精品解析：重庆市第七中学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

高2026届高三上期 2025-2026学年度 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，所以， ， 所以 . 2. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，平方即可得出的值. 【详解】由题意，， ∴， 解得：． 故选：A. 4. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数． ，则在上单调递增， 由0，可得，即． 因为在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出，再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：C 7. 已知点在函数（且，）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴.若在区间内单调，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性与单调性约束的范围，然后进行验证即可得到结果. 【详解】由题意得，，得，得， 又因为在区间内单调， 所以，得，得.所以. 又因为，所以或3. 当时，，得，又， 所以，此时直线的函数的图象的一条对称轴， 且在区间内单调.所以. 当时，，得，又，所以， 此时， 所以直线不是函数的图象的一条对称轴. 所以，. 故选：A 8. 在中，已知为线段上的点，且，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为P为线段上的点，所以A、B、P三点共线，根据向量共线定理可知，根据题中三角函数关系解出三角形三边长，最后利用基本不等式即可求解的最小值. 【详解】， 解得 .解得. 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 二、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列命题中，真命题是（   ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】BD 【解析】 【分析】分别利用不等式性质、特称命题否定规则、充分必要条件定义、扇形面积与弧长公式逐一判断四个命题真假，筛选出真命题． 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”，B正确； 对于C：当，此时，则充分性成立， 若，则，则必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，C错误； 对于D，设扇形半径为， 由圆心角为的扇形的面积为，得，解得， 所以扇形的弧长为，D正确． 10. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有周长为的满足．判定下列命题错误的是（ ） A. 的面积为 B. 在中角 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得的三边边长，利用题中公式求解可判断A；利用余弦定理可判断B；由正弦定理求解可判断C；利用三角形面积求解可判断D． 【详解】由题意结合正弦定理可得：， 设， 周长为，即， ，，，. 由题中公式得，故A正确； 由余弦定理得：， 而，则，故B错误； 设的外接圆半径为，由正弦定理得，解得，故C错误； 设的内切圆半径为r，则的面积，解得，故D错误. 故选：BCD. 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，在上单调递减且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得函数周期，据此可判断选项正误；对于B，由题可得或，，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后结合函数的最小正周期，可得，可判断选项正误；对于D，由在单调递减且，可得不等式，然后由t的存在性结合可判断选项正误. 【详解】对于A，如图，过B点作x轴垂线，垂足为C，因， 则，设函数最小正周期为，所以，故， 又，则，解得，故A正确； 对于B，因，则，又由图可得，且点在减区间图象上， 所以，因，则， 则，令， 则，或，， 则，或，， 则当时，，故B正确； 对于C，由B分析，， ， ， ， 则， 又由A可知函数最小正周期为，而， 则， 故C错误； 对于D，由B分析，，因， 则，又在单调递减且， 则，则， 因存在，则. 则，的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 三、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面向量，若，则实数______________. 【答案】7 【解析】 【分析】先根据平面向量的减法得出，最后应用平面向量垂直的坐标公式计算求解. 【详解】因为平面向量， 所以，又因为， 所以， 则实数. 故答案为：7. 13. 函数（且），若，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由题化简计算可得出，则可得. 【详解】， ， ， . 故答案为：4. 【点睛】关键点睛：本题考查函数值的有关计算，解题的关键是化简计算得出. 14. 已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求单调区间和极值，作出函数图像，由零点个数，结合二次函数的性质，转化为的取值范围问题，通过构造函数，列不等式求解. 【详解】当且时，，， 当且时，；当时，． 故在，上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 时，；时， 由解析式可知，为奇函数．画出图象大致如下： 令得，设， 得关于的方程（*） 恒成立，设（*）式有两个不等实根，， 当，时，即，满足题意， 当或，满足题意， 方法一： 令，则或， 故或， 综上，实数的取值范围是． 方法二： （*）式化为，令， 易知在，上单调递增， 且，，， 其图象大致如图： 当或时，满足或， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.通过构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 四、 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为．（2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，分别求出、的解集，确定函数的单调区间后根据极值的概念即可得解； （2）转化条件得在上恒成立，根据二次函数的性质，分别讨论、时的值即可得解. 【详解】（1）当时，,则， 由，得或；时，得， 所以函数的增区间为和，减区间为 所以的极大值为，极小值为． （2）， 在区间上单调递增，即为在上恒成立， ①当时，，当时，； ②当时，由，可得或， 这与矛盾，不可取． 综合①②可知，的取值范围是． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，考查了导数和函数单调性的关系，属于基础题. 16. 已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，由函数的最小正周期为，求出的值，再由正弦函数的性质求解即可； （2）由图象的伸缩和平移变换可得，再利用换元法及数形结合思想求解即可. 【小问1详解】 ， ， ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以． 令．则， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 由（1）知， 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍， 得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象． 令，，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象（如图）可得，或， 所以的取值范围是. 17. 2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 保有量 0.12 0.50 1.09 1.60 2.61 3.81 4.92 7.84 13.10 20.41 并计算得:. （1）根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)； （2）现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率； （3）某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望. 附:相关系数：. 【答案】（1）0.89 （2）0.7 （3） 0 1 2 3 ，1 【解析】 【分析】（1）直接根据公式计算即可； （2）利用全概率公式即可求解； （3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为，分别计算出其概率，然后列出分布列，由公式算出数学期望. 【小问1详解】 由， 则. 【小问2详解】 设“第1辆购买新能源汽车”，“第1辆购买非新能源汽车”， “第2辆购买新能源汽车”， ， 由全概率公式得，， 所以苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为. 【小问3详解】 设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为， ， ， 则被选到新能源汽车车主的分布列为， 0 1 2 3 所以. 18. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值； （3）点是边上一点，且满足，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和与三角恒等变换，消元得，求出； （2）由面积公式和余弦定理建立等式，再用均值不等式求最小值，得面积最小值； （3）利用正弦定理，结合得，代入解三角方程得比值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得：， 而，则， 所以， 由于在中，， 所以，化简得：， 由于，则不为0，则 由于，所以. 【小问2详解】 由（1）及已知，得， 即，因此， 即； 于是，当且仅当时取等； 所以面积的最小值为. 【小问3详解】 由于，则， 在中，由正弦定理可得： 在中，由正弦定理可得： 所以，由于满足， 所以， 由于在中，， 所以，即， 所以，所以， 由于，则， 所以或，解得或， 当时，，所以， 当时，，不满足. 综上，. 19. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】（1）在上的最小值为，最大值为 （2） 法一：若， 令， 则， 令，则， 令，则， 则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 所以当时，，即. 法二：若， 故在上单调递增，所以当时，，即. 令， 则， 故在上单调递增，所以， 即当时，，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析的单调性从而得到给定区间上的最值. （2）法一：构造函数，通过依次求导分析得到在上单调递增，从而，即可证明结果； 法二：对求导得到在上单调递增，从而当时，，构造函数，求导并利用求出在上单调递增，所以，即可证明结果. （3）分和进行讨论，当时，设，得到在上恒成立，从而当时，；当时，.对求导并分析单调性可得是函数的极小值点.当时，设，可得存在，使得，从而时，，，对求导可得在上单调递减，从而不是函数的极小值点，最终可得的范围. 【小问1详解】 若， 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 而， 故在上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意得，，. 当时，不妨设， 因为，故在上恒成立，单调递增. 又，所以当时，； 当时，. 又，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 故是函数的极小值点. 当时，不妨设，故存在，使得， 且当时，，故在上单调递减， 故当时，， 故在上单调递减，故不是函数的极小值点. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高三上期 2025-2026学年度 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在函数（且，）的图象上，直线是函数的图象的一条对称轴.若在区间内单调，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知为线段上的点，且，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 二、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列命题中，真命题是（   ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 10. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有周长为的满足．判定下列命题错误的是（ ） A. 的面积为 B. 在中角 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，在上单调递减且，则的最大值为 三、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面向量，若，则实数______________. 13. 函数（且），若，则_____． 14. 已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是_________． 四、 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 16. 已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 17. 2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 保有量 0.12 0.50 1.09 1.60 2.61 3.81 4.92 7.84 13.10 20.41 并计算得:. （1）根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)； （2）现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率； （3）某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望. 附:相关系数：. 18. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值； （3）点是边上一点，且满足，求的值. 19. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $