精品解析：广东省河源市龙川县第一中学2026-2027学年第一学期高三年级9月考试数学试卷

龙川一中2026-2027学年度第一学期高三年级9月考试 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则的真子集共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 11. 如图，点P在棱长为1的正方体的面对角线上运动（P点异于B，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线BD与所成角为 B. C. 若P是中点，三棱锥外接球体积为 D. 的最小值是 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，其中第13题第一个空给2分，第二个空给3分，共15分） 12. 设集合，，则_________ 13. 已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 14. 如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论： ①不存在点H，使得平面平面CEG； ②存在点H，使得平面CEG； ③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于； ④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为． 其中所有正确结论的序号是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 已知函数的图象过点. （1）求实数m的值，并判断的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 17. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形，其中，为圆柱的母线，点在底面圆周上，且过底面圆心，点D，E分别满足，过的平面与交于点，且. （1）当时，证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值. 19. 已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． （1）判断的奇偶性并证明； （2）求在区间的最小值； （3）解关于的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2026-2027学年度第一学期高三年级9月考试 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，，则的真子集共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，进而求，根据元素个数求真子集的个数. 【详解】因为集合， 且，则，即集合有2个元素， 所以集合的真子集共有个. 故选：A. 2. 已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】由题设有， 由得，故选A. 【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过验证定义域和对应法则，判断两个函数是否为同一函数. 【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数； ②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数； ③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数； ④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数； 所以是同一函数的是③④． 故选：C． 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 6. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 7. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按分类讨论，利用奇函数的性质以及指对运算法则解方程即可. 【详解】若，则 ，但 ，故 ； 若，则， 解得：， 但，与假设矛盾，故不成立； 若，则利用奇函数性质：， 由于，有，故， 因此：， 解得：. 综上：. 故选：A 8. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的判定与性质逐项判断；对不能推出的结论构造反例． 【详解】A：由 ，且 是两个不同的平面，得 ，A正确； B：由 ，得 ，又 ，则 ，B正确； C：设 ,在 内取过 的直线 ，由,得 ，但 ，不满足 ，C错误； D：因 ，设平面的交线为，满足,由 可得 ，不满足 ，D错误． 10. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，可得，判断A；得到的关系，可判断C；结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集，判断B；分析函数在上的单调性，可判断D. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得和是关于的方程的两个实数根，且， 所以，得. 所以A正确； 不等式等价于， 即， ， 解得或. 所以不等式的解集为或， 所以B不正确； 因为， 所以C正确； 函数， 因为， 所以函数在上单调递增. 所以D正确. 11. 如图，点P在棱长为1的正方体的面对角线上运动（P点异于B，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线BD与所成角为 B. C. 若P是中点，三棱锥外接球体积为 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】找到异面直线BD与所成角，并求解，可判断A；通过证明平面，可证得，判断B；求得三棱锥外接球体积，可判断C；将和沿展开到同一平面，根据两点之间线段距离最短可求得的最小值，判断D. 【详解】 对于A，因为平行且等于，所以四边形是平行四边形，所以∥. 所以为异面直线与所成角. 易知，，所以，即异面直线与所成角为.所以A正确. 对于B，正方形中，. 由平面，且平面，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 同理可证. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以.所以B正确. 对于C，P是中点，则是等腰直角三角形，其中是直角.所以外接圆的圆心在的中点，且半径为. 因为平面，所以三棱锥外接球的半径等于，所以其体积为，所以C正确. 对于D，如下图所示，将和沿展开到同一平面，根据两点之间线段距离最短可求得的最小值为展开图中的. 中，， 所以. 所以的最小值是.所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，其中第13题第一个空给2分，第二个空给3分，共15分） 12. 设集合，，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和指数不等式，得到集合 、，再求两集合的交集． 【详解】由 ，得 ，所以 ． 因为函数 在实数集上单调递增，且 ，所以 等价于 ，从而 ． 因此 ． 13. 已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由幂函数的定义和单调性即可求解；②根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】①因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得或， 当时，，在上是严格增函数，不符合题意，舍， 当时，，在上为严格减函数，符合题意，故； ②由幂函数在上是严格减函数可得，， 解得或，故解集为. 14. 如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论： ①不存在点H，使得平面平面CEG； ②存在点H，使得平面CEG； ③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于； ④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】将图形补全为一个正方体，以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误. 【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图所示： 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、，， 设点，其中， 对于①，，，设平面， 则，即， 取x=1，则，可得， 设平面，，， 则，即， 取，则，可得， 若平面平面CEG，则，解得：， 所以存在使得平面平面CEG，故①错误； 对于②，，若平面CEG， 则，即， 即，故，故存在点H，使得平面CEG，故②正确； 对于③，， 所以点H到平面CEG的距离为， ， 因为，所以，所以， ，所以， 所以不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于，故③正确； 对于④，，，则直线与平面CEG的所成角为， 所以， ，整理可得， 因为函数在时的图象是连续的， 且，， 所以，存在，使得， 所以，存在点，使得直线与平面CEG的所成角的余弦值为，④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（l为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 16. 已知函数的图象过点. （1）求实数m的值，并判断的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 【答案】（1）m＝1，奇函数 （2） 在上单调递增， 证明：，设， 则 又由，则，即； 所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数图象过点，可得关于m的解析式，求出m的值，判断函数的奇偶性可得答案； （2）根据题意，利用作差法分析可得结论． 【小问1详解】 根据题意，函数的图象过点， 则有，解可得， 则，其定义域为， 则有，函数为奇函数. 【小问2详解】 略 17. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求范围即可； （2）命题为真命题得到，然后分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况讨论. 【小问1详解】 为真命题时， 当时，，成立； 当时，，解得. 所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或. 【小问2详解】 若命题为真命题，则，所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或. 18. 如图，在圆柱中，一平面沿竖直方向截圆柱得到截面矩形，其中，为圆柱的母线，点在底面圆周上，且过底面圆心，点D，E分别满足，过的平面与交于点，且. （1）当时，证明：平面平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） 当时，得，又，，所以，， 平面，平面，平面， 同理得平面， 因为是平面内两条相交直线， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，得，，利用面面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面所成角的正弦值，即可解方程求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为圆柱的母线，所以垂直平面，又点C在底面圆周上，且过底面圆心O， 所以，所以两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，，， 因为，所以，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得，， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为， ，解得或， ，. 19. 已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． （1）判断的奇偶性并证明； （2）求在区间的最小值； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） 为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得所以对任意恒成立，所以为奇函数， （2） （3） 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 【解析】 【分析】(1)令,得，再令，结合奇偶性定义可证； (2)先证明单调性，利用单调性求解即可； (3)先化为，再利用单调性转化为，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取，且，则.因为当时，，所以. ，即，所以在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为，令得， 令，得， 在区间的最小值为， 【小问3详解】 由， 得， 由得， 由在上单调递增得整理得，即， 当时，，解得；当时，， 当时，，，解集为， 当时，， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第（3）问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $