广东省惠州市第一中学、深圳实验学校、东莞中学等三校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题

2025 届高三 ·九月 ·三校联考 数学科 试题参考答案 1．D 【详解】由题可知，，， 所以， 故选：D． 2．C 【详解】复数，对应点的坐标为，位于第三象限. 故选：C 3．A 【详解】因为， 所以当时，， 所以即， 当时，取，得不到， 所以是充分不必要条件， 故选:A. 4．A 【详解】易知函数的定义域为，故可排除C，D； 又，所以可排除B， 故选:A． 5．B 【详解】因为对数函数（且）是减函数，所以， 所以，，， 所以， 故选：B 6．D【详解】因为, 所以, 所以, 即, 所以, 所以. 故选：D. 7．D 令， 则，解得或. 当时，.由，得；由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，. ，当时，取最小值，最小值为， 故的大致图象如图所示.由图可知，有且仅有1个实根. 当时，恰有1个零点，故A错误； 由恰有2个零点，得恰有1个实根，且， 则或或，则B错误. 由恰有3个零点，得恰有2个实根，则或或，则错误； 当时，有3个实根，则恰有4个零点，故D正确； 8．C 【详解】由（），得， 若函数有两个不同的极值点，则方程有2个不相等的正实根， 所以，解得， 所以 ， 令（），则， 所以在上递增， 所以， 所以， 故选：C 9．BCD【详解】A选项，当时，函数的图象的对称轴为,A错误； B选项，为的最小值点，为的最大值点，则，即， 且，所以.B正确； C选项，当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，故C正确； D选项，∵，则， 若在区间上单调递增，则，解得，D正确； 故选：BCD. 10．ABC 【详解】对于A，由题意， 且，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得， 所以的图象关于点对称，且，故A正确； 对于B，由， 可得，， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，又因为，所以， 令，则有2， 令，则有， 令，则有， 所以， 所以，故C正确. 对于D，由①知，则，所以，故,故函数是周期为8的函数，而不是周期函数，D错误； 故选：ABC. 11．ABD 【详解】对于A，当 时， ，A正确； 对于B，设时，则,; 同理：当时，,B正确； 对于C，当 时，取 ，当 时， ，C错误；      当 时， 的图象如下：    直线 刚好经过第 n 个"山峰”的“山顶"， 它与前面 个"山峰"都有两个交点，与后面的“山峰"没有交点，共 个交点，D正确; 故选：ABD 12．12 【详解】因为定义域为，又， 所以为奇函数，有， 又，所以，即， 又因为为正数， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 13．2【详解】由题意得，． 14．【详解】令，则， 当时，恒成立，即在上单调递增， 显然当趋近于时，不等式并不恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以在处取得最小值， 即满足即可， 即， 由可得， 设，则， 令可得， 即时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 即，所以的最大值为. 15．【详解】（1）解法1：显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，…………………1分 由题意，…………………3分 …………………5分 ， 所以函数的图象关于点对称.…………………6分 解法2：由题意，令，…………………1分 显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，…………………2分 且，…………………4分 所以函数是奇函数，…………………5分 所以函数的图象关于点对称.…………………6分 （2）由复合函数单调性可知单调递增，…………………7分 由（1）知函数的图象关于点对称，故有，即…………………8分 ∴…………………10分 因为单调递增， 所以当且仅当，即，…………………11分 解得，所以实数的取值范围为.…………………13分 16．【详解】（1）由题意可得，所以由正弦定理得．…………………2分 即，…………………3分 在中，因为，，…………………4分 所以，因为，所以．…………………6分 （2）由(1)知，在中，由余弦定理得，…………………8分 所以①，…………………9分 在中，由余弦定理得②，…………………11分 由①②两式消去b，得，所以，…………………12分 又，解得，． …………………13分 所以的面积.…………………15分 17．【详解】（1）令关于的不等式，有．…………………1分 ①当时，解不等式，可得，…………………2分 此时函数的定义域为；…………………3分 ②当时，解不等式，可得，…………………4分 此时函数的定义域为；…………………5分 （2）当时，函数的定义域为，…………………6分 令， 有…………………7分 ，…………………8分 令，可得， 因为，所以，…………………9分 有，…………………11分 由，当且仅当时取等号，…………………13分 有，有，…………………14分 所以，故的最小值为．…………………15分 18.【详解】（1）当时，，， 切点为，切线斜率,…………………1分 故切线方程为,…………………2分 即切线方程为…………………3分 （2），…………………4分 当时，恒成立，所以在上单调递增；…………………5分 当时，令，得， 令，得，令，得或，…………………6分 所以在上单调递减，在，上单调递增.…………………7分 （3）由（2）知，有三个零点，则，且…………………9分 即，解得，…………………10分 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点，…………………11分 同理，， 所以在上有唯一一个零点，…………………12分 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为.…………………13分 由有三个不相等的零点，不妨设，其中，…………………14分 则.…………………15分 …………………16分 …………………17分 19．【详解】（1）函数与具有“伙伴”关系，理由如下：…………………1分 根据定义，若与具有“伙伴”关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得. ①设， ，在区间内存在零点，…………………3分 所以函数与具有“伙伴”关系；…………………4分 ②当时，，在上单调递增，…………………5分 由①知，在区间内存在唯一的零点，零点为点M和点N的横坐标， ∴，，…………………6分 于是有…………………7分 又由（1）知在上是递增的，故，…………………8分 所以，数列是递增数列。…………………9分 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内，故， 所以，数列是递增数列。 （2）因为和，由， 令，…………………10分 因为与在上具有“伙伴”关系，所以在上存在零点， 因为，…………………11分 当且时， 因为，，所以， 所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意；…………12分 当时，当时，，所以，…………………13分 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，， 故在上存在唯一零点，设为，使得，…………………14分 所以当，；当，；又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点，…………………15分 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点，…………………16分 所以函数与在上具有“伙伴”关系. 综上，的取值范围是.…………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三 ·九月·三校联考 数学科 试题 （满分 150 分。考试时间 120 分钟。） 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填 写在答题卡上。并用2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数（为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设a，，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的部分图象大致为（    ）        A. B. C. D. 5．已知对数函数（且）是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有4个零点 8．已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数的图象的一条对称轴为 B．已知，，且的最小值为，则 C．当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数 D．若在区间上单调递增，则的取值范围是 10．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D．存在函数,使得对，都有 11．已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足为常数，则下列叙述中正确的为（    ） A．当时， B．当时，的解析式为 C．当时，在上恒成立 D．当时，函数的图象与直线在上的交点个数为 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知函数，正数满足，则的最小值为 ． 13．药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低到一半所需时间．在特定剂量范围内，（单位，h）内药物在血液中浓度由（单位，）降低到（单位，），则药物的半衰期．已知某时刻测得药物甲、乙在血液中浓度分别为和，经过一段时间后再次测得两种药物在血液中浓度都为，设药物甲、乙的半衰期分别为，，则 ． 14．若a，b为正实数，且在上递增，则的最大值为______． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分) 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)证明：函数的图象关于点对称； (2)判断函数的单调性(不用证明)，若，求实数的取值范围． 16．(15分) 记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)设的中点为，若，且，求的面积． 17．(15分) 已知函数且． (1)求函数的定义域； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的最小值． 18．(17分) 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有三个不相等的零点，且在点处切线的斜率为，求的取值范围及的值. 19．(17分) 定义：如果函数与的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称，则称函数和具有“伙伴”关系. (1)设函数，， ①证明和在上具有“伙伴”关系； ②若和在上的关于x轴的对称点M和N的横坐标为，判断并证明数列的增减性. (2)若函数和在区间上具有“伙伴”关系，求m的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$