3.5 分式与比 课时作业 2026-2027学年青岛版数学 八年级上册

青岛版八年级上册 第3章 分式　3.5 分式与比 课时作业 青岛版数学八年级上册 · 第3章 分式 3.5 分式与比 课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　用时：______分钟 一、学习目标 1．理解比与分式的关系，掌握比例的基本性质。 2．了解合比性质、等比性质，并会用它们进行简单的计算和证明。 3．会用“设k法”求与比例有关的分式的值。 4．能用比例的知识解决简单的实际问题。 课前预习 1．两个数（或式）a与b（b≠0）的比a∶b，也可以写成分式的形式________。 2．如果=（b≠0，d≠0），那么ad=________，这是比例的基本性质。 3．如果=，那么=________（合比性质）。 4．如果==k，且b+d≠0，那么=________（等比性质）。 二、知识梳理 知识点1　比与比例 （1）两个数（或式）a与b（b≠0）相除，又叫做a与b的比，记作a∶b或。 （2）如果两个比相等，即a∶b=c∶d（或=），那么就说a，b，c，d成比例。其中a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项，d叫做a，b，c的第四比例项。 （3）如果a∶b=b∶c，那么b叫做a，c的比例中项。 知识点2　比例的基本性质 如果=（b，d都不为0），那么ad=bc；反之，如果ad=bc（a，b，c，d都不为0），那么=。即：两外项之积等于两内项之积。 由ad=bc还可以得到=，=等多种比例式。 知识点3　合比性质与等比性质 （1）合比性质：如果=，那么=。 证明：∵=，∴±1=±1，即=。 （2）等比性质：如果==…==k（b+d+…+n≠0），那么=k。 证明：设==…==k，则a=bk，c=dk，…，m=nk，∴a+c+…+m=(b+d+…+n)k，又b+d+…+n≠0，∴=k。 注意：使用等比性质时，必须满足分母之和不等于0。 知识点4　设k法 已知连比（如==）求含x，y，z的分式的值时，常设比值为k，用k表示各个字母，代入后约去k。 例如：已知=（y≠0），设==k，则x=2k，y=3k，所以==-5。 三、典例精析 例1　已知=，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）。 【解答】（1）由合比性质，==； （2）设a=2k，b=3k（k≠0），则==-； （3）===。 例2　已知==≠0，求的值。 【解答】设===k（k≠0），则x=3k，y=4k，z=5k。 ∴===。 例3　已知===，且b+d+f=20，求a+c+e的值。 【解答】∵b+d+f=20≠0，由等比性质得=， ∴a+c+e=×20=8。 例4　 如图，点C在线段AB上，AC∶CB=3∶2，AB=15 cm，求AC和CB的长。 【解答】∵AC∶CB=3∶2，∴设AC=3k，CB=2k（k>0）。 ∵AC+CB=AB=15，∴5k=15，k=3，∴AC=9 cm，CB=6 cm。 【另解】由合比性质，==，∴AC=×15=9（cm），CB=6 cm。 四、易错警示 易错点1：由ad=bc写比例式时，把内项、外项的位置写错。 易错点2：使用等比性质时忽视“分母之和不为0”的条件。 易错点3：已知=，误认为a=c，b=d。 易错点4：用设k法时，忘记说明k≠0，或代入后没有约去k。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．若=，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．若3a=4b（b≠0），则的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列四组数中，能组成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，6 4．若=，则的值为（　　） A． B．- C． D．- 5．若==≠0，则的值为（　　） A． B． C．2 D．9 6．若===，且b+d+f=6，则a+c+e的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 7．在比例尺为1∶50000的地图上，量得两地的距离为3 cm，则两地的实际距离是（　　） A．150 m B．1.5 km C．15 km D．150 km 8．若=，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若=，则=________，=________。 10．已知2，3，4，x成比例，则x=________。 11．若=≠0，则=________。 12．若x∶y∶z=2∶3∶4，且x+y+z=18，则z=________。 13．如图（例4图），若AC∶CB=2∶3，AB=10，则AC=________。 三、解答题 14．已知=，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）。 15．已知==≠0，求的值。 16．求证：如果=（b，d≠0），那么=。 B组　能力提升 一、选择题 17．若===k，则k的值为（　　） A．2 B．-1 C．2或-1 D．-2或1 18．若=（b，d≠0），则下列式子不一定成立的是（　　） A．ad=bc B．= C．= D．= 二、填空题 19．已知===，且b-2d+3f≠0，则=________。 20．某班男生与女生的人数之比为5∶4，全班共45人，则女生有________人。 三、解答题 21．已知==，且a+b+c=12，求a，b，c的值。 22．已知x∶y=3∶2，求的值。 C组　拓展探究 解答题 23．已知a，b，c是△ABC的三边长，且(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶6∶5。（1）求a∶b∶c；（2）若△ABC的周长为18，求三边的长。 24．小明认为：“如果==k，那么=k一定成立。”你同意他的说法吗？请说明理由，并指出这个结论成立的条件。 D组　综合训练 解答题 25．若=，求的值。 26．已知a∶b=2∶3，b∶c=4∶5，求a∶b∶c。 27．已知=，求的值。 28．已知==（b+d≠0，2b-d≠0），求和的值。 29．求4和9的比例中项。 30．甲、乙、丙三人按2∶3∶5的比例分一笔奖金，已知丙比甲多分得900元，求三人各分得多少元。 六、参考答案与解析 课前预习 1．　　2．bc　　3．　　4．k（或） A组　基础巩固 1．【答案】A 【解析】由合比性质，==。 2．【答案】B 【解析】两边同除以3b，得=。 3．【答案】B 【解析】1×6=2×3，所以1∶2=3∶6。其余各组都不满足两外项之积等于两内项之积。 4．【答案】B 【解析】由合比性质，==-。 5．【答案】A 【解析】设a=2k，b=3k，c=4k，则=。 6．【答案】B 【解析】由等比性质，a+c+e=×6=4。 7．【答案】B 【解析】实际距离为3×50000=150000（cm）=1.5 km。 8．【答案】B 【解析】-1=，所以=。 9．【答案】； 【解析】设x=5k，y=2k，=，=。 10．【答案】6 【解析】2∶3=4∶x，2x=12，x=6。 11．【答案】 【解析】设a=3k，b=4k，=。 12．【答案】8 【解析】设x=2k，y=3k，z=4k，9k=18，k=2，z=8。 13．【答案】4 【解析】AC=×10=4。 14．【答案】（1）；（2）-；（3）-21。 【解析】设a=3k，b=5k（k≠0）。（1）=；（2）=-；（3）==-21。 15．【答案】 【解析】设x=2k，y=3k，z=5k（k≠0），原式===。 16．【答案】见解析。 【解析】证明：∵=，∴-1=-1，即=。 B组　能力提升 17．【答案】C 【解析】当a+b+c≠0时，由等比性质得k==2；当a+b+c=0时，b+c=-a，k==-1。所以k=2或-1。 18．【答案】D 【解析】D需要b+d≠0才成立，例如a=1，b=2，c=-1，d=-2时，b+d=0，无意义。 19．【答案】 【解析】由已知得=，=，由等比性质得原式=。 20．【答案】20 【解析】女生人数为45×=20。 21．【答案】a=4，b=2，c=6。 【解析】设===k，则a+b=3k，b+c=4k，c+a=5k。三式相加得2(a+b+c)=12k，a+b+c=6k=12，k=2。所以a+b=6，b+c=8，c+a=10，解得c=6，a=4，b=2。 22．【答案】 【解析】原式==。设x=3k，y=2k（k≠0），则==。 C组　拓展探究 23．【答案】（1）a∶b∶c=3∶4∶2；（2）a=6，b=8，c=4。 【解析】（1）设a+b=7k，b+c=6k，c+a=5k（k>0），三式相加得2(a+b+c)=18k，a+b+c=9k。 ∴c=9k-7k=2k，a=9k-6k=3k，b=9k-5k=4k，∴a∶b∶c=3∶4∶2。 （2）9k=18，k=2，所以a=6，b=8，c=4。（6+4>8，能构成三角形。） 24．【答案】不同意，结论成立的条件是b+d≠0。 【解析】反例：a=1，b=2，c=-1，d=-2时，==，但b+d=0，无意义。 当b+d≠0时：由==k得a=bk，c=dk，∴a+c=(b+d)k，∴=k。 D组　综合训练 25．【答案】 【解析】由合比性质，==。 26．【答案】8∶12∶15 【解析】a∶b=8∶12，b∶c=12∶15，所以a∶b∶c=8∶12∶15。 27．【答案】 【解析】+1=，=。 28．【答案】都等于。 【解析】由等比性质，=；又=，=，所以=。 29．【答案】±6 【解析】设比例中项为b，则4∶b=b∶9，b2=36，b=±6。 30．【答案】甲600元，乙900元，丙1500元。 【解析】设甲、乙、丙分别分得2k，3k，5k元，则5k-2k=900，k=300，所以甲600元，乙900元，丙1500元。 七、课后反思 比例的基本性质、合比性质、等比性质分别是什么？使用等比性质要注意什么条件？ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $