1.3 公式法用 完全平方公式进行因式分解 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

1.3 公式法 用完全平方公式进行因式分解 湘教版·八年级数学上册 第1章 因式分解 1 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ a a b b a b a b ab a² b² ab 学生活动 【一起探究】 探究新知 同学们拼出图形为： 这个大正方形的面积可以怎么求？ (a+b)2 a2+2ab+b2 = a b a b a² ab ab b² 探究新知 请说出完全平方公式. 完全平方公式1： ， 完全平方公式2： . (x＋y)² = x²＋2xy＋y² (x－y)² = x²－2xy＋y² 在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²＋4x＋4 因式分解： x²＋4x＋4 = . (x＋2)² = . (x＋2)² x²＋4x＋4 探索新知 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. ①共有几项？ ②这三项有什么特点？ 三项 有两项是两数的平方和，一项为这两数乘积的2倍. 2 x y + y2 ± = (x ± y)² x2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 例5 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解. 分析 9x2 = (3x)2， 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 典例精析 1 = 1²， 2·3x·1 = 6x， 因此 9x2－6x＋1是完全平方公式2的右边. x²－2· x· y＋y² 把下列多项式因式分解： (1) x2+14x+49； 解：原式=x2+2·x·7+72 =(x+7)2 (2) 25x2+20xy+4y2； 解:原式=(5x)2+2·5x·2y+(2y)2 =(5x+2y)2 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x²－12xy＋9y²) ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²] ＝－(2x－3y)². 分析 (1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 －(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解. (2) x5＋2x3y＋xy2. 分析 (2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； (2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x²y＋y²) ＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²] ＝x(x²＋y)². 例7 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x²)²－2·x²·1＋1² ＝(x²－1)² ＝[(x＋1)(x－1)]² ＝(x＋1)²(x－1)². 因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. 归纳 1)利用完全平方公式因式分解的关键是识别完全平方式； 先找某两数平方和 再验证两数积的2倍 利用完全平方公式 分解因式 2)因式分解的步骤： 一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)； 二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解； 三查：检查每个因式是否被分解彻底． 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体. 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由. （1）x2－12xy+36y2； 解：(1)能.可以看作x与6y的差的完全平方. 原式= x2－2 · x · 6y + (6y)2 =(x－6y)2 （2）x2－10xy－25； (2)不能.－25无法看作是一个数的平方。 2.把下列多项式因式分解： （1）－x2+14xy－49y2 ； （2）3x4+6x3y+3x2y2. 解：原式=3x2(x2+2·x·y+y2) =3x2(x+y)2 解:原式=－(x2－14xy+49y2) =－[x2－2·x·7y+(7y)2] =－(x－7y)2 课堂小结 利用完全平方公式因式分解 公式 x2±2xy＋y2 = (x±y)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 必做题：把下列多项式因式分解： (1) x2+14x+49;(2) 25x2+20xy+4y2； (3)－x2+14xy－49y2 ;(4) x4－2x3+x2. 提升题:1.(1) 已知a－b＝3，求 a(a－2b)+b2的值； (2) 已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值. 2.已知 x2－4x+y2－10y+29＝0，求 x2y2+2xy+1 的值. 拓展题:当a取什么值时，多项式9x2+ax+16能利用完全平方公式进行因式分解？ 课后作业 《提公因式法(第二课时)》教学阐述 目录 Contents 一 二 三 四 五 六 说教材 说学情 说教学目标 说重难点 说教法、学法 说教学过程 七 板书设计 八 评价设计 九 说教学反思 一、说教材 1.3.1 公式法——完全平方公式》是湘教版版八年级上册第1章《因式分解》的第三节第二课时的内容，是学习平方差公式因式分解的基础上进一步学习因式分解，运用完全平方公式因式分解不仅是现阶段的学习重点，也为以后学习分式的通分和约分, 二次根式的计算与化简，以及解方程都奠定了基础. 教材所处的地位和作用 声 明 本文件仅用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本司及相关权利人的合法权利。 除此以外，将本文件任何内容用于其他用途时，应获得授权，如发现未经授权用于商业或盈利用途将追究侵权者的法律责任。 武汉天成贵龙文化传播有限公司 湖北山河律师事务所 新课改下的八年级学生 二、说学情 学生在学习本节内容之前，已经掌握了因式分解的基本概念、提公因式法以及平方差公式，对因式分解的基本步骤有一定的了解。然而，完全平方公式作为一种新的因式分解方法，学生可能会在以下方面遇到困难：一是对完全平方公式的结构特征理解不够深刻，无法准确识别哪些多项式可以使用完全平方公式进行因式分解；二是对公式中的字母x和y的含义理解不够透彻，容易在实际应用中混淆；三是部分学生可能对公式的推导过程缺乏兴趣，导致对公式记忆不牢固。此外，完全平方公式的形式相对复杂，学生在实际应用中容易出现符号错误或因式不完整的情况。因此，教师需要通过具体的实例和练习，引导学生逐步理解完全平方公式的结构特征和应用方法，帮助他们克服学习中的困难。 核心素养目标 三、说教学目标 1.会用完全平方公式对多项式进行因式分解 2.经历探索运用完全平方公式分解因式的过程，体会逆向思维的作用，渗透化归思想 3.培养学生的逆向思维能力 四、说重、难点 重点 Z 难点 N 识别一个多项式是否适合完全平方公式 用完全平方公式分解因式 根据本节课的教学目标、教学内容以及学生的认知特点，教学上采用以探究为主，通过实际问题加深数学与生活的联系。 五、说教法、学法 教法 五、说教法、学法 注重培养四种能力 让学生经历观察、计算、比较、探讨等过程，增加学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为学习的主体，进一步培养和提高他们各方面的能力。 动手实践 总结归纳 观察思考 合作探究 学法 六、说教学过程 通过实际情境，帮助学生更好地理解完全平方公式. 设计意图 六、说教学过程 通过问题，引导学生独立思考，引出新知识点. 设计意图 六、说教学过程 培养学生的观察能力，总结归纳能力.学习运用完全平方公式进行因式分解的条件——完全平方式的特点. 设计意图 六、说教学过程 通过例题，展示如何应用完全平方公式进行因式分解. 设计意图 六、说教学过程 帮助学生综合掌握提公因式法和运用完全平方公式因式分解，提高学生的计算能力. 设计意图 六、说教学过程 让学生用整体思维的方式解决问题. 设计意图 六、说教学过程 通过练习巩固本课所学，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 设计意图 课堂小结: 六、说教学过程 对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 设计意图 课堂板书 七、说板书设计 八、说评价设计 能力对标 目标对照 具体评价 评价星级 学习理解 完全平方公式 定义 ☆☆☆☆☆ 特征 ☆☆☆☆☆ 辨析 ☆☆☆☆☆ 实践应用 识别平方差公式的结构特征 步骤 ☆☆☆☆☆ 正确率 ☆☆☆☆☆ 规范度 ☆☆☆☆☆ 实践应用 利用完全平方公式进行因式分解 基础题 ☆☆☆☆☆ 变式题 ☆☆☆☆☆ 综合题 ☆☆☆☆☆ 创新迁移 思维提升 本节课学习是否提升你的代数变形意识 ☆☆☆☆☆ 九、说教学反思 在练习中，部分学生仍然存在一些问题：一是对公式中字母x和y的含义理解不够透彻，导致在实际应用中混淆；二是对于一些需要先提取公因式再使用完全平方公式的情况，学生难以掌握正确的解题顺序；三是学生在因式分解过程中容易忽略中间项2xy的存在，导致因式分解错误。针对这些问题，我在后续教学中增加了更多的练习，特别是对于复杂多项式的因式分解，通过专项练习帮助学生逐步克服困难。同时，我还通过对比分析和总结，帮助学生理解完全平方公式与整式乘法的关系，进一步巩固他们的知识体系。通过本节课的学习，学生对完全平方公式有了更深入的理解，但在实际应用中仍然需要进一步巩固和练习，以提高他们的因式分解能力。 谢谢聆听 $