2.3有理数的乘方（思维导图+知识归纳+题型典例+能力提升练+课后练习）同步备课-2026-2027学年人教版七年级数学上册

彭老师数学工作室 第二章：有理数的运算 2.3有理数的乘方 内容导航 思维导图 1 知识点一 有理数的乘方 1 【题型1 有理数幂的概念理解】 2 【题型2 有理数的乘方运算】 3 【题型3 乘方运算的符号规律】 4 【题型4 乘方的应用】 5 【题型5 含乘方的有理数混合运算】 6 知识点二 科学记数法 8 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 8 【题型7 将用科学记数法表示的数变回原数】 9 知识点三 近似数 9 【题型8 求一个数的近似数】 10 【题型9 求近似数的精确值】 11 【题型10 近似数推断取值范围】 11 能力提升 12 课后检测 20 思维导图 知识点一 有理数的乘方 1.乘方：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 2.表达式：（n为正整数），读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 例：（1）表示 底数为：3，指数为5； （2）表示； 底数为：3，指数为5，表示的相反数； （3）表示． 底数为：-3，指数为5； 【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，． 3．含乘方有理数运算法则： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 4．“奇负偶正”运算技巧： （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 例： ； 【题型1 有理数幂的概念理解】 1．（25-26七上·江苏苏州·期中考试）表示的意义是（     ） A．与相乘 B．个相乘 C．个相乘的相反数 D．个相乘的相反数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的意义，表示的是个相乘的相反数（为正整数），据此可得答案． 【详解】解：表示的意义是个相乘的相反数， 故选：D． 2．（25-26七上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 3．（25-26七上·湖南·阶段练习）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 【题型2 有理数的乘方运算】 1．（25-26七上·甘肃嘉峪关·入学检测）下列各式中，不相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：A、，，相等，此项不符合题意； B、，，相等，此项不符合题意； C、，，不相等，此项符合题意； D、，，相等，此项不符合题意． 2．（25-26七上·天津·阶段练习）七年级数学上学期）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方的意义和分数的乘法法则即可判断正确选项． 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D错误； 3．（25-26七上·江苏扬州·开学测试）在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，是负数， ，是负数， 综上，负数的个数是3个． 【题型3 乘方运算的符号规律】 1．（25-26七上·山东烟台·期中考试）2025-2026学年九年级下学期期中数学试题）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 2．（25-26七上·湖南娄底·综合练习）若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法符号法则，通过计算表达式中负因数的个数判断符号：有四个负因数，乘积为正；有三个负因数，乘积为负． 【详解】，，，，． 对于a：，共有四个负因数， ∵偶数个负数相乘为正， ． 对于b：， ，再乘以， ． 为正数，为负数． 故选C． 3．（25-26七上·上海·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【题型4 乘方的应用】 1．（26-27七上·安徽六安·学情检测）一根2米长的竹条，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹条长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：每次吃掉剩下的一半，即每次剩余长度为前一次的， 初始竹条长2米，第一次后剩余米，第二次后剩余米， 以此类推，第五次后剩余长度为米. 2．（25-26七上·江苏无锡·学情检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 3．（25-26七上·黑龙江大庆·阶段练习）一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一次后剩下的绳子的长度为， 第二次后剩下的绳子的长度为米； 第三次后剩下的绳子的长度为米； ； ∴第六次后剩下的绳子的长度为米． 【题型5 含乘方的有理数混合运算】 1．（25-26七上·云南·阶段练习）七年级数学上学期）根据下列运算程序，若输入，则输出的结果为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解： . 2．（25-26七上·河南光山·素质检测）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序流程图，结合有理数混合运算的法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵输入的数为， ∴，， ∴当输入的数为时，输出的数是． 3．（25-26七上·安徽六安·学情检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解： ； （2）解： ． 知识点二 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n为正整数），叫做科学记数法。 2.确定a和n的方法： a：原数的整数部分从左边起，只保留一位非零数字，其余位变为小数部分（即小数点移到第一个非零数字后面）。 n：等于原数的整数位数减1。 例：5670000=5.67×（整数部分7位，n = 7-1 = 6） 3.原数还原：将还原为原数，只需把a的小数点向右移动n位，位数不足补0。 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（25-26七上·福建福州·学情检测）国家统计局发布数据显示，2024年我国出生人口约9540000人，数据“9540000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26七上·贵州·联合教研）据统计，2026年贵州省高考报名总人数为42.2万人．数据42.2万用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：万． 3．（2026年·山东济南·中考真题）在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据183000用科学记数法表示为．1．（广东汕头市潮阳区泉塘初级中学2026-2027学年第一学期七年级数学科随堂训练（一））下列各式计算正确的是（     ） 【题型7 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2026年·河省周口·中考预测）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 2．（2026年·福建厦门·中考三模）2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义，将所给科学记数法展开得到原数，即可选出正确选项． 【详解】∵ ， ∴ ． 3．（2026年·山西朔州·中考三模）中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，将（n为正整数）还原时，把a的小数点向右移动n位即可得到原数． 【详解】解：∵给定数为，其中， ∴将2.42的小数点向右移动5位，可得原数为242000， 即原数为242000吨，对应选项为B． 知识点三 近似数 1. 近似数：与准确数相近、通过四舍五入得到的数，用于简化数值表达。 2. 精确度：表示近似数的近似程度，常见表述：精确到个位、十分位、百分位，或精确到万位、亿位等。 3. 四舍五入规则：看精确位的下一位数字，大于等于5进1，小于5舍去。 例：3.14159精确到百分位（即小数点后两位）→ 看千分位（第三位）是1，舍去 → 3.14 3.14159精确到千分位（即小数点后三位）→ 看万分位（第四位）是5，入1 → 3.142 4.保留几个有效数字（从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字）。 例：科学记数法中，有效数字只数 a 部分。 0.060070有 4 个有效数字（6、0、0、7、0），注意中间和末尾的0都要算。 【题型8 求一个数的近似数】 1．（25-26九下·吉林长春·阶段练习）用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的百位数字为，十位数字为， 根据四舍五入规则，精确到百位需向百位进， ∴精确到百位得到的近似数为，即． 2．（25-26九下·湖北孝感·期末考试）用四舍五入对取近似数，精确到得到的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查近似数的四舍五入规则，精确到即保留两位小数，需观察第三位小数(千分位)的数字，根据“四舍五入”的原则判断是否向百分位进位． 【详解】解：要将精确到，即保留两位小数，需看千分位上的数字4． ∵， ∴舍去千分位及后面的所有数字，得到近似数； 故选：A． 3．（25-26九下·山东泰安·期末考试）把20198四舍五入，使其精确到千位，所得的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了求近似数，科学记数法，四舍五入精确到千位，根据百位数字小于5需舍去，然后得到近似数为20000，即． 【详解】解：∵20198的百位数字是1，， ∴四舍五入时舍去，千位数字0不变， ∴近似数为20000，即． 故选：A． 【题型9 求近似数的精确值】 1．（25-26七上·安徽安庆·期末考试）精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据精确到百分位需观察千分位数字四舍五入，结果保留两位小数，末尾的0不能省略，即可解决． 【详解】解：∵将精确到百分位，观察千分位数字为， ∴向百分位进， ∴百分位，向十分位进，百分位记， ∴十分位， ∴最终结果为． 2．（25-26七上·云南宣威·期末考试）2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 【答案】D 【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一位有效数字所在数位确定精确度． 【详解】解：，数字5位于万位，即该数据精确到万位． 3．（25-26七上·云南昆明·期末考试）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 【题型10 近似数推断取值范围】 1．（25-26七上·贵州遵义·期末考试）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 2．（25-26七上·江西吉安·期中考试）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 3．（25-26七上·湖北襄阳·月考）近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数，熟练掌握近似数的方法是解题的关键． 近似数精确到百分位，即是从千分位上的数字四舍五入得到的，若千分位上的数字大于等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上是“3”；若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上是“4”，据此解答即可． 【详解】解：近似数是由a四舍五入到百分位得到的， 则a的取值范围为， 故选：D． 能力提升 一、单选题 1．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出直接输出的输入值必须是，结合程序流程图，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得， 故直接输出的输入值必须是， A、当时，由可得，输出的的值为，故不符合题意； B、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意； C、当时，，则，输出的的值为，故符合题意； D、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意． 2．如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A． B． C．12 D．14 【答案】D 【分析】将代入图中，然后按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， 观察图可知， ， ， 最后输出的结果是14． 3．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 4．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 5．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 6．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 7．若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 8．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：． 二、填空题 9．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【答案】5 【分析】由题意得，求出，再结合科学记数法的规则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴这个数中被覆盖的0有5个． 10．八进制数换算成十进制数是，则十进制数2025换算成八进制为_________．（八进制逢八进一） 【答案】 【分析】将十进制数转换为八进制数，使用除8取余法，不断用8除十进制数取余数，直到商为0，再将所得余数逆序排列即可． 【详解】解：∵，，，， ∴将所得余数逆序排列，得到八进制数为， 验证：，结果正确， 因此十进制数换算为八进制是． 11．二维码（如图①）在日常生活中应用越来越广泛，它巧妙利用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．某校利用二维码设立了一个学生身份识别系统，图②是某个学生的二维码简易编码，其中第一行代表的二进制数是1000，转换成十进制数为：，代表该生为8年级学生．第二行转换成班级序号，第三行、第四行分别转换成该生班内学号的十位数字与个位数字，则该生的班内学号为__________． 【答案】 【分析】根据题意明确黑色代表、白色代表，分别读取第三行和第四行的二进制编码，按照题目给出的规律（从左到右依次为）转换为十进制数，分别得到学号的十位和个位数字． 【详解】解：观察图②可知： 第三行的颜色排列为：白、白、黑、白，对应的二进制数为． 转换成十进制数为：． 即该生班内学号的十位数字为． 第四行的颜色排列为：白、黑、黑、白，对应的二进制数为． 转换成十进制数为：． 即该生班内学号的个位数字为． 故该生的班内学号为． 12．定义运算，则_______． 【答案】 【详解】解：根据定义 ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①2②4 (2)64 (3)猜想：．理由： 设，，则，， ∴， 由定义得：， ∴ 【分析】（1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）首先推导出，结合解答即可； （3）设，，则，，可得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 15．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 【答案】(1)；1；0 (2)2或7 【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以计算出相应的输入数据． 【详解】（1）解：由题意得， 当输入数值是时，，，输出的数值为； 当输入数值是4时，，，，输出的数值为1， 当输入数值是15时，，，，的相反数是0，，输出的数值为0； （2）解：当按照绝对值输出结果为2时， ∴绝对值为2的非正数是，的相反数为2， ∵， ∴输入数据为2或者7， 当按照倒数输出结果为2时，取相反数后应该为，取相反数前为，一个数减去5后结果为，这个数一定是一个分数，而不可能为整数，因此这种情况时，输入的数据不可能是正整数； 综上，小明输入的正整数是2或7． 课后检测 一、单选题 1．年上半年重庆经济运行呈现结构向优的态势，全市地区生产总值达到亿元．数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此解答即可． 【详解】解：． 2．下列说法中，正确的是（     ） A．近似数和近似数的精确度一样 B．用四舍五入法对取近似数，精确到个位是 C．用四舍五入法对取近似数，精确到千位是 D．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 【答案】C 【分析】明确近似数精确位的判断方法及四舍五入规则，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、∵近似数精确到百分位，近似数精确到十分位， ∴二者精确度不一样，故选项A不符合题意； B、∵精确到个位，需看十分位数字，十分位为1，∴需舍去十分位及后面的数，结果为，故选项B不符合题意； C、∵精确到千位，需看百位数字，百位为9，∴需向千位进1，结果为，故选项C符合题意； D、 ∵精确到百分位，需看千分位数字，千分位为5， ∴需向百分位进1，结果为，故选项D不符合题意． 3．表示的意义是（     ） A．与相乘 B．个相乘 C．个相乘的相反数 D．个相乘的相反数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的意义，表示的是个相乘的相反数（为正整数），据此可得答案． 【详解】解：表示的意义是个相乘的相反数， 故选：D． 4．将按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数奇偶判断正负，正数最大；再比较负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：因为，，， 可得最大， 因为， 所以， 由于负数比较大小，绝对值大的数反而小， 所以，即 综上可得， 故B选项符合题意． 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：，故此选项错误； B：，故此选项错误； C：，故此选项正确； D：，故此选项错误． 6．下列选项中，结果小于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先排除非负及等于的选项，再通过比较负数的绝对值与1的大小判断． 【详解】解：A选项：， 不小于． B选项：为正数， 大于． C选项：， ． D选项：， ， ． 故答案为D． 7．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 8．已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴确定的取值范围取一个值，分别代入代数式求值，再进行比较即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 则，即结果最大的是． 二、填空题 9．计算：________． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘法，利用负数奇次幂的性质计算． 【详解】解：∵是奇数， ∴， ∵， ∴原式 ． 10．若与互为相反数，则_________． 【答案】 【分析】根据相反数定义得到两个式子的和为，利用绝对值和平方的非负性求出和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：与互为相反数， ， 绝对值和平方数都具有非负性，即，， 且， 解得，， ． 11．在，，，，中，结果是非正数的有________个． 【答案】 【分析】逐个计算各算式的结果，根据非正数的定义统计符合要求的个数即可． 【详解】解：，结果为正数，不属于非正数； ，结果小于，属于非正数； ，结果大于，不属于非正数； ，结果小于，属于非正数； ，属于非正数， 统计可得，结果是非正数的共有个． 12．按规律写数：，，，，，…，第个数为________． 【答案】 【分析】把各数的符号和绝对值分开寻找规律，再代入序号计算结果即可． 【详解】解：观察给出的数列可知，奇数项为正，偶数项为负；第个数的绝对值为； ∴第个数可表示为； ∴将代入式子为． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 正；负；平方；平方 (2) (3) 存在，， 【分析】 （1）根据题干信息进行总结； （2）按照题干的运算法则，先计算的结果，结果为4，再根据同样的运算法则计算即可； （3）两个数的平方和为0，则这两个数都为0，即可计算出m，n的值． 【详解】（1） 解：略 （2） ； （3） 存在有理数m，n，使得； ； ， ，； 解得：，． 15．阅读材料回答问题： 材料一：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如： ，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般把记作，读作“a的圈n次方”． 材料二：求的值，设，将等式两边同时乘2得：，利用第二个式子减去第一个式子可以得到，即，即． (1)【问题解决】直接写出计算结果：____________； (2)【类比探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：____________； ____________．（且为正整数）； (3)【实践应用】求的值．（其中） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意理解“的圈次方”的定义，即可求出的值． （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果，注意最后一个式子，结果第一个数不变为，第二个数及后面的数变为，再计算即可． （3）按照材料一的方法将原式转化为，利用材料二的方法设，两边同时乘以5即可得到新的式子，将两个式子相减即可求出答案． 【详解】（1）解：一般把记作，读作“的圈次方”， ． （2）解：① ② （3）解：由材料一的方法可知，， ，，， ， 根据材料二方法，可设①， ②， 得， ， ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $彭老师数学工作室 第二章：有理数的运算 2.3有理数的乘方 内容导航 思维导图 1 知识点一 有理数的乘方 2 【题型1 有理数幂的概念理解】 2 【题型2 有理数的乘方运算】 3 【题型3 乘方运算的符号规律】 3 【题型4 乘方的应用】 3 【题型5 含乘方的有理数混合运算】 4 知识点二 科学记数法 4 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 5 【题型7 将用科学记数法表示的数变回原数】 5 知识点三 近似数 5 【题型8 求一个数的近似数】 6 【题型9 求近似数的精确值】 6 【题型10 近似数推断取值范围】 6 能力提升 7 课后检测 9 思维导图 知识点一 有理数的乘方 1.乘方：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 2.表达式：（n为正整数），读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 例：（1）表示 底数为：3，指数为5； （2）表示； 底数为：3，指数为5，表示的相反数； （3）表示． 底数为：-3，指数为5； 【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，． 3．含乘方有理数运算法则： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 4．“奇负偶正”运算技巧： （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 例： ； 【题型1 有理数幂的概念理解】 1．（25-26七上·江苏苏州·期中考试）表示的意义是（     ） A．与相乘 B．个相乘 C．个相乘的相反数 D．个相乘的相反数 2．（25-26七上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 3．（25-26七上·湖南·阶段练习）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【题型2 有理数的乘方运算】 1．（25-26七上·甘肃嘉峪关·入学检测）下列各式中，不相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26七上·天津·阶段练习）七年级数学上学期）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七上·江苏扬州·开学测试）在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型3 乘方运算的符号规律】 1．（25-26七上·山东烟台·期中考试）2025-2026学年九年级下学期期中数学试题）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26七上·湖南娄底·综合练习）若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 3．（25-26七上·上海·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【题型4 乘方的应用】 1．（26-27七上·安徽六安·学情检测）一根2米长的竹条，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹条长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26七上·江苏无锡·学情检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 3．（25-26七上·黑龙江大庆·阶段练习）一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 【题型5 含乘方的有理数混合运算】 1．（25-26七上·云南·阶段练习）七年级数学上学期）根据下列运算程序，若输入，则输出的结果为（     ） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26七上·河南光山·素质检测）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七上·安徽六安·学情检测）计算： (1) (2) 知识点二 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n为正整数），叫做科学记数法。 2.确定a和n的方法： a：原数的整数部分从左边起，只保留一位非零数字，其余位变为小数部分（即小数点移到第一个非零数字后面）。 n：等于原数的整数位数减1。 例：5670000=5.67×（整数部分7位，n = 7-1 = 6） 3.原数还原：将还原为原数，只需把a的小数点向右移动n位，位数不足补0。 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（25-26七上·福建福州·学情检测）国家统计局发布数据显示，2024年我国出生人口约9540000人，数据“9540000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七上·贵州·联合教研）据统计，2026年贵州省高考报名总人数为42.2万人．数据42.2万用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 3．（2026年·山东济南·中考真题）在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【题型7 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2026年·河省周口·中考预测）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 2．（2026年·福建厦门·中考三模）2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 3．（2026年·山西朔州·中考三模）中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 知识点三 近似数 1. 近似数：与准确数相近、通过四舍五入得到的数，用于简化数值表达。 2. 精确度：表示近似数的近似程度，常见表述：精确到个位、十分位、百分位，或精确到万位、亿位等。 3. 四舍五入规则：看精确位的下一位数字，大于等于5进1，小于5舍去。 例：3.14159精确到百分位（即小数点后两位）→ 看千分位（第三位）是1，舍去 → 3.14 3.14159精确到千分位（即小数点后三位）→ 看万分位（第四位）是5，入1 → 3.142 4.保留几个有效数字（从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字）。 例：科学记数法中，有效数字只数 a 部分。 0.060070有 4 个有效数字（6、0、0、7、0），注意中间和末尾的0都要算。 【题型8 求一个数的近似数】 1．（25-26九下·吉林长春·阶段练习）用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九下·湖北孝感·期末考试）用四舍五入对取近似数，精确到得到的正确结果是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九下·山东泰安·期末考试）把20198四舍五入，使其精确到千位，所得的近似数是（    ） A． B． C． D． 【题型9 求近似数的精确值】 1．（25-26七上·安徽安庆·期末考试）精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七上·云南宣威·期末考试）2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 3．（25-26七上·云南昆明·期末考试）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【题型10 近似数推断取值范围】 1．（25-26七上·贵州遵义·期末考试）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七上·江西吉安·期中考试）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七上·湖北襄阳·月考）近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 能力提升 一、单选题 1．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A． B． C．12 D．14 3．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 4．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 5．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 6．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 二、填空题 9．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 10．八进制数换算成十进制数是，则十进制数2025换算成八进制为_________．（八进制逢八进一） 11．二维码（如图①）在日常生活中应用越来越广泛，它巧妙利用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．某校利用二维码设立了一个学生身份识别系统，图②是某个学生的二维码简易编码，其中第一行代表的二进制数是1000，转换成十进制数为：，代表该生为8年级学生．第二行转换成班级序号，第三行、第四行分别转换成该生班内学号的十位数字与个位数字，则该生的班内学号为__________． 12．定义运算，则_______． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 14．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 15．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 课后检测 一、单选题 1．年上半年重庆经济运行呈现结构向优的态势，全市地区生产总值达到亿元．数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（     ） A．近似数和近似数的精确度一样 B．用四舍五入法对取近似数，精确到个位是 C．用四舍五入法对取近似数，精确到千位是 D．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 3．表示的意义是（     ） A．与相乘 B．个相乘 C．个相乘的相反数 D．个相乘的相反数 4．将按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．下列选项中，结果小于的是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 8．已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算：________． 10．若与互为相反数，则_________． 11．在，，，，中，结果是非正数的有________个． 12．按规律写数：，，，，，…，第个数为________． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)． 14．探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 15．阅读材料回答问题： 材料一：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如： ，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般把记作，读作“a的圈n次方”． 材料二：求的值，设，将等式两边同时乘2得：，利用第二个式子减去第一个式子可以得到，即，即． (1)【问题解决】直接写出计算结果：____________； (2)【类比探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：____________； ____________．（且为正整数）； (3)【实践应用】求的值．（其中） 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $