3.4 分式方程 同步练习 2025-2026学年青岛版八年级数学上册

3.4　分式方程(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　分式方程解决行程问题 1.某特快列车在最近一次的铁路大提速后,时速提高了30千米,则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时,若该列车提速前的速度是x千米/小时,下列所列方程正确的是() A.-=1　 B.-=1 C.-=1　 D.-=1 2.(2024·临沂兰山区期末)小明读到关于某城际铁路的新闻报道后,搜集该线路的相关信息制作了下表,表中两个区间段(线路的一部分)以最高时速运行时相应所用的时间t1比t2约少0.1 h,那么区间设计最高时速v= km/h.  区间段 区间近似 里程(km) 区间设计 最高时速 (km/h) 相应所用 时间(h) A-B 48 v t1 B-C 88 1.1v t2 3.甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动,甲同学步行,乙同学骑自行车,乙同学骑自行车速度是甲同学步行速度的4倍,甲出发30 min后乙同学出发,两名同学同时到达,求乙同学骑自行车的速度. 知识点2　分式方程解决工程问题 4.(2024·东营市东营区期中)一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,加一台乙型拖拉机,两台合耕,1天耕完这块地的另一半,乙型拖拉机单独耕这块地需要 天.  5.为积极创建全国文明城市,甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程.若由甲、乙两工程队合作20天可以完成;若甲工程队先单独施工40天,再由乙工程队单独施工10天也可以完成.求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天. 知识点3　分式方程解决其他问题 6.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱,也是馈赠亲友的尚佳礼品,首批“脆红李”成熟后,当地某电商用12 000元购进这种“脆红李”进行销售,面市后,线上订单猛增供不应求,该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”,由于更多“脆红李”成熟,单价比第一批每件便宜了5元,数量比第一批多购进了40件,求购进的第一批“脆红李”的单价,设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件,根据题意可列方程为() A.=-40 B.-40= C.+40= D.+40= 【B层 能力进阶】 7.某校计划投资80 000元建设几间新教室.为了保证教学质量,实际每间教室的建设费用增加了20%,并比原计划多建设了一间教室,总投资追加了40 000元.根据题意,原计划每间教室的建设费用是() A.16 000元 B.18 000元 C.20 000元 D.24 000元 8.暑假期间,几名同学共同租一辆面包车去某地旅游,面包车的租价为120元,出发时又有2名同学参加进来,结果每名同学少分摊3元,则原来参加旅游的同学为 人.  9.肖老师周末从市区某小区开车前往相距130 km的成都天府国际机场,考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题.为不耽误航班,实际开车的平均速度比原计划提高了30%,结果提前20分钟到达机场,则肖老师实际开车的平均速度是 km/h.  10.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 秒.  11.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品. (1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份. (2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份. 【C层 创新挑战（选做）】 12.(推理能力、应用意识)周日琪琪要骑车从家去书店买书,一出家门,遇到了邻居亮亮,亮亮说:“今天有风,而且去时逆风,要吃亏了.”琪琪回答说:“去时逆风,回来时顺风,和无风往返一趟所用时间相同.”(顺风速度=无风时骑车速度+风速;逆风速度=无风时骑车速度-风速). (1)如果家到书店的路程是12 km,无风时琪琪骑自行车的速度是8 km/h,她逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍,求风速是多少. (2)如果设从家到书店的路程为s km,无风时骑车速度为v km/h,风速为a km/h(v>a),分别求出有风往返一趟的时间和无风往返一趟的时间,请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4　分式方程(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　分式方程解决行程问题 1.某特快列车在最近一次的铁路大提速后,时速提高了30千米,则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时,若该列车提速前的速度是x千米/小时,下列所列方程正确的是(B) A.-=1　 B.-=1 C.-=1　 D.-=1 2.(2024·临沂兰山区期末)小明读到关于某城际铁路的新闻报道后,搜集该线路的相关信息制作了下表,表中两个区间段(线路的一部分)以最高时速运行时相应所用的时间t1比t2约少0.1 h,那么区间设计最高时速v=　320　km/h.  区间段 区间近似 里程(km) 区间设计 最高时速 (km/h) 相应所用 时间(h) A-B 48 v t1 B-C 88 1.1v t2 3.甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动,甲同学步行,乙同学骑自行车,乙同学骑自行车速度是甲同学步行速度的4倍,甲出发30 min后乙同学出发,两名同学同时到达,求乙同学骑自行车的速度. 【解析】设甲同学步行的速度为x km/h,则乙同学骑自行车的速度为4x km/h,由题意得-=,解得x=3.6,经检验,x=3.6是原分式方程的解,且符合题意, 所以4x=4×3.6=14.4. 答:乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h. 知识点2　分式方程解决工程问题 4.(2024·东营市东营区期中)一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,加一台乙型拖拉机,两台合耕,1天耕完这块地的另一半,乙型拖拉机单独耕这块地需要 　天.  5.为积极创建全国文明城市,甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程.若由甲、乙两工程队合作20天可以完成;若甲工程队先单独施工40天,再由乙工程队单独施工10天也可以完成.求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天. 【解析】设甲工程队单独完成此项工程需要x天,依题意,可得+10(-)=1,解得x=60. 经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意, 所以乙工程队单独完成此项工程需要的天数为1÷(-)=30. 答:甲工程队单独完成此项工程需要60天,乙工程队单独完成此项工程需要30天. 知识点3　分式方程解决其他问题 6.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱,也是馈赠亲友的尚佳礼品,首批“脆红李”成熟后,当地某电商用12 000元购进这种“脆红李”进行销售,面市后,线上订单猛增供不应求,该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”,由于更多“脆红李”成熟,单价比第一批每件便宜了5元,数量比第一批多购进了40件,求购进的第一批“脆红李”的单价,设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件,根据题意可列方程为(A) A.=-40 B.-40= C.+40= D.+40= 【B层 能力进阶】 7.某校计划投资80 000元建设几间新教室.为了保证教学质量,实际每间教室的建设费用增加了20%,并比原计划多建设了一间教室,总投资追加了40 000元.根据题意,原计划每间教室的建设费用是(C) A.16 000元 B.18 000元 C.20 000元 D.24 000元 8.暑假期间,几名同学共同租一辆面包车去某地旅游,面包车的租价为120元,出发时又有2名同学参加进来,结果每名同学少分摊3元,则原来参加旅游的同学为　8　人.  9.肖老师周末从市区某小区开车前往相距130 km的成都天府国际机场,考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题.为不耽误航班,实际开车的平均速度比原计划提高了30%,结果提前20分钟到达机场,则肖老师实际开车的平均速度是　117　 km/h.  10.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是　7.5　秒.  11.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品. (1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份. 【解析】(1)设购买杂酱面x份,牛肉面y份, 根据题意得,解得. 答:购买杂酱面80份,牛肉面90份. (2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份. 【解析】(2)设购买牛肉面m份,则购买杂酱面(1+50%)m份, 根据题意得-=6, 解得m=60, 经检验,m=60是所列方程的解,且符合题意. 答:购买牛肉面60份. 【C层 创新挑战（选做）】 12.(推理能力、应用意识)周日琪琪要骑车从家去书店买书,一出家门,遇到了邻居亮亮,亮亮说:“今天有风,而且去时逆风,要吃亏了.”琪琪回答说:“去时逆风,回来时顺风,和无风往返一趟所用时间相同.”(顺风速度=无风时骑车速度+风速;逆风速度=无风时骑车速度-风速). (1)如果家到书店的路程是12 km,无风时琪琪骑自行车的速度是8 km/h,她逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍,求风速是多少. 【解析】(1)设当天的风速为x km/h.根据题意,得=×,解得x=2.经检验x=2是所列方程的解. 答:当天的风速为2 km/h. (2)如果设从家到书店的路程为s km,无风时骑车速度为v km/h,风速为a km/h(v>a),分别求出有风往返一趟的时间和无风往返一趟的时间,请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对. 【解析】(2)有风往返一趟的时间为(+) h,无风往返一趟的时间为 h. 因为+-=, v>a,所以>0,即+>, 所以有风往返一趟的时间>无风往返一趟的时间,即亮亮说得对. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4　分式方程(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　分式方程的概念及解法 1.有下列方程:①2x+=10;②x-=2;③-3=0;④+=0.属于分式方程的有() A.①②　 B.②③　 C.③④　 D.②④ 2.解方程-2=时去分母,两边同乘(x-1)后的式子为() A.1-2=-3x B.1-2(x-1)=-3x C.1-2(1-x)=-3x D.1-2(x-1)=3x 3.方程=1的解是() A.x=1　 B.x=-1　 C.x=5　 D.x=-5 4.解方程:+1=. 知识点2　根据分式方程的根的情况求参数 5.(2024·临沂费县期末)若在解关于x的方程+2=时,会产生增根,则m的值为() A.3 B.-3 C.1 D.-1 6.已知关于x的方程=的解是x=1,则a的值为() A.2 B.1 C.-1 D.-2 7.已知关于x的方程-m-4=无解,求m的值. 【B层 能力进阶】 8.分式方程-=的解是() A.x=　 B.x= C.x=1　 D.x= 9.x=3是下列哪个分式方程的根?() A.= B.x-= C.+= D.= 10.(2024·济南莱芜区期中)关于x的方程=-1有增根,则m的值是() A.2 B.0或2 C.-2 D.±2 11.若关于x的分式方程+=1无解,则m的值是() A.2或6 B.2 C.6 D.2或-6 12.用换元法解方程-=3时,设=y,则原方程可化为 .  13.定义一种运算☆,规则为a☆b=+,根据这个规则,若x☆(x+1)=,则x= .  14.若关于x的方程=有增根,则m= .  15.运算符号“”,称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,请你根据上述规定,求出下列等式中x的值:=1. 【C层 创新挑战（选做）】 16.(推理能力、应用意识)关于x+=3+这类方程,我们可以用对应法来求解. 解:原方程变为或; 解得x=3或x=. (1)请用对应法解方程:x+=-. (2)能否用对应法解方程:x+=5+,如果能,请用对应法求解;如果不能,请说明理由. (3)如果方程x+=b+能用对应法求解,求a,b的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4　分式方程(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　分式方程的概念及解法 1.有下列方程:①2x+=10;②x-=2;③-3=0;④+=0.属于分式方程的有(B) A.①②　 B.②③　 C.③④　 D.②④ 2.解方程-2=时去分母,两边同乘(x-1)后的式子为(B) A.1-2=-3x B.1-2(x-1)=-3x C.1-2(1-x)=-3x D.1-2(x-1)=3x 3.方程=1的解是(B) A.x=1　 B.x=-1　 C.x=5　 D.x=-5 4.解方程:+1=. 【解析】由题意得最简公分母为2(x-1), 所以原方程可化为2+2x-2=3,所以x=. 检验:当x=时,2(x-1)=1≠0,且原方程左边=右边,所以原方程的解为x=. 知识点2　根据分式方程的根的情况求参数 5.(2024·临沂费县期末)若在解关于x的方程+2=时,会产生增根,则m的值为(A) A.3 B.-3 C.1 D.-1 6.已知关于x的方程=的解是x=1,则a的值为(C) A.2 B.1 C.-1 D.-2 7.已知关于x的方程-m-4=无解,求m的值. 【解析】原方程可以化为(m+3)x=4m+8, 由于方程无解,故有两种情况: (1)若整式方程无实根, 则m+3=0且4m+8≠0,所以m=-3; (2)若整式方程的根是原方程的增根, 则=3, 所以m=1, 经检验m=1是方程=3的解, 综上所述,m=-3或m=1. 【B层 能力进阶】 8.分式方程-=的解是(D) A.x=　 B.x= C.x=1　 D.x= 9.x=3是下列哪个分式方程的根?(B) A.= B.x-= C.+= D.= 10.(2024·济南莱芜区期中)关于x的方程=-1有增根,则m的值是(C) A.2 B.0或2 C.-2 D.±2 11.若关于x的分式方程+=1无解,则m的值是(A) A.2或6 B.2 C.6 D.2或-6 12.用换元法解方程-=3时,设=y,则原方程可化为　y-=3　.  13.定义一种运算☆,规则为a☆b=+,根据这个规则,若x☆(x+1)=,则x=　1　.  14.若关于x的方程=有增根,则m=　-1　.  15.运算符号“”,称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,请你根据上述规定,求出下列等式中x的值:=1. 【解析】转化=1为方程-=1,变形为+=1, 去分母,得2+1=x-1, 解得x=4, 当x=4时,x-1=3≠0, 所以x=4是分式方程的解. 【C层 创新挑战（选做）】 16.(推理能力、应用意识)关于x+=3+这类方程,我们可以用对应法来求解. 解:原方程变为或; 解得x=3或x=. (1)请用对应法解方程:x+=-. 【解析】(1)方程整理得,x+=-2-, 解得x=-2或x=-. (2)能否用对应法解方程:x+=5+,如果能,请用对应法求解;如果不能,请说明理由. 【解析】(2)方程整理得,x-1+=4+, 可得x-1=4或x-1=, 解得x=5或x=. (3)如果方程x+=b+能用对应法求解,求a,b的值. 【解析】(3)方程整理得,x++=b++, 可得=1,b+=5, 解得a=2,b=. 学科网（北京）股份有限公司 $$