，∠CBD=10°， 六∠A=∠DBM=180°-90°-10°=40°， 2 故答案为：40°： (2)解：由折叠性质得AD=BD, 设AD=BD=x,则CD=AC-AD=12-x, RI△BCD中，BC2+CD2=BD2, 即92+(12-x}=x2, 75 :解得r= 8 即AD=75 8· 25. 【答案】(1)8 (2)21 7 (3)10或2 【详解】(1)解：如图1，当点B与点C重合时， .BC=16 :BE=)BC=x16=8 2 2 即BE的长为8， 故答案为：8： (2)解：如图2，当点B与点A重合时， 设CE=x,则BE=AE=BC-CE=16-x, 在Rt△AEC中，∠ACB=90°，AC=12,AC2+CE2=AE2, 15/23 上好每一堂课 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 122+x2=(16-x2, 7 解得：x= 2 c …cE4c-33x12=21 22 .△ACE的面积为21： (3)解：当点B落在AC的三等分点时，分两种情况： 如图， B ,点B'落在AC的三等分点，AC=12,BC=16, :BC=AC=2x12=8, 2 3 3 ,折叠∠B,折痕为DE,顶点B的对应点是点B, .B'E BE, ..CE=BC-BE=16-BE. 在Rt△CEB中，CB2+CE2=B'E2, 即82+(16-BE)=BE2, 解得：BE=10: 如图， ■ :点B落在AC的三等分点， 16/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 122+x2=(16-x2, 7 解得：x= 2 c …cE4c-33x12=21 22 .△ACE的面积为21： (3)解：当点B落在AC的三等分点时，分两种情况： 如图， B ,点B'落在AC的三等分点，AC=12,BC=16, :BC=AC=2x12=8, 2 3 3 ,折叠∠B,折痕为DE,顶点B的对应点是点B, .B'E BE, ..CE=BC-BE=16-BE. 在Rt△CEB中，CB2+CE2=B'E2, 即82+(16-BE)=BE2, 解得：BE=10: 如图， ■ :点B落在AC的三等分点， 16/23 上好每一堂课 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c-4c-l2=4, ,折叠∠B,折痕为DE,顶点B的对应点是点B', .B'E=BE. .'CE BC-BE =16-BE. 在Rt△CEB'中，CB2+CE2=B'E2, 即42+(16-BE)}=BE2, 解得：BE=17 2 17 综上所述：BE的长为10或2· 题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 26.3V3-3或3V3 7 27. 90 4 28 13 【答案】 13 6 【详解】解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,根据勾股定理： BC=VAB2+AC2=V22+32=V13, 故答案为：V13: (2)由折叠的性质可知： AD=AB=2,∠B=∠ADB.DE=CE,∠C=∠CDE, 在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°， .∠ADB+∠CDE=90°. ∴.∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=90°. 设AE=x,则CE=3-x,因此DE=3-x, 在R△ADE中，根据勾股定理：AD+DE2=AE2, 代入AD=2,AE=x,DE=3-x,得：22+(3-x=x2, 17/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c-4c-l2=4, ,折叠∠B,折痕为DE,顶点B的对应点是点B', .B'E=BE. .'CE BC-BE =16-BE. 在Rt△CEB'中，CB2+CE2=B'E2, 即42+(16-BE)}=BE2, 解得：BE=17 2 17 综上所述：BE的长为10或2· 题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 26.3V3-3或3V3 7 27. 90 4 28 13 【答案】 13 6 【详解】解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3,根据勾股定理： BC=VAB2+AC2=V22+32=V13, 故答案为：V13: (2)由折叠的性质可知： AD=AB=2,∠B=∠ADB.DE=CE,∠C=∠CDE, 在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°， .∠ADB+∠CDE=90°. ∴.∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=90°. 设AE=x,则CE=3-x,因此DE=3-x, 在R△ADE中，根据勾股定理：AD+DE2=AE2, 代入AD=2,AE=x,DE=3-x,得：22+(3-x=x2, 17/23 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 解得，x 6· 13 故答案为： 6 29. 【答案】()5 (②DE=24 ③)BE=39 【详解】(1)解：，在△ABC纸片中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6, .BC=4B2+AC2=10, ,AD为BC上的高线， 1 S 4RC= -C-C:AD. 2 .AD-AB.AC_24 BC 5 :对△ABC纸片进行折叠，使点A与BC上的点D重合， :4G=nG-4D-号： 12 (2)解：如图：作DM⊥AC交AC于点M,DN⊥AB交AB于点N, 图2 ,AD为∠BAC的角平分线， DM=DN' BAD=∠CAD=7∠BAC=450 .DN⊥AB ∴△ADN为等腰直角三角形， .AN DN, SANC=SABD+S4CD 18/23 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 解得，x 6· 13 故答案为： 6 29. 【答案】()5 (②DE=24 ③)BE=39 【详解】(1)解：，在△ABC纸片中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6, .BC=4B2+AC2=10, ,AD为BC上的高线， 1 S 4RC= -C-C:AD. 2 .AD-AB.AC_24 BC 5 :对△ABC纸片进行折叠，使点A与BC上的点D重合， :4G=nG-4D-号： 12 (2)解：如图：作DM⊥AC交AC于点M,DN⊥AB交AB于点N, 图2 ,AD为∠BAC的角平分线， DM=DN' BAD=∠CAD=7∠BAC=450 .DN⊥AB ∴△ADN为等腰直角三角形， .AN DN, SANC=SABD+S4CD 18/23 函学科网·上好课 号4BAC-4BDN+号4cDM, .x8x6-x8xDN+x6xDN. 1 DW=24 7 ·AW=DW=24 由折叠的性质可得：AE=ED, 设DE=x,则BN=AN-B=24-x, 7 由勾股定理可得：EN2+DW2=DE2, (4= .24 解得：x=7, .DE=24 (3)解：，在△ABC纸片中，∠BAC=90°， .BC=AB2+AC2=10, ,AD为BC上的中线， Is. .BD-BC-5.S.m 2AB 如图，作DO⊥AB,交AB于点O, 图3 1 :S4m=24B-D0, .D9=3. .B0=VBD2-Dg2=4, 由折叠的性质可得：AE=ED, 函学科网·上好课 号4BAC-4BDN+号4cDM, .x8x6-x8xDN+x6xDN. 1 DW=24 7 ·AW=DW=24 由折叠的性质可得：AE=ED, 设DE=x,则BN=AN-B=24-x, 7 由勾股定理可得：EN2+DW2=DE2, (4= .24 解得：x=7, .DE=24 (3)解：，在△ABC纸片中，∠BAC=90°， .BC=AB2+AC2=10, ,AD为BC上的中线， Is. .BD-BC-5.S.m 2AB 如图，作DO⊥AB,交AB于点O, 图3 1 :S4m=24B-D0, .D9=3. .B0=VBD2-Dg2=4, 由折叠的性质可得：AE=ED, www.zxxk.com AB=8,AC=6, AC=1 ×8×6=12， 221 19/23 www.zxxk.com AB=8,AC=6, AC=1 ×8×6=12， 221 19/23 上好每一堂课 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 设BE=y,则DE=AE=8-y,EQ=4-y, 由勾股定理可得：QE2+DQ2=DE2, (4-y2+32=(8-y}2, 解得：少=39 8 BE=39 · 30. 【答案】(1)10 (2) 证明：如图1，连接CF交DE于点O, B 沿 折叠得 D 图1 .ADCE DE △DFE ∴CD=DF,CE=FE,DE垂直平分CF, .DE⊥CF, D为AC中点， ..CD=AD, .DF=AD, .∠DAF=∠DFA, CD=DF, .∠DCF=∠DFC, :∠DAF+∠DFA+∠DCF+∠DFC=180°， :.2∠DFA+2∠DFC=180° .∠DFA+∠DFC=90°即∠CFA=90°， .CF⊥AB DE⊥CF .DEI∥AB ∴.∠BFE=∠DEF: 20/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 设BE=y,则DE=AE=8-y,EQ=4-y, 由勾股定理可得：QE2+DQ2=DE2, (4-y2+32=(8-y}2, 解得：少=39 8 BE=39 · 30. 【答案】(1)10 (2) 证明：如图1，连接CF交DE于点O, B 沿 折叠得 D 图1 .ADCE DE △DFE ∴CD=DF,CE=FE,DE垂直平分CF, .DE⊥CF, D为AC中点， ..CD=AD, .DF=AD, .∠DAF=∠DFA, CD=DF, .∠DCF=∠DFC, :∠DAF+∠DFA+∠DCF+∠DFC=180°， :.2∠DFA+2∠DFC=180° .∠DFA+∠DFC=90°即∠CFA=90°， .CF⊥AB DE⊥CF .DEI∥AB ∴.∠BFE=∠DEF: 20/23 上好每一堂课 上好每一堂课 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)①BE2+AD2=DE2,理由如下： 如图，过点A作AH⊥AD交EF延长线于点H,连接DH, B ,即 ch .∠C=90° BC⊥AC ∴.BCI HA ∴.∠B=∠FAH,∠BEF=∠AHF, F为AB的中点. :BF =AF, .ABEF≌△AHF(AAS) ∴.EF=FH,BE=AH, :∠DFE=90°， .∠DFE=∠DFH=90° :DE=DE,∠DFE=∠DFH=9O°，EF=FH, .∴ADEF≌△DHF(SAS), :DE =DH, 在RtAADH中，AH+AD2=DH2, :.BE2+AD2=DE2: ②1 【详解】(1)解：m,n满足Vm-6+n-8=0,√m-6≥0，n-8≥0， ∴.m-6=0,n-8=0 .BC=m=6,AC=n=8, 在△ABC中，∠C=90°， .AB=VBC2+AC2=V6+82=10: (2)略 (3)解：①略 ②如图所示，过点A作AH⊥AD交EF延长线于点H,过点F作FM⊥AC于M,过点F作FN⊥BC于 N,连接CF, 21/23 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)①BE2+AD2=DE2,理由如下： 如图，过点A作AH⊥AD交EF延长线于点H,连接DH, B ,即 ch .∠C=90° BC⊥AC ∴.BCI HA ∴.∠B=∠FAH,∠BEF=∠AHF, F为AB的中点. :BF =AF, .ABEF≌△AHF(AAS) ∴.EF=FH,BE=AH, :∠DFE=90°， .∠DFE=∠DFH=90° :DE=DE,∠DFE=∠DFH=9O°，EF=FH, .∴ADEF≌△DHF(SAS), :DE =DH, 在RtAADH中，AH+AD2=DH2, :.BE2+AD2=DE2: ②1 【详解】(1)解：m,n满足Vm-6+n-8=0,√m-6≥0，n-8≥0， ∴.m-6=0,n-8=0 .BC=m=6,AC=n=8, 在△ABC中，∠C=90°， .AB=VBC2+AC2=V6+82=10: (2)略 (3)解：①略 ②如图所示，过点A作AH⊥AD交EF延长线于点H,过点F作FM⊥AC于M,过点F作FN⊥BC于 N,连接CF, 21/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com E 为 中点， DM F AB ..AF=BF=5. FM⊥AC,FN⊥BC, .∠FNB=∠FMA=∠FNC=∠FMC=90°， :∠B+∠BAC=90°，∠BAC+∠AFM=90°， ∴.∠B=∠AFM, BF=AF, ,ABFN≌FAM(AAS), .BN MF,AM FN, .∠FMA=∠ACB=90°， .MF∥BC, ∴.∠NCF=∠MFC, .CF=CF,∠FNC=∠FMC=90° .AFCW≌aCFM(AAS)」 ..MF=CN,CM=FN, .BN=CN,CM=AM, BC=6,AC=8, .BN=CN=MF=3 CM-AM=14C-4. 设DM=x,则DF=CD=CM-DM=4-x, 在Rt FDM中，DF2=DM2+FM2, 7 即(4-x}=x2+32,解得x=8: CD=4-725 88 4D=8-25、39 88’ 设CE=y,则BE=6-y, 22/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com E 为 中点， DM F AB ..AF=BF=5. FM⊥AC,FN⊥BC, .∠FNB=∠FMA=∠FNC=∠FMC=90°， :∠B+∠BAC=90°，∠BAC+∠AFM=90°， ∴.∠B=∠AFM, BF=AF, ,ABFN≌FAM(AAS), .BN MF,AM FN, .∠FMA=∠ACB=90°， .MF∥BC, ∴.∠NCF=∠MFC, .CF=CF,∠FNC=∠FMC=90° .AFCW≌aCFM(AAS)」 ..MF=CN,CM=FN, .BN=CN,CM=AM, BC=6,AC=8, .BN=CN=MF=3 CM-AM=14C-4. 设DM=x,则DF=CD=CM-DM=4-x, 在Rt FDM中，DF2=DM2+FM2, 7 即(4-x}=x2+32,解得x=8: CD=4-725 88 4D=8-25、39 88’ 设CE=y,则BE=6-y, 22/23 上好每一堂课 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 由①知，BE2+AD2=DE2, 又CE2+CD2=DE2, .BE2+AD2=CE2+CD2 6-贸-少解得y名 :BE=6-66 2511 23/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 由①知，BE2+AD2=DE2, 又CE2+CD2=DE2, .BE2+AD2=CE2+CD2 6-贸-少解得y名 :BE=6-66 2511 23/23 上好每一堂课 上好每一堂课可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01利用勾股定理解决折叠问题有关的六种模型 题型归纳 题型一长方形中折痕过对角线模型 题型二长方形中折痕过一顶点模型 题型三长方形中折痕过任意两点模型 题型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边)翻折模型 题型专练 题型一：长方形中折痕过对角线模型 1.(25-26八年级下·湖南衡阳期末)如图，在长方形ABCD中，CD=6,AD=8.将长方形ABCD沿CE 折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为() A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 2.(25-26八年级下·新疆克拉玛依期末)如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处， BC交AD于点E.若AB=4,AD=8,则线段BE= 3.(25-26八年级上·重庆奉节期末)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.将△ABD沿BD折 叠，使点A落在点P处，PD交CB于点Q,则CQ的长为. 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级下·河南安阳阶段检测)如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=4,将该长方形沿对 角线BD折叠，点C的对应点为C',BC交AD于点E. E B (I)判断△BED的形状，并说明理由： (2)求BE的长； (3)求图中阴影部分的面积. 5.(25-26八年级上江西吉安·阶段检测)如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点 B位置，AB'与CD交于点E. B E/H --B (I)试说明：△AED≌△CEB'; (2)若AB=8,AD=4,求△ACE的面积； 3)在(2)的条件下，若点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G,PH LEC于H,求PG+PH的值. 题型二：长方形中折痕过一顶点模型 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上全国课后作业)如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,E是BC边上一点，连 接AE.把∠B沿AE折叠，使点B落在点B处，连接BC.当∠CB'E=90°时，BE的长为 D B B E 7.(25-26八年级上山西运城期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=5,AD=3.将这张纸片沿过 点A的直线翻折，使点D落在长方形内的点E处，折痕交CD边于点H.若直线HE恰好经过点B,则AH 的长为 D H B 8.(25-26八年级上河南郑州期末)学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张 长方形纸片，进行如下操作： B B 图① 图② 操作一：在R△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,如图①，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在 斜边AB上，点C与点E重合，请求出CD的长： 操作二：如图②，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6,在BC边上取一点P,将△DPC沿直线DP折叠， 点C恰好与AB边上的点E重合，求BP的长， 9.(25-26八年级上四川成都期末)如图1，在长方形ABCD中，AB=6,AD=8,E为射线BC上的一 点，连接AE.将△ABE沿着AE翻折，B点的对应点为B, >B' 图1 图2 备用图 3/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图2，当E点与C点重合时，B'C与AD交于F. ①求证：AF=CF: ②连接B'D,求△ABD的面积； (2)连接B'D,当AB=B'D时，求BE的值. 10.(25-26八年级上江苏常州期中)在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10, BC=AD=8 -------1B 图(1) 图(2) 备用图 A B (I)如图(I),P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）· ①如图(2)，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图(2)中作出折痕AP,画出△AEP,(不写做 法，保留作图痕迹)并直接写出此时DE= ②在①的条件下，求BP的长 (2)已知Q为射线DC上的一个动点，将△AD0沿直线AQ翻折，点D落在直线BQ上的点D'处，求DQ的长. 题型三：长方形中折痕过任意两点模型 11.(25-26八年级上·浙江湖州阶段检测)如图，长方形ABCD中，AB=8,AD=12,将其沿EF折叠， 点A,B分别落到点A与点B'处，恰好点C在A'B上，且EG=CG,则线段CF的长度为 E 8 12.(2025八年级上吉林长春专题练习)如图，长方形纸片ABCD,AD‖BC,将长方形纸片折叠，使 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF,若AB=4,AD=6,则AE的长为 D 13.(2025八年级上全国专题练习)如图，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6,E是AD边上一点.将 四边形BCDE沿BE折叠，折叠后点C,D的对应点分别为C,D'.若CD恰好经过点A,求： D B A (I)AE的长. (2)△ABE的面积. 14.(2026八年级下全国·专题练习)如下图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点B落在 点B处，折痕EF分别与AB,DC交于点E,F. D E (I)求证：△ADF≌△AB'E (2)若AD=12,DC=18,则△AEF的面积为 15.(25-26八年级上·福建漳州阶段检测)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=I0,BC=AD=6, 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长； (2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若AB交CD于点E,求△BDE的面积： (3)如图③，，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△ABP,A'B,A'P分别交CD边于点E,F, 且DF=AF,求CE的长 题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 16. (2026黑龙江佳木斯三模)在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,点D在BC上，将 △ACD沿AD对折，点C刚好落在AB上的E点，则CD的长() E A.4 B.3 C.5 D.6 17.(25-26八年级下·湖北荆门期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,AC=5,把△ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点D处，则BE= B E 18.(25-26八年级下·四川自贡·阶段检测)如图，将直角三角形ABC纸片沿AD折叠，使点B落在AC延 长线上的点E处.若AC=3,BC=4,求图中阴影部分的面积 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D是BC上 的一动点，将△ACD沿AD折叠得到△ADE,设AE与BC相交于点P,当△EFD为直角三角形时，CD= 20.(25-26八年级上广东佛山期末)综合应用 已知：直角三角形纸板ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6 6 G 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，点M在AB边上，将△ACM沿CM折叠，点A落在点D处.当CD⊥AB时，线段DN的长度是 多少？ (②)如图2，点D是AC边上一动点（不与点A,C重合），将△ABD沿BD折叠，点A落在点E处.当AC 与△BDE的边垂直时，线段AD的长度是多少？ (3)如图3，点F为AC边的中点，点G为AB边上一动点，将△AFG沿FG折叠，点A落在点H处.记FH 的中点为2，连接C9、BH.在点G从点A运动到点B的过程中，BH+CO的最小值是多少？ 题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 21.(2026江苏徐州中考真题)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点B处，若∠C=90° AB=5cm,BC=3cm,则△BCD的周长为 cm 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A 22. (25-26八年级下河北唐山期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,将三角形沿直 线DE折叠，使点B与点A重合，则CD的长为 ---≥·B D 23.(25-26八年级上全国期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,AC=5cm,将△ABC折 叠，使点C与点A重合，折痕为DE,求CE的长， 24.(25-26八年级上四川成都期中)如图，在ABC中，∠C=90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE 与△BDE重合： D E B ()若∠CBD=10°，则∠A的度数为一； (②)若AC=12,BC=9,求AD的长 25.(25-26八年级上江西九江·期中)综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形ABC 纸片，∠ACB=90°，AC=12,BC=16,小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠∠B,折痕为 DE,顶点B的对应点是点B'. 8/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(B2 D C(B) 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点B与点C重合时，则BE的长为_· (2)如图2，当点B与点A重合时，求△ACE的面积. (3)当点B落在AC的三等分点处，求BE的长， 题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 26.(25-26八年级下辽宁沈阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=6,点 E、F分别是AB、BC上的动点，沿EF所在直线折叠△EBF,使点B落在AC上的点D处，当△AED是 以DE为腰的等腰三角形时，AD的长为一 -sB 27.(25-26八年级下湖北十堰期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=10,BC=6,点D为斜边 AC上一点，连接BD,将△BCD沿BD翻折，使C落在点E处，点F为直角边AB上一点，连接DF,将 △ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则∠BEF=°；AF的长为一 B .-=.A 28.(25-26八年级下·安徽合肥期中)如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3, 图1 图2 (I)如图，在△ABC中，斜边BC长为. (2)如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是 29.(25-26八年级上浙江杭州期末)己知在△ABC纸片中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,对△ABC纸 片进行折叠，使点A与BC上的点D重合，折痕EF分别交AB,AC,AD于点E,F,G. 图1 图2 图3 (I)如图1，若AD为BC上的高线，求AG的长. (2)如图2，若AD为∠BAC的角平分线，求DE的长， (3)如图3，若AD为BC上的中线，求BE的长， 30.(25-26八年级上山西运城期末)综合与探究 如图，在aABC中，∠C=90°，BC=m,AC=n,且m,n满足Vm-6+n-8=0,D,E分别是边AC, BC上的动点，连接DE,将aDCE沿直线DE折叠得到△DFE,点F恰好落在边AB上. ch. 图1 图2 (I)求边AB的长. (2)如图1，若D为AC的中点.求证：∠BFE=∠DEF (3)如图2，若F为AB的中点 ①试猜想线段BE,AD与DE之间的数量关系，并说明理由. ②直接写出线段BE的长。 10110 专题01 利用勾股定理解决折叠问题有关的六种模型 题型一 长方形中折痕过对角线模型 题型二 长方形中折痕过一顶点模型 题型三 长方形中折痕过任意两点模型 题型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 题型一：长方形中折痕过对角线模型 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 2．（25-26八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 3．（25-26八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为______________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴．∴ 是等腰三角形． (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 5．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】(1) 证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ (2) (3)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二：长方形中折痕过一顶点模型 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；由折叠得，则、、三点共线，设，则，，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由长方形得， 由折叠得：，， ， ， 、、三点共线， ， ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在长方形纸片中，，．将这张纸片沿过点的直线翻折，使点落在长方形内的点处，折痕交边于点．若直线恰好经过点，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．通过折叠得到对应边相等，结合长方形的边长，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 在中，． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程． (1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶ (2)求出，设，可得，即可解得的长． 【详解】操作一：在中，，，， ， 由翻折可得，，， ， 设，则，， 在中，，由勾股定理得：， 解得： ， ∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，， 在中，， 根据勾股定理可得，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 的长为． 9．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)①证明：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴， ∵将沿着翻折，B点的对应点为， ∴，， ∴，即， ∴； ② (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）①由长方形得到，，，则，根据翻折，得到，即可得； ②，则，，在中，，代入解方程得，过作于，根据求出，再证明得到； （2）点E在线段或线段延长线分情况讨论，过点作于点M，延长交于点N，则，，，设，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，则， 过作于， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： 当点E在线段上时，过点作于点M，延长交于点N，如图： ∴四边形是矩形， ∴，，， 根据翻折的性质得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 当点E在射线的延长线上时， 同理可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 综上可得的值为． 10．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1) ①即为所求， ； ② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 题型三：长方形中折痕过任意两点模型 11．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠性质，全等三角形判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 根据题意设，，证明和全等，再利用勾股定理得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴，， 根据折叠性质得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 故答案为：. 12．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， 四边形是长方形，，， ，， 在中，， ，解 得． 故答案为：． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 14．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． (1)求证：． (2)若，，则的面积为__________． 【答案】(1) 解：四边形是长方形， ，， ． 由折叠的性质，得，，， ，，， ． 在和中， ． (2)78 【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用即可判定； （2）设未知数，将问题转化到中利用勾股定理建立方程求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠的性质，得． 设，则． 在中，， ，解得． ， ， ． 15．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 16．（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 17．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理解出x的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，则，，， ∵在中，， 即， 解得：， 即． 18．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． 20．（25-26八年级上·广东佛山·期末）综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 【答案】(1)3.2 (2)2或5 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求得的长，根据折叠性质得到即可求解； （2）分为当时和当时两种情况，利用折叠性质和勾股定理，以及等腰三角形的判定分别求解即可； （3）取的中点，连接，证明得到，则，可得当T、H、B三点共线时，有最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如答图1，在Rt中，， 即 解得 ∵折叠 的长度为3.2 ； （2）解：①如答图2，根据题意，分两种情况： 当时， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； ②如答图3，当时，则 由折叠可知，， ， 设，则， 在Rt中，， ， 解得， ， 综上所述：的长度为2或5 ； （3）解：如答图4，取的中点，连接， 由折叠可知，， ， ， 分别是的中点， ， 又， ， ， ∴当T、H、B三点共线时，有最小值， 最小值． 的最小值为． 题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 21．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 22．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【答案】 【分析】由折叠可知，是的垂直平分线，设 ，则 ，在 中，，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】设 ， 将三角形沿直线折叠，点与点 重合， ． ，， ， ， 在中，，即， 解得． 23．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 24．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 25．（25-26八年级上·江西九江·期中）综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形纸片，，，，小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)如图，当点与点重合时，则的长为 ． (2)如图，当点与点重合时，求的面积． (3)当点落在的三等分点处，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据翻折的性质即可解决问题； （2）设，则，然后根据勾股定理求出，利用三角形的面积公式即可解决问题； （3）由点落在的三等分点，分两种情况，分别根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）解：如图，当点与点重合时， 设，则， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如图， ∵点落在的三等分点，，， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：； 如图， ∵点落在的三等分点， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或． 题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 26．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点D处，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 _____． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，此时点C、点F重合，可得；②当时，此时点D、点C重合，可得，即可求出答案． 【详解】解：当是以为腰的三角形时，分两种情况： ①当时，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且是由沿直线翻折得到， 根据翻折性质可得：， ∴点C、点F重合， ∵，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∵点C、点F重合， ∴， ∴； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵，且是由沿直线翻折得到， 根据翻折性质可得：， ∴点D、点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴； 故答案为：或． 27．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 28．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题关键是利用勾股定理计算斜边长度，结合折叠的性质找到线段等量关系，再通过勾股定理列方程求解。 （1）直接利用勾股定理计算的长度； （2）根据折叠性质得到线段和角等量关系，设未知数，利用勾股定理列方程求解的长度． 【详解】解：（1）在中，，根据勾股定理： ， 故答案为：； （2）由折叠的性质可知： ，，， 在中，， ， ， 设，则，因此， 在中，根据勾股定理：， 代入，得：， 解得，． 故答案为：． 29．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 30．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； (3)①，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）略 （3）解：①略 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $