精品解析：广西壮族自治区崇左市天等县向都镇初级中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

向都镇初级中学9月九上数学素养达标训练检测卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 已知是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 6 B. 10 C. D. 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的，，，那么其图象必过（ ） A. 第二、三、四象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二象限 D. 第一、二、三象限 7. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 该抛物线一定经过点 B. 该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C. 若点、在该抛物线上，则m的值为3 D. 当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 10. 已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 11. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 12. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共3题小题，每空3分，共12分） 13. 二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 14. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 15. 已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 16. 已知二次函数，当时，求函数的值． 17. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(﹣2，﹣5)，求此二次函数的解析式． 18. 如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米． （1）试用x的代数式表示菜园的面积y； （2）求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 20. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． （1）求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； （2）求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 21. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 22. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 向都镇初级中学9月九上数学素养达标训练检测卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 已知是二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 2. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 6 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 5. 若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 6. 二次函数的，，，那么其图象必过（ ） A. 第二、三、四象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二象限 D. 第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 7. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 8. 已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出反比例函数的比例系数，最后代入的值求解即可． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设反比例函数解析式为，即， 把，代入得， ∴反比例函数解析式为， 当 时，代入得， 解得． 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 该抛物线一定经过点 B. 该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C. 若点、在该抛物线上，则m的值为3 D. 当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【解析】 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 10. 已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 11. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 12. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象解不等式，把不等式整理，可得：，即，由函数图象可知当时，不等式成立． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 即， 由函数图象可知，当时， 二次函数的图象在一次函数的图象上边， 不等式的解集为． 故选：C． 二、填空题（本大题共3题小题，每空3分，共12分） 13. 二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 14. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的实数均可） 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象性质，当图象位于第一、三象限时，比例系数大于0，由此得到关于的不等式，求出的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ，解不等式得， 因此的取值可以是任意大于的数，可以取（答案不唯一，任意满足的实数均可）． 15. 已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）配方成顶点式求解即可； （2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时， ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为：； （2）∵抛物线 ∴对称轴为直线 当时，抛物线开口向上 ∴时，y随x的增大而增大 ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴； 当时，抛物线开口向下 ∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 16. 已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：将代入，得． 17. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(﹣2，﹣5)，求此二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设顶点式，然后把（﹣2，﹣5）代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把（﹣2，﹣5）代入得， 解得：a＝﹣1， 所以抛物线解析式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出解析式，从而代入数值求解． 18. 如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米． （1）试用x的代数式表示菜园的面积y； （2）求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】（1） （2）当时，菜园面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用． （1）确定长方形的另一条边长，根据长方形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意， 长方形的另一条边长为， ∴菜园的面积为， 即用x的代数式表示菜园的面积为； 【小问2详解】 解：， 根据题意得：， ∵， ∴当时，菜园面积最大，最大面积是． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求出，然后代入求解即可； （2）将代入求出，然后求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ． 20. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． （1）求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； （2）求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 【答案】（1）抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为 （2）抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确审清题意是解题的关键． （1）根据题意求最高点A到地面的距离，即求顶点的纵坐标； （2）根据题意可知，令即可求解． 【小问1详解】 解： 配方得， 顶点 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； 【小问2详解】 当时，， 解得，（不符合题意，故舍去）， ，即， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m． 21. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】（1）上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 （2）本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； 【小问2详解】 解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 22. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）S的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， ， ； 【小问2详解】 解：过点P作轴于点N，如图所示， 令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． 【小问3详解】 解：如图， ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $