精品解析：重庆市第一中学校2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

重庆一中高2027届高三9月月考 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 为了得到的图象，可以将函数 的图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 C. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 3. 已知函数，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在其定义域的子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70百分位数是7 B. 数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数为17，方差为18 C. 已知关于的经验回归方程为 ，则样本点的残差为0.25 D. 用模型拟合一组数据 ，其中 ，设，变换后的经验回归方程为 ，则 10. 锐角中内角的对边分别为，外接圆半径为，点是边的中点，若 ，且 ，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 的取值范围为 11. 函数与被称为“孪生函数”，二者性质高度关联.下列选项正确的是（ ） A. B. 若且，则必有 C. 若有两个不等实数根，则的取值范围为 D. 若直线与函数交于点，与函数交于点，，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 中，，则最大角和最小角的和为_____. 13. 已知等比数列的各项均为正数，是函数 的两个极值点，则 _____. 14. 盒子中装有编号依次为1，2，3，4，5的5个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸）次，每次摸出1个小球，记这次摸出的小球中最大编号为，若的期望，则的最小值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）设的最小正周期为，当时，求的值域. 16. 三名同学相约周末一起去爬山，有歌乐山和平顶山可供选择.大家商量后决定用抛硬币的方式来选择，每人抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则选择歌乐山，若反面向上，则选择平顶山. （1）这三名同学中，选择歌乐山的人数为，求的数学期望； （2）记事件：“这三名同学中有人选择歌乐山”，事件：“这三名同学中有人选择平顶山”，求条件概率. 17. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）对任意均有 成立，求实数的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的方程为. （1）求抛物线的焦点坐标； （2）设直线和抛物线交于两点（其中异于原点），且， （i）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求的最小值. 19. 设函数. （1）求的极大值； （2）设，实数满足，且，证明：； （3）设，若在上的最小值为3，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2027届高三9月月考 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 2. 为了得到的图象，可以将函数 的图象上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 C. 每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】C 【解析】 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再向右平移个单位，可得函数的图象. 3. 已知函数，若正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先研究函数的性质得到，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题设知定义域为，定义域关于原点对称， ，即， 又，则，即， 根据指数函数及复合函数的单调性，知在上单调递增， 故，即，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 4. 若函数在其定义域的子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接求出的极值，结合条件建立不等式组，即可求解. 【详解】易知的定义域为，， 当时，，当时，，， 所以的极小值点为，无极大值点， 由题有，得到， 所以实数的取值范围为. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】凑角后利用诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】. 6. 已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，利用导数的运算法则及导数研究单调性，结合奇偶性解不等式，即可得. 【详解】令，则，结合题设， 当时，，即在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数， 则， 所以在上为偶函数，且，则在上单调递增， 由，即，即， 故， 综上，不等式的解集为. 7. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线定义表示出，结合等腰三角形性质求出，然后利用圆的几何性质及余弦定理建立等式，又利用三点共线，建立等式，联立求解得出离心率. 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设， 则，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点， 所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为， 即， 因为点在以为直径的圆上， 所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得， ， 因为三点共线， 所以，即， 所以， 化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以， 将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 8. 已知函数，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最小值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值， 所以， 由，得， 所以， 令，则. 由在区间上有且只有一个使，所以， 所以， 所以，解得，又，， 若，则，此时取，可使成立， 当时，，其中或时，，不合题意，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，当且仅当时，，所以满足题意. 故的最大值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是（ ） A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70百分位数是7 B. 数据的平均数为4，方差为2，则数据的平均数为17，方差为18 C. 已知关于的经验回归方程为 ，则样本点的残差为0.25 D. 用模型拟合一组数据 ，其中 ，设，变换后的经验回归方程为 ，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为，故第百分位数为，故A错误； 对于B，根据平均数的性质可得的平均数为， 根据方差的性质可得的方差为，故B正确； 对于C，当时，预测值为，残差为，故C错误； 对于D，因为 ，故，故， 则，即，故.故D正确. 10. 锐角中内角的对边分别为，外接圆半径为，点是边的中点，若 ，且 ，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】边角互化用余弦定理求角B，再结合向量中线公式进行转化，注意锐角三角形限制角的大小，利用正弦定理求相关范围. 【详解】根据题意结合正弦定理角化边可知：，即， 由余弦定理可得，所以，选项A正确； 由正弦定理可得，所以，选项C错误； ，由，即，所以，所以，当且仅当时取等， 所以，选项B正确； 因为点是边的中点，所以，即 ，将代入得， 锐角三角形，三个角全小于，，故，， 所以，由正弦定理得，， 所以，， 所以，代入，的取值范围为，选项D正确. 11. 函数与被称为“孪生函数”，二者性质高度关联.下列选项正确的是（ ） A. B. 若且，则必有 C. 若有两个不等实数根，则的取值范围为 D. 若直线与函数交于点，与函数交于点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合对数运算并利用函数的单调性比较大小；对于B，利用孪生函数同构，即，实现两个函数等式互相转换；对于C，结合换元法及对勾函数，分类讨论研究复合方程根的个数；对于D，利用孪生函数同构，即，再结合对数的运算进行等式的证明. 【详解】函数的定义域为， ，令，解得， 在上，函数单调递增，在上，函数单调递减， 所以函数的最大值为，且当时，， 当时，，时，. 函数的定义域为，，令，解得， 在上，函数单调递增， 在上，函数单调递减，所以函数的最大值为； 且当时，，时，，时，. 又，； 对于选项，，；， 因为，所以，即，所以. 对于选项，因为，所以， 当时，取，此时成立，但， 故不成立，故B错误. 对于选项，，令，则， 因为有两个不同的实数根，且的值域为， 故必有两个实数解， 其中或或，， 因为，故，不成立， 所以或，故或. 对于选项，由的单调性性可得直线与函数仅交于点， 所以，即，两边取对数得， ，即，， 同理，直线与函数仅交于点，， 所以，即，； 因为点既在上，又在上，所以， 即，，两边取对数得， 而即为， 结合得， 因为，所以， 两边取对数得，代入， 可得，整理可得. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 中，，则最大角和最小角的和为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据大边对大角找出最大角和最小角后用余弦定理求解. 【详解】因为，所以最大角和最小角分别为和， ，又，所以， 又，所以. 13. 已知等比数列的各项均为正数，是函数 的两个极值点，则 _____. 【答案】2025 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义，结合等比数列下标的性质、对数的运算性质进行求解即可. 【详解】， 设为函数的极值点， 则为方程的两个根， 所以， 故，故， . 14. 盒子中装有编号依次为1，2，3，4，5的5个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸）次，每次摸出1个小球，记这次摸出的小球中最大编号为，若的期望，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，求出时的概率，再利用期望的定义列出关系式并建立不等式，最后利用函数的单调性求出最小值. 【详解】由题可知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5， ， 其中1，2，3，4，5，则 化简得， ， 令，则， 因为，所以，即 因为随的增大而减小，所以， 当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立， 综上所述，的最小值为3. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）设的最小正周期为，当时，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数有界性运算求解； 【小问1详解】 由题意可知：， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以函数的最小正周期， 因为，则， 可得，即， 所以函数的值域为. 16. 三名同学相约周末一起去爬山，有歌乐山和平顶山可供选择.大家商量后决定用抛硬币的方式来选择，每人抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则选择歌乐山，若反面向上，则选择平顶山. （1）这三名同学中，选择歌乐山的人数为，求的数学期望； （2）记事件：“这三名同学中有人选择歌乐山”，事件：“这三名同学中有人选择平顶山”，求条件概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由于硬币质地均匀，所以正面向上的概率，即每名同学选择歌乐山的概率均为， 可知三名同学中，选择歌乐山的人数为X服从二项分布， 所以X的数学期望. 【小问2详解】 因为，则， 且， 所以. 17. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）对任意均有 成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，利用点斜式求出即可. （2）先讨论当时不等式成立，再讨论当时，将化简为，令，通过导函数的相关知识判断的单调性并求出其最小值，再结合不等式恒成立问题求出的取值范围. 【小问1详解】 求导得，所以切线斜率， 由点斜式可知切线方程为，即. 【小问2详解】 由已知在上恒成立， 当时，恒成立； 则当时，不等式可化为， 记，则只需， 求导得. 记在时恒成立，则在单调递增； 所以，即， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，故a的取值范围为. 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的方程为. （1）求抛物线的焦点坐标； （2）设直线和抛物线交于两点（其中异于原点），且， （i）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）当直线l斜率不存在时，它和抛物线的图象只有一个交点，不符合题意； 所以直线l斜率存在，设其方程为，设，， 由可得（*）， 由韦达定理得：，，且， 由， 整理得：， 代入韦达定理得：， 因为A，B异于原点O，所以，所以， 此时（*）的判别式恒成立， 所以直线l的方程为，过定点. （ii） 【解析】 【分析】（1）先配方，再根据的焦点坐标可求题设中抛物线的焦点坐标； （2）（ⅰ）设其方程为，设，，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理化简可得定点；（ⅱ）结合（ⅰ）定点可求O到AB的距离的最大值，从而可求的最小值. 【小问1详解】 配方得，由于的焦点坐标为， 将的图象右移一个单位，再下移一个单位可得的图象， 所以的焦点坐标为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由已知，故为直角三角形，设O到AB的距离为h， 则， 注意到：， 所以当h取得最大值时取得最小值. 由（ⅰ）可知AB过定点，所以， 取等条件：当时，因，则，， 此时（*）式子的，故可取等号，所以的最小值为. 19. 设函数. （1）求的极大值； （2）设，实数满足，且，证明：； （3）设，若在上的最小值为3，求实数的值. 【答案】（1）0 （2），即， 因为，所以， 因式分解并约掉得：， 变形得，设，则， 由均值不等式可知，由于，故，即 所以，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后利用导数求得单调性，即可求出极大值； （2）首先将代入解析式化简出，利用换元法及均值不等式即可证出； （3）首先写出的解析式并求导，构造函数判断导数符号，利用最小值为3求值即可. 【小问1详解】 . 当时， 当，，为减函数； 当，，为增函数； 故的增区间为，减区间为， 故的极大值为； 当时， 当，，为增函数； 当，，为减函数； 当，，为增函数； 故的增区间为，，的减区间为， 此时的极大值为； 当时， 当，，为减函数； 当，，为增函数； 当，，为减函数； 的增区间为，的减区间为，， 此时的极大值为. 综上，的极大值为0. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由已知，其中， 故在上的最小值为3，等价于在上的最大值为. 求导：，记， 当时与同号，，设，， ①若，则单调递增单调递增， 此时在单调递增； ②若，则单调递减，注意到，， 所以先正后负，故先增后减，注意到，， 所以在时存在唯一的零点，注意到，所以， 所以当时且不恒为零，单调递增； 当时且不恒为零，单调递减； 综合①②可知，当时单调递增；当时单调递减， 所以在上的最大值为； ③若，则， 综合①②③可知，在上的最大值为，所以， 故实数a的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $