4.2 整式的加法与减法（思维导图+知识归纳+题型典例+能力提升练+课后练习） 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第四章：整式的加减 4.2整式的加法与减法 内容导航 思维导图 1 知识点一 同类项、合并同类项 1 【题型1 带有字母的绝对值化简问题】 1 【题型2 同类项的判断】 3 【题型3 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 4 【题型4 合并同类项】 4 知识点二 去括号、添括号 5 【题型5 去括号】 5 【题型6 添括号】 6 知识点三 整式的加减 7 【题型7 整式的加减运算】 7 【题型8 整式的加减的应用】 8 【题型9 整式的加减中的化简求值】 9 【题型10 整式加减中的无关型问题】 10 能力提升 11 课后检测 18 思维导图 知识点一 同类项、合并同类项 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 例：-6a与5a是一组同类项；与是一组同类项；6x、与也是一组同类项． 2．合并同类项：把同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变． 例： ， 【题型1 带有字母的绝对值化简问题】 1．已知，，且，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或2 【答案】C 【分析】先根据绝对值的意义确定的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴不符合条件，舍去， 即， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或． 2．若，化简______________．（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据a的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式． 3．已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据数轴可推出，据此化简绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴ ． 【题型2 同类项的判断】 1．下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； B、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母均为，且的指数均为1，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意． 2．下列说法正确的是（     ） A．与不是同类项 B．不是单项式 C．是一次二项式 D．化简的结果是 【答案】C 【详解】解：A选项，与是同类项，原说法错误； B选项，是单项式，原说法错误； C选项，是一次二项式，原说法正确； D选项，，原计算错误． 3．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 【题型3 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 1．若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 2．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．据此求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，． 3．已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（ ） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【答案】A 【分析】能够合并的单项式是同类项，而同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数也相同， 根据定义列方程求解即可． 【详解】解：∵ 单项式与可以合并同类项， ∴ 两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， 可得，. 解得，． 【题型4 合并同类项】 1．下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项计算并判断即可． 【详解】解：A选项，，运算错误.； B选项，与不是同类项，无法合并，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 2．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、不是同类项，不能合并，原计算错误； D、，原计算正确. 3．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 知识点二 去括号、添括号 1.去括号：一个数与一个多项式相乘需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加． ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 例： ②括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 例： 2. 添括号：括号外是“+”，添括号不变号；括号外是“-”，添括号都变号． 【题型5 去括号】 1．与相等的整式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号的法则依次进行运算，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，选项A符合题意； 选项B：，选项B不符合题意； 选项C：，选项C不符合题意； 选项D：，选项D不符合题意． 3．若，则（     ） A．29 B．30 C．31 D．无法确定 【答案】C 【分析】将所求代数式变形为含的形式，整体代入求值． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 【题型6 添括号】 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 2．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．10 B．9 C．8 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 将代入得，． 3．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 知识点三 整式的加减 1.运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【题型7 整式的加减运算】 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 2．一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ， ∴这个多项式为． 3．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 【题型8 整式的加减的应用】 1．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 【答案】B 【分析】设甲、乙机器人数量为正整数x、y，用x、y表示A、B零件总数a、b，推导是9的倍数，从选项中选9的倍数． 【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x，y， 则，， ，一定是9的倍数， 359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除， 则的值可能为360． 2．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的30包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（     ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 【答案】A 【详解】解：由题意得：总进价为：元，共进了（包）， ∵商家以每包元的价格卖出， ∴总收入为：元， ∴利润为：， ， ， ∴盈利了． 3．在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意表示出小乐采摘西红柿的个数，再将两人采摘个数相加，化简后得到结果即可． 【详解】解：∵小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少个， ∴小乐采摘西红柿的个数为个， ∵， ∴两人一共采摘的个数为个． 【题型9 整式的加减中的化简求值】 1．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】， 将代入，得 ． 2．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 3．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题利用整体代入法求值，先将所求代数式提取公因式变形，再将已知等式整体代入计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故选：A． 【题型10 整式加减中的无关型问题】 1．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 2．代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 【答案】D 【分析】对原代数式去括号，合并同类项得到最终结果，根据结果判断代数式的值与，的关系． 【详解】解：对原代数式化简如下： 原式 ∵化简后的结果为常数，不含变量和， ∴该代数式的值与，的大小都无关，故选D． 3．若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】代数式的值与某个字母的取值无关，说明该字母对应所有项的系数为0，据此即可求出m的值． 【详解】解：∵式子的值与的取值无关， ∴， ∴． 能力提升 一、单选题 1．下列语句正确的有（     ）个 ①若，则a是一个正数； ②任何有理数都有倒数； ③绝对值相等的两个数的和一定不为0； ④一个有理数不是整数就是分数； ⑤单项式与多项式的和必为多项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例结合相关概念判断各语句正误，注意0的特殊性． 【详解】解：①∵时，，包含，故①错误； ②∵0是有理数，0没有倒数，故②错误； ③∵互为相反数的两个数绝对值相等，和为0， 如，，故③错误； ④∵有理数分为整数和分数两类，故④正确； ⑤∵单项式与多项式的和为，是单项式，故⑤错误； 综上，正确的语句共1个． 2．下列说法中正确的个数是（     ） ①若，，则x，y都为负数； ②已知，则的值不可能为0； ③若，，，则a，，b，的大小关系是； ④如果a、b、c为有理数，且，则的值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①由有理数乘法符号法则判断；②举反例验证；③利用不等式变形比较数的大小；④根据绝对值的代数意义分析负数个数，进而判断乘积符号. 【详解】解：①∵， ∴，异号，故①错误. ②取，，满足，此时，故②错误. ③∵，，， ∴， ∴，，即，故③正确. ④∵， ∴，，中有2个负数，1个正数， ∴，∴，故④错误. 综上，正确的说法共1个. 3．已知，，，则的值为（     ） A．3或 B．或7 C．3或 D．7或 【答案】C 【分析】由可确定a、b的符号关系，结合绝对值的定义求出a、b的取值，进而计算的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当，时，，不符合题意，舍去， 当，时，，符合题意，此时， 当，时，，符合题意，此时， 当，时，，不符合题意，舍去， 的值为或． 4．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 5．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 6．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 二、填空题 7．若，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】先整理已知等式得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：， 移项得 ， ∴． 8．若，，且，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质得到、的所有可能取值，再由得到，筛选出符合条件的、，代入计算得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴ ， 当时，无论还是，都有，不符合条件，舍去， 当时，若，满足，此时， 若，满足，此时， 因此的值为或． 9．对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值=__________； （2）当，在数轴上的位置如图所示时，化简__________． 【答案】 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴得出，再计算即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：； （2）由数轴得：， ， ． 10．已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 三、解答题 11．有理数、、在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）由数轴得，，据此即可判断式子的正负； （2）根据（1）中的结论，根据绝对值的性质化简，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴，，； （2）解：由（1）得，，，， ∴ ． 12．如果整式与整式的和为有理数，那么我们称，为数的“关联整式”．例如：和为数1的“关联整式”；和为数7的“关联整式”． (1)和为数________的“关联整式”； (2)若和为数1的“关联整式”，，求整式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两代数式相加即可求解题目； （2）因为和为数1的“关联整式”，由题意，则，代入求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵和为数1的“关联整式”， ∴ ∴ ． 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式． 当，时，原式． 14．定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）； (2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)与是关于5的平衡数，理由如下： ， 所以与是关于5的平衡数． (3)7 【分析】（1）根据平衡数的定义进行求解即可； （2）根据整式加减运算法则求出，然后再进行判断即可； （3）先根据平衡数定义得出，再根据，得出，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴4与1是关于5的平衡数； ∵， ∴与是关于5的平衡数； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为最大的负整数， ∴， ∴． 课后检测 一、单选题 1．已知，，且，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或2 【答案】C 【分析】先根据绝对值的意义确定的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴不符合条件，舍去， 即， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或． 2．下列说法：①是二次三项式；②与是同类项；③的次数是6；④的系数是．其中说法正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的次数项数、同类项、单项式的次数与系数的概念，解题关键是准确掌握这些代数概念的定义． 根据多项式、同类项、单项式次数和系数的定义逐一判断各说法的正确性． 【详解】∵ 说法①∶ 的最高次项为2次， 且有三项， ∴ 是二次三项式， 正确； ∵ 说法②∶ 与 的相同字母指数不同， ∴ 不是同类项， 错误； ∵ 说法③∶ 的次数为字母指数和 ， ∴ 不是6， 错误； ∵ 说法④∶ 的系数为 ， ∴ 不是， 错误； ∴ 正确个数为1个． 故选A． 3．已知与是同类项，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，所含字母相同，相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得m、n的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， 故选：C． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，合并同类项时系数相加减，字母和字母的指数不变．运用合并同类项法则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中与不是同类项，不能合并，运算错误． B选项中，运算错误． C选项中，运算错误． D选项中，运算正确． 故选：D． 5．下列各式中，化简结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号法则，解题的关键是掌握：当括号前面是“＋”号时，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不改变符号，当括号前面是“－”号时，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号， 根据去括号法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号与添括号，根据去括号和添括号的法则求解即可． 【详解】解：A.、 ，故该选项错误； B、 ，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，根据整式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、、不是同类项，不能加减，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 8．将四个如图甲所示的小长方形按照如图乙所示的方式不重叠地放在长为、宽为的大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分用阴影表示，则两个阴影部分的周长之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算，表示出两个阴影长方形的长和宽是解答关键． 设甲图的长为，宽为，先表示出甲图的长和宽，再结合图形表示出两个阴影长方形的长和宽，最后利用周长公式求解． 【详解】解：设甲图的长为，宽为，由图可知，，， 两式相减得， ∴， 即甲图的长为，宽为， 小阴影长方形的长为：，宽为：， 大阴影长方形的长为：，宽为：， 两个阴影小长方形的周长之和为：． 故选：B． 9．已知，则的值是（    ） A．5 B．-5 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【分析】解：原式＝a+c+b﹣d ＝a+b+c﹣d， 当a+b＝3，c﹣d＝2时， ∴原式＝3+2＝5， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的加减中的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 10．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据新运算规则展开代数式，再根据代数式的值与x无关时x的系数为0求出k，最后代入计算结果即可． 【详解】解：∵根据新运算定义，， ∴展开得：． ∵该式的值与x的取值无关， ∴x的系数． ∴解得． 将代入，得． 故选：A． 二、填空题 11．如图，3个相同的小矩形与2个相同的大矩形拼成一个矩形，若每个小矩形的宽和每个大矩形的宽均为x，则矩形的周长为________．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】观察图形，根据小矩形和大矩形的拼接关系，分别用含的代数式表示出小矩形的长和大矩形的长，进而表示出矩形的长和宽，最后根据矩形周长公式求解即可． 【详解】解：由图可知，小矩形的长等于个小矩形的宽． 每个小矩形的宽为， 小矩形的长为． 由图可知，大矩形的长等于个小矩形的宽与个小矩形的长之和． 大矩形的长为． 矩形的长为大矩形的长，即，矩形的宽为大矩形的宽与大矩形的长之和，即， 矩形的周长为． 12．单项式与和是单项式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减以及同类项的概念，根据两个单项式的和仍是单项式，则它们是同类项，因此相同字母的指数相等，从而求出的值，然后代入即可求解． 【详解】解：因为单项式与的和是单项式， 所以这两个单项式是同类项， 所以的指数相等，即；的指数相等，即， 解得，， 所以， 故答案为：． 13．已知，则代数式的值为_____： 【答案】6 【分析】本题主要考查了代数式求值，把所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6． 14．关于x，y的多项式中不含项，则________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式．根据多项式不含项，即项系数为0，求出k的值即可解答． 【详解】解： ， ∵多项式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．先化简再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解答的关键． （1）根据整式的加减运算法则化简运算，再代值求解即可； （2）根据整式的加减运算法则化简运算，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 16．定义一种新运算，观察下列等式： (1)请你想一想：________； (2)若，请计算的值．（新定义） 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）观察给出的新运算实例，对比运算前后的数字变化，归纳新运算的通用表达式，找到⊙前后的数与运算结果中各项的对应关系． （2）先根据第一问得到的新运算规则，将展开，整理得到与的数量关系．再将按照新运算规则展开化简，代入上述与的数量关系计算结果． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ， ． 17．“整体思想”是一种重要的数学思想，它在多项式化简与求值有极为广泛的应用．例如：把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，请化简 ； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查合并同类项，代数式求值，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）将看成一个整体，合并同类项即可； （2）将变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：． 18．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)用含的代数式表示窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户的材料费是多少元（材料费=玻璃费+窗框费）． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购100个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 26元/m2 20元/ 10元/个窗户 120元/ 乙 30元/ 18元/ 12元/个窗户 130元/ 【答案】(1)窗户面积为平方米，窗框的总长为米 (2)元 (3)去甲工厂采购更省钱 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和半个圆的弧长三个半圆的半径，代入数值即可． （2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱窗框钱，即，将代入上式，化简即可． （3）分别计算甲、乙两个工厂采购个这种窗户的花销：安装费=材料费运输费人工费，代入数值可得出具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购个这种窗户的花销谁省钱。 【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆的半径为米， ∴窗户面积为：（平方米）， 由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和半个圆的弧长三个半圆的半径， ∴窗框的总长为：（米）． 故窗户面积为平方米，窗框的总长为米 （2）解：∵玻璃每平方米元，窗框每米元，窗户面积为平方米，窗框的总长为米， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是：（元）， 将代入上式，可得， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是元． （3）解：由上可得一个窗户面积为：（平方米） 在甲工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在甲工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， 在乙工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在乙工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， ∵，在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同， ∴在甲工厂采购个这种窗户省钱， ∴去甲工厂采购更省钱． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章：整式的加减 4.2整式的加法与减法 内容导航 思维导图 1 知识点一 同类项、合并同类项 1 【题型1 带有字母的绝对值化简问题】 2 【题型2 同类项的判断】 2 【题型3 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 2 【题型4 合并同类项】 3 知识点二 去括号、添括号 3 【题型5 去括号】 3 【题型6 添括号】 3 知识点三 整式的加减 4 【题型7 整式的加减运算】 4 【题型8 整式的加减的应用】 4 【题型9 整式的加减中的化简求值】 5 【题型10 整式加减中的无关型问题】 5 能力提升 5 课后检测 8 思维导图 知识点一 同类项、合并同类项 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 例：-6a与5a是一组同类项；与是一组同类项；6x、与也是一组同类项． 2．合并同类项：把同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变． 例： ， 【题型1 带有字母的绝对值化简问题】 1．已知，，且，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或2 2．若，化简______________．（     ） A．1 B． C． D． 3．已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 【题型2 同类项的判断】 1．下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列说法正确的是（     ） A．与不是同类项 B．不是单项式 C．是一次二项式 D．化简的结果是 3．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型3 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 1．若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．已知单项式与可以合并同类项，则m，n分别为（ ） A．2，2 B．3，2 C．2，0 D．3，0 【题型4 合并同类项】 1．下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．计算：（     ） A． B． C． D． 知识点二 去括号、添括号 1.去括号：一个数与一个多项式相乘需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加． ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 例： ②括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 例： 2. 添括号：括号外是“+”，添括号不变号；括号外是“-”，添括号都变号． 【题型5 去括号】 1．与相等的整式为（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则（     ） A．29 B．30 C．31 D．无法确定 【题型6 添括号】 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．10 B．9 C．8 D．不能确定 3．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点三 整式的加减 1.运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【题型7 整式的加减运算】 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 3．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【题型8 整式的加减的应用】 1．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 2．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的30包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店（     ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定 3．在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【题型9 整式的加减中的化简求值】 1．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 3．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 【题型10 整式加减中的无关型问题】 1．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 2．代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 3．若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 能力提升 一、单选题 1．下列语句正确的有（     ）个 ①若，则a是一个正数； ②任何有理数都有倒数； ③绝对值相等的两个数的和一定不为0； ④一个有理数不是整数就是分数； ⑤单项式与多项式的和必为多项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中正确的个数是（     ） ①若，，则x，y都为负数； ②已知，则的值不可能为0； ③若，，，则a，，b，的大小关系是； ④如果a、b、c为有理数，且，则的值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知，，，则的值为（     ） A．3或 B．或7 C．3或 D．7或 4．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 5．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 6．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则代数式的值是________． 8．若，，且，则的值为________． 9．对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值=__________； （2）当，在数轴上的位置如图所示时，化简__________． 10．已知单项式与的和为单项式，则________． 三、解答题 11．有理数、、在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0． (2)化简：． 12．如果整式与整式的和为有理数，那么我们称，为数的“关联整式”．例如：和为数1的“关联整式”；和为数7的“关联整式”． (1)和为数________的“关联整式”； (2)若和为数1的“关联整式”，，求整式． 13．先化简，再求值：，其中，． 14．定义：若，则称与是关于5的平衡数． (1)4与________是关于5的平衡数，与________是关于5的平衡数（填一个含的代数式）； (2)若，，判断与是不是关于5的平衡数，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若为最大的负整数，直接写出的值． 课后检测 一、单选题 1．已知，，且，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或2 2．下列说法：①是二次三项式；②与是同类项；③的次数是6；④的系数是．其中说法正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知与是同类项，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，化简结果为的是（    ） A． B． C． D． 6．下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．将四个如图甲所示的小长方形按照如图乙所示的方式不重叠地放在长为、宽为的大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分用阴影表示，则两个阴影部分的周长之和是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的值是（    ） A．5 B．-5 C．1 D．-1 10．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 二、填空题 11．如图，3个相同的小矩形与2个相同的大矩形拼成一个矩形，若每个小矩形的宽和每个大矩形的宽均为x，则矩形的周长为________．（用含x的代数式表示） 12．单项式与和是单项式，则的值是______． 13．已知，则代数式的值为_____： 14．关于x，y的多项式中不含项，则________． 三、解答题 15．先化简再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 16．定义一种新运算，观察下列等式： (1)请你想一想：________； (2)若，请计算的值．（新定义） 17．“整体思想”是一种重要的数学思想，它在多项式化简与求值有极为广泛的应用．例如：把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，请化简 ； (2)已知，求的值． 18．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)用含的代数式表示窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户的材料费是多少元（材料费=玻璃费+窗框费）． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购100个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 26元/m2 20元/ 10元/个窗户 120元/ 乙 30元/ 18元/ 12元/个窗户 130元/ 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $