3.4 分式方程 课时作业 2026-2027学年青岛版数学 八年级上册

青岛版八年级上册 第3章 分式　3.4 分式方程 课时作业 青岛版数学八年级上册 · 第3章 分式 3.4 分式方程 课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　用时：______分钟 一、学习目标 1．了解分式方程的概念，能区分分式方程与整式方程。 2．掌握解分式方程的一般步骤，会通过“去分母”把分式方程转化为整式方程求解。 3．理解增根产生的原因，知道解分式方程必须检验。 4．能列分式方程解决工程、行程、销售等简单实际问题。 课前预习 1．分母中含有________的方程叫做分式方程。 2．解分式方程的基本思路是通过“________”把分式方程转化为整式方程。 3．在去分母时，方程两边同乘的是各分母的________。 4．使最简公分母为0的整式方程的根叫做原分式方程的________，因此解分式方程必须________。 二、知识梳理 知识点1　分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 例如：=，-1=都是分式方程；而+=1的分母中不含未知数，是整式方程。 知识点2　解分式方程的一般步骤 ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程； ③检验：把整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母不为0，则它是原分式方程的根；若最简公分母为0，则它是增根，应舍去； ④写出结论。 知识点3　增根 在去分母时，方程两边同乘了一个可能为0的整式，可能使方程产生不适合原方程的根，这样的根叫做原分式方程的增根。 增根的特点：①增根使最简公分母等于0；②增根是去分母后所得整式方程的根。 利用这两个特点，可以求分式方程中字母参数的值：先由最简公分母为0求出可能的增根，再代入整式方程求参数。 知识点4　列分式方程解应用题 步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→双检验（既检验是否为分式方程的根，又检验是否符合实际意义）→作答。 常见的等量关系：工程问题中，工作量=工作效率×工作时间；行程问题中，时间=；销售问题中，数量=。 三、典例精析 例1　解方程：=。 【解答】方程两边同乘x(x-3)，得2x=3(x-3)。 解得x=9。 检验：当x=9时，x(x-3)=54≠0。所以x=9是原分式方程的解。 例2　解方程：-1=。 【解答】方程两边同乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3， 即x2+2x-x2-x+2=3，解得x=1。 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，所以x=1是增根，原分式方程无解。 【点评】去括号时要注意符号：-(x-1)(x+2)=-(x2+x-2)=-x2-x+2。 例3　若关于x的方程=有增根，求m的值。 【解答】方程两边同乘(x-1)，得x-3=m。 ∵原方程有增根，∴最简公分母x-1=0，即增根为x=1。 把x=1代入x-3=m，得m=-2。 例4　一项工程，甲队单独完成需要40天。若乙队先做30天，剩下的工程再由甲、乙两队合作20天恰好完成。求乙队单独完成这项工程需要多少天。 【解答】设乙队单独完成这项工程需要x天，则乙队每天完成。 根据题意，得+20(+)=1。 整理得+=1，方程两边同乘2x，得100+x=2x，解得x=100。 检验：当x=100时，2x≠0，x=100是原方程的解，且符合题意。 答：乙队单独完成这项工程需要100天。 例5　某商店第一次用3000元购进某款衬衫，第二次又用6600元购进该款衬衫，第二次购进的数量是第一次的2倍，但每件的进价比第一次贵了10元。第一次购进的衬衫每件进价是多少元？ 【解答】设第一次购进的衬衫每件进价为x元，则第二次每件进价为(x+10)元。 根据题意，得=2×。 方程两边同乘x(x+10)，得6600x=6000(x+10)，解得x=100。 检验：当x=100时，x(x+10)≠0，所以x=100是原方程的解，且符合题意。 答：第一次购进的衬衫每件进价是100元。 四、易错警示 易错点1：去分母时，方程中不含分母的项漏乘最简公分母。 易错点2：分子是多项式时，去分母后没有加括号，导致符号错误。 易错点3：解完整式方程后忘记检验，把增根当作原方程的解。 易错点4：列方程解应用题时只检验是否为方程的根，不检验是否符合实际意义；或忘记写“答”。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列方程中，是分式方程的是（　　） A．+1=x B．= C．+1=2 D．=3 2．解分式方程+=时，去分母两边同乘的最简公分母是（　　） A．x-1 B．x+1 C．(x+1)(x-1) D．(x2-1)2 3．分式方程=的解是（　　） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=3 4．分式方程=的解是（　　） A．x=-3 B．x=1 C．x=3 D．无解 5．解分式方程-1=，结果为（　　） A．x=2 B．x=0 C．x=-2 D．无解 6．若关于x的方程=2+有增根，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．-3 7．甲每小时做x个零件，乙每小时比甲多做5个零件，甲做60个零件与乙做80个零件所用的时间相等。根据题意，下列方程正确的是（　　） A．= B．= C．= D．= 8．分式方程=1的解是（　　） A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解 二、填空题 9．方程=1的解是________。 10．当x=________时，分式与的值相等。 11．若关于x的方程=1的解是x=2，则a=________。 12．分式方程=的解的情况是________。 13．A，B两地相距120千米，甲车比乙车每小时多行驶10千米，甲车行驶120千米与乙车行驶100千米所用的时间相同。设乙车的速度为x千米/时，可列方程为________。 三、解答题 14．解方程：（1）=；（2）-=1；（3）=-3。 15．某校购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多4元，用1200元购买甲种图书的数量与用800元购买乙种图书的数量相同。甲、乙两种图书的单价各是多少元？ 16．小明家距学校2千米，平时他步行上学。今天他改骑自行车，骑车的速度是步行速度的3倍，结果比平时早到20分钟。求小明步行的速度。 B组　能力提升 一、选择题 17．若关于x的分式方程=1的解为正数，则a的取值范围是（　　） A．a<-1 B．a>-1 C．a<-1且a≠-2 D．a>-1且a≠-2 18．若分式方程=2+无解，则a的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 二、填空题 19．对于非零实数a，b，规定a※b=-。若2※x=1，则x=________。 20．当m=________时，关于x的方程-2=会产生增根。 三、解答题 21．解方程：-=1。 22．某项工程，若由甲队单独完成，恰好在规定日期内完成；若由乙队单独完成，则要超过规定日期3天。现由甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，恰好在规定日期内完成。规定日期是多少天？ C组　拓展探究 解答题 23．已知关于x的方程+=。（1）若方程有增根，求m的值；（2）若方程无解，求m的值。 24．某车间要加工1200个零件，采用新工艺后，工作效率是原来的1.5倍，这样加工完全部零件比原计划少用10小时。采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？ 六、参考答案与解析 课前预习 1．未知数　　2．去分母　　3．最简公分母　　4．增根；检验 A组　基础巩固 1．【答案】C 【解析】+1=2的分母中含有未知数x，是分式方程。 2．【答案】C 【解析】x2-1=(x+1)(x-1)，最简公分母为(x+1)(x-1)。 3．【答案】A 【解析】去分母得3x=x+2，x=1，检验x(x+2)=3≠0，是原方程的解。 4．【答案】C 【解析】去分母得x+3=2x，x=3，检验x(x+3)=18≠0，是原方程的解。 5．【答案】B 【解析】两边同乘(x+2)(x-2)，得x(x+2)-(x2-4)=4，即2x+4=4，x=0。检验：(x+2)(x-2)=-4≠0，x=0是原方程的解。 6．【答案】C 【解析】去分母得x=2(x-3)+m，增根为x=3，代入得3=0+m，m=3。 7．【答案】A 【解析】甲用时小时，乙用时小时，两者相等。 8．【答案】C 【解析】去分母得1=x-1，x=2，检验x-1=1≠0，x=2是原方程的解。 9．【答案】x=1 【解析】去分母得2=x+1，x=1，检验x+1=2≠0。 10．【答案】3 【解析】=，去分母得x=3(x-2)，x=3，检验x(x-2)=3≠0。 11．【答案】3 【解析】把x=2代入得=1，a=3。 12．【答案】无解 【解析】去分母得x-1=1，x=2；检验：x-2=0，x=2是增根，所以原方程无解。 13．【答案】= 【解析】时间=，甲车时间为，乙车时间为。 14．【答案】（1）x=7；（2）x=2；（3）原方程无解。 【解析】（1）两边同乘(x+3)(x-1)，得5(x-1)=3(x+3)，5x-5=3x+9，x=7。检验：(x+3)(x-1)=60≠0，x=7是原方程的解。 （2）两边同乘x(x-1)，得x2-2(x-1)=x(x-1)，x2-2x+2=x2-x，x=2。检验：x(x-1)=2≠0，x=2是原方程的解。 （3）原方程可化为=-3，两边同乘(x-2)，得1=x-1-3(x-2)，1=-2x+5，x=2。检验：x-2=0，x=2是增根，原方程无解。 15．【答案】甲种图书的单价为12元，乙种图书的单价为8元。 【解析】设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为(x+4)元。 根据题意，得=。 两边同乘x(x+4)，得1200x=800(x+4)，解得x=8。 检验：当x=8时，x(x+4)≠0，x=8是原方程的解，且符合题意，x+4=12。 16．【答案】小明步行的速度为4千米/时。 【解析】设小明步行的速度为x千米/时，则骑车的速度为3x千米/时。20分钟=小时。 根据题意，得-=。 两边同乘3x，得6-2=x，解得x=4。 检验：当x=4时，3x≠0，x=4是原方程的解，且符合题意。 B组　能力提升 17．【答案】C 【解析】去分母得2x+a=x-1，x=-1-a。由x>0得a<-1；又x≠1，即-1-a≠1，a≠-2。所以a<-1且a≠-2。 18．【答案】A 【解析】去分母得x=2(x-4)+a，x=8-a。方程无解，说明x=8-a是增根，即8-a=4，a=4。 19．【答案】 【解析】-=1，=，x=，经检验是原方程的解。 20．【答案】3 【解析】去分母得x-2(x-3)=m，即-x+6=m。增根为x=3，代入得m=3。 21．【答案】原方程无解。 【解析】两边同乘(x+1)(x-1)，得(x+1)2-4=x2-1，x2+2x+1-4=x2-1，2x=2，x=1。检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，x=1是增根，所以原方程无解。 22．【答案】规定日期是6天。 【解析】设规定日期是x天，则甲队每天完成，乙队每天完成。乙队共做了x天，甲队做了2天。 根据题意，得+=1。 两边同乘x(x+3)，得2(x+3)+x2=x(x+3)，即2x+6+x2=x2+3x，解得x=6。 检验：当x=6时，x(x+3)≠0，x=6是原方程的解，且符合题意。 C组　拓展探究 23．【答案】（1）m=-4或m=6；（2）m=1或m=-4或m=6。 【解析】两边同乘(x+2)(x-2)，得2(x+2)+mx=3(x-2)，整理得(m-1)x=-10。 （1）方程有增根，则增根为x=2或x=-2。当x=2时，2(m-1)=-10，m=-4；当x=-2时，-2(m-1)=-10，m=6。所以m=-4或m=6。 （2）方程无解有两种情况：①整式方程(m-1)x=-10无解，即m-1=0，m=1；②整式方程的解是增根，由（1）得m=-4或m=6。所以m=1或m=-4或m=6。 24．【答案】采用新工艺前每小时加工40个，采用新工艺后每小时加工60个。 【解析】设采用新工艺前每小时加工x个零件，则采用新工艺后每小时加工1.5x个。 根据题意，得-=10，即-=10。 两边同乘x，得400=10x，解得x=40。 检验：x=40是原方程的解，且符合题意，1.5x=60。 七、课后反思 解分式方程为什么一定要检验？怎样检验？列分式方程解应用题要进行哪两方面的检验？ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $