精品解析：广东省惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2026-2027学年高三第一学期第一次月考数学试卷

大亚湾一中2026一2027学年度第一学期第一次月考试 高三数学试卷 2026年08月 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的： 1. 设，复数为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数乘法法则展开给定的复数乘积，再根据实数的虚部为0列方程求解参数的值 【详解】 因为复数为实数，所以 2. 已知全集，且，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全集，而，则 因此，所以集合. 3. 已知向量，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，， 所以，所以，故充分性成立； 因为，所以，又，， 所以，所以， 解得，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（ ） A. 160片 B. 170片 C. 180片 D. 190片 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知这10排大理石片数构成等差数列，由等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列， 所以． 故选：B． 5. 已知是第三象限角，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据已知分别求出，即得的值. 详解：因为是第三象限角，且， 所以 所以=.故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查同角的三角函数关系及求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 同角的三大关系：商数关系 = tan,平方关系 . 6. 若直线是曲线的一条切线，则实数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数与曲线的切线的关系求解即可. 【详解】对求导，得 ， 设直线与曲线相切于点，那么，则 ，所以实数. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 8. 从1至13的整数中任取3个不同的数，则能被2整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意首先分析能被2整除时，的取值要求，再结合排列组合及古典概型可求解. 【详解】因为1至13的整数中有6个偶数，7个奇数， 若能被2整除，则只需能被2整除，的取值异于即可， 当都为奇数时，的取法有种； 当都为偶数时，的取法有种， 所以能被2整除的概率为. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于说法正确的是（ ） A. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 B. 某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布 C. 小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 D. 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，则事件A，独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1； 对于B：此人射击三次是三次独立重复试验，命中的次数服从二项分布； 对于C：由题意求得，，再由公式，可判断C； 对于D：根据事件独立性的定义可判断D. 【详解】对于A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，所以出现正面的次数是随机变量，故A正确； 对于B：某人射击时命中的概率为，此人射击三次是三次独立重复试验，命中的次数服从二项分布，而不是两点分布，故B不正确； 对于C：由题意得，， 所以，故C正确； 对于D：根据事件独立性的定义得出事件A、B是独立的，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知点均在抛物线上，是的焦点，则（ ） A. B. 直线轴 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用点求出，得到抛物线的方程，求出焦点坐标，得到直线轴，由点在抛物线上得到，利用抛物线的定义求出，由的范围得到的范围，从而得到的范围，继而求出，由得到，由得到，计算得到的范围，从而得到. 【详解】因为点在抛物线上， 所以， 解得，选项A正确. 则抛物线的标准方程为， 则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同， 因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确. 因为点在抛物线上，所以， 则， 因为，所以，则，即， 则， 因为，所以，选项C错误. 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 因为，所以， 则，即，选项D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 恰有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】函数的定义域为，关于原点对称，且函数为偶函数，对于函数求导可判断A项，由单调性及可判断B项，由偶函数及单调性可判断C，D项． 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 对于A项，当时，， 对其求导得，所以在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，因为在区间上单调递增，且， 根据偶函数的性质可知，，所以恰有两个零点，故B项正确； 对于C项，因为为偶函数，且在上单调递增， 所以等价于， 得，两边平方得， 而函数的定义域为，所以的解集为，故C项错误； 对于D项，因为，且为偶函数， 得，即， 因为， 所以， 又因为在区间上单调递增，所以，得， 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据的平均数为4，则的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据的平均数为4 ∴，即. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础． 13. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 14. 在四棱锥中，底面为矩形，面，的长为整数，、、的长为三个连续的奇数．则四棱锥的体积为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先设边长为，再根据垂直列式计算求解得出边长，最后应用棱锥体积公式计算求解. 【详解】不妨设，，，，，，为奇数， 因为平面，平面，所以，又因为底面为矩形，所以， 平面，所以平面，又因为，所以平面， 又因为平面，所以，所以， 则，是奇数，所以， 从而，， 故. 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点E，F分别为，的中点.求证： （1）； （2）平面. 【答案】（1）因为侧面是矩形，所以， 因为平面平面， 平面平面，在平面内， 所以平面， 因为在平面内，所以； （2）取的中点，连结，， 在△中，，分别是，的中点， 所以，且， 在矩形中，是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为在平面外，在平面内， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面.由此能证明； （2）取的中点，连结，.推导出四边形为平行四边形，.由此能证明平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题. 16. 中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理可得； （2）利用辅助角公式化简求出，然后利用正、余弦定理，结合三角形面积公式求解可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，由正弦定理得，解得. 【小问2详解】 因为，所以，即， 因为，所以，所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 17. 已知函数，. （1）若，求的单调性； （2）若存在两个极值点，求实数的范围. 【答案】（1） 在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性； （2）将存在两个极值点，转化成有两个变号零点，求得实数的范围. 【小问1详解】 若，则函数，定义域为. 恒成立， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 函数的定义域为. . 若存在两个极值点，有两个变号零点， 因为，所以方程有两个不等的正实数根，记为. 所以，解得. 故实数的范围是. 18. 已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. （1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求的数学期望. 【答案】（1）， （2）记 ，则  ， 由全概率公式得： ， ， ， 所以， ， 由 （1） 和（3）知 ，结合初始值 ， 可得对任意   有 ，代入 中， 得：， 将（4） 代入（2）式得：  ， 整理得， 即：，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）1 【解析】 【分析】（1）列出所有的取球情况，利用古典概型可得答案； （2）利用全概率公式，建立递推公式，然后利用等比数列的定义可证明； （3）利用期望的计算公式以及第（2）小问得到的，可得答案. 【小问1详解】 初始时甲、乙两盒均装有 1 个白球和 1 个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共有 4 种等可能情况： 甲取白、乙取白：交换后甲盒白球数为 1； 甲取白、乙取黑：交换后甲盒白球数为 0； 甲取黑、乙取白：交换后甲盒白球数为 2； 甲取黑、乙取黑：交换后甲盒白球数为 1。 故 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知：的取值为：， 分布列为： 0 1 2 ， 由 (2) 知 ， 因此. 19. 已知椭圆过点，右焦点为，且轴. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线过点且与椭圆交于、两点. （i）证明为定值，并求出此定值； （ii）对，直线的倾斜角为，记，数列满足，求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2）（i）证明：设直线的方程为． 联立，消去，得 由根与系数的关系得. 由椭圆的第二定义，椭圆的右准线为，离心率为． 所以. 所以. 故为定值，定值为． （ii）. 【解析】 【分析】（1）依靠轴直接确定焦点横坐标的值，结合椭圆、、的固有等量关系，再将已知点坐标代入椭圆标准式联立求解参数就能写出椭圆方程； （2）（i）先设出过定点的点斜式 ，和椭圆方程联立后得到韦达定理式，再利用椭圆第二定义得到的表达式，最后通分代入韦达定理式计算即可； （ii）利用焦半径公式和（i）中结论得，从而有，最后配对求和即可. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为. 由题意得，即，将点代入椭圆方程得：， 解得，. 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）略； （ii）当直线的倾斜角为时，由焦半径公式，(后续证明). 结合（i）得， 则，从而， 所以， 因为，且， 所以， 由配对求和可得， 因此. 补充说明焦半径公式： 设，在中，， 等式两边平方可得： ， 结合化简可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大亚湾一中2026一2027学年度第一学期第一次月考试 高三数学试卷 2026年08月 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的： 1. 设，复数为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，且，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（ ） A. 160片 B. 170片 C. 180片 D. 190片 5. 已知是第三象限角，且，则 A. B. C. D. 6. 若直线是曲线的一条切线，则实数（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（    ） A. B. C. D. 8. 从1至13的整数中任取3个不同的数，则能被2整除的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于说法正确的是（ ） A. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 B. 某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布 C. 小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 D. 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，则事件A，独立 10. 已知点均在抛物线上，是的焦点，则（ ） A. B. 直线轴 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 恰有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据的平均数为4，则的值是_____. 13. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 14. 在四棱锥中，底面为矩形，面，的长为整数，、、的长为三个连续的奇数．则四棱锥的体积为_____________________． 四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点E，F分别为，的中点.求证： （1）； （2）平面. 16. 中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 17. 已知函数，. （1）若，求的单调性； （2）若存在两个极值点，求实数的范围. 18. 已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. （1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求的数学期望. 19. 已知椭圆过点，右焦点为，且轴. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线过点且与椭圆交于、两点. （i）证明为定值，并求出此定值； （ii）对，直线的倾斜角为，记，数列满足，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $