第1章 1.4 1.4.2 充要条件-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“充要条件”核心知识点，承接充分条件与必要条件的学习，系统梳理充要条件的定义、四种条件类型（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）及本质应用，构建完整的逻辑关系知识支架。 资料以姚明“努力不一定成功，但放弃一定失败”的生活化情境引入，通过典型例题与变式训练，运用定义法、集合法等培养学生逻辑推理与数学抽象素养，课中助力教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1．4.2　充要条件 课程标准 素养解读 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识，提炼定义，感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养 [情境引入] 姚明大家都认识，他说过很多很经典的话，其中有一句给我留下了很深刻的印象，他说：“努力不一定成功，但放弃一定失败”． [问题]　话语中有两组关键词：“努力”和“成功”；“放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？ 提示　一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q. [知识梳理] [知识点]　充要条件　 1．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的　充分必要　条件，简称　充要　条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q　互为充要　条件． 2．若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． 3．若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． 4．若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 5．本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的． 6．应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容． 1.若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． [预习自测] 1．以下选项中p是q的充要条件的是(　　) A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5 B．p：a>2，b<2，q：a>b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 答案：D 2．已知条件甲：0<x<5，条件乙：－3<x－2<3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 3．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的　________　条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)． 答案：充分不必要 　 　　充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中p是q的什么条件． (1)在△ABC中，p：A>B，q：a>b； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (4)p：a<b，q：<1. [思路点拨]　按充要条件的定义判断． [解]　(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则a>b，即p⇒q，反之，若a>b，则A>B即q⇒p. 因此，p是q的充要条件． (2)由x>1可以推出x2>1即p⇒q； 由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1即q p. 因此，p是q的充分不必要条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3即p q； 由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0即q⇒p. 因此p是q的必要不充分条件． (4)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1，故若a<b，不一定有<1；当a>0，b>0，<1时，可以推出a<b； 当a<0，b<0，<1时，可以推出a>b. 因此p是q的既不充分也不必要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q，但qp，则p是q的充分而不必要条件； 若q⇒p，但pq，则p是q的必要而不充分条件； 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q且qp，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法(适用于需对命题的条件或结论化简的命题)首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}． 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若B⊆A，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分而不必要条件； 若BA，则p是q的必要而不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，BA，则A是B的既不充分也不必要条件． (3)传递性法(适用于多个条件之间的关系推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系． [变式训练] 1．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：a，b∈R，|a－b|＝|a|＋|b|，q：a，b∈R，ab<0； (3)p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两个实数根，q：x1＋x2＝－5； (4)p：A⊆B，q：A∩B＝A. 解：(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0， 如x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq， 所以p不是q的充要条件． (2)由|a－b|＝|a|＋|b|，两边平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2，即|ab|＝－ab， 得ab≤0，即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤0”． 所以p q，所以p不是q的充要条件． (3)当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5， 而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根． 所以q p，所以p不是q的充要条件． (4)由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件，即p是q的充要条件． 　 　　　充要条件的证明 [例2] 求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m<. [思路点拨]　从充分性和必要性两个方面证明． [解]　设p：0<m<，q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号不相等实根． (1)充分性(p⇒q)： 因为0<m<，所以Δ＝4－12m>0， 所以一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不等的实根．设方程的两根为x1，x2， 当0<m<时，x1＋x2＝>0且x1x2＝>0， 故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． (2)必要性(q⇒p)： 若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． 则有所以0<m<. 即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0<m<. 综上可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<. 充要条件的证明策略 (1)准确理解题意明确证明方向． ①条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性． ②“p是q的充分(必要)条件”常写为“q的充分(必要)条件是p”。 (2)关注证明的两个环节． 一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明． [变式训练] 2．已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：充分性： 若a＋b＝1， 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0， 即充分性成立， 必要性： 若a2＋b2－a＋b＋2ab＝0， 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0. ∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0， 即a＋b＝1，必要性成立， 综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 　 　　充要条件的应用 [例3] 已知p：x∈{x|－2≤x≤10}，q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m}，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [思路点拨]　由已知，{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，注意端点值的取舍．[解]　p：x∈{x|－2≤x≤10}， q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m}． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3.又1－m<1＋m，所以m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}． 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程或不等式求解． [变式训练] 3．已知集合M＝{x|x＜－3，或x＞5}，P＝{x|a≤x≤8}． (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件； (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件； (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件． 解：(1)M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤5}． (2)显然，满足－3≤a≤5的数中任取一个a的值都是M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件，则取a＝5.(答案不唯一) (3)由(1)知M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}，要求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件，即求一个集合，满足{a|－3≤a≤5}是该集合的真子集，那么{a|a≤5}是所求的一个必要不充分条件．(答案不唯一) 1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 3．“x≠－1”是“x2－1≠0”的　________　条件． 答案：必要不充分 4．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　________　. 答案：{a|a<1} 5．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 解：充分性：∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0， ∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2，则x1x2＝＜0，∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，分别设为x1，x2，则由一元二次方程根与系数的关系，得Δ＝b2－4ac＞0且x1x2＝＜0，解得ac＜0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 1．若a∈R，则“a2＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 2．两个三角形全等的一个充要条件是(　　) A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 答案：C 3．设 a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(　　) A．x＋y＝2　　　　　　 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1 答案：B 5．(多选)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列结论正确的是(　　) A．r是q的充要条件 B．p是q的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 解析：AB　[由已知得p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，由此得r⇒q且q⇒r，A正确，C不正确；p⇒q，B正确；r⇒s且s⇒r，D不正确．] 6．(多选)下列选项中，能够成为“关于x的方程x2－|x|＋a－1＝0有四个不等实数根”的必要不充分条件的是(　　) A. B. C．{a|1＜a＜2} D. 解析：BC　[关于x的方程x2－|x|＋a－1＝0有四个不等实数根， ①若x＞0，则方程x2－x＋a－1＝0有两正根，分别设为x1，x2， 则有 即解得1＜a＜； ②若x＜0，则方程x2＋x＋a－1＝0有两负根，分别设为x3，x4，则有解得1＜a＜，综上，实数a的取值范围是.] 7．(一题两空)下列不等式： ①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1；⑤x>－1.其中，可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为　________　；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为　________　. 解析：由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0}{x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件．因为{x|－1<x<1}{x|x<1}，{x|－1<x<1}{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件． 答案：②③　①⑤ 8．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是　________　. 解析：由题意知|2x－3|＞a恒成立，∵|2x－3|≥0，∴a＜0. 答案：a＜0 9．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是　____________________　. 解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2. 答案：0≤a≤2 10．已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 解：设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1，x2， 由题意知⇔ ⇔⇔ ⇔m≥6. 即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6. 11．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明：充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy＞0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 当xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0时． 又当x＞0，y＞0时， |x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立． 当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件． 12．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 解析：A　[要求P∈A∩(∁UB)的充要条件，应从充分性、必要性两方面入手． (1)∁UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}， A∩(∁UB)＝{(x，y)|x＋y－n＞0，且2x－y＋m＞0}， 由P∈A∩(∁UB)知，即m＞－1，n＜5. 所以m＞－1，n＜5是P(2,3)∈A∩(∁UB)的必要条件． (2)当m＞－1，n＜5时，解得 即P(2,3)∈A∩(∁UB)，所以m＞－1，n＜5是P(2,3)∈A∩(∁UB)的充分条件，选A.] 13．已知集合A＝{x|x＜a或x＞a＋2}，B＝{x|x≥3}． (1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求实数a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分条件，求实数a的取值范围； (4)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B是A的子集，故a＋2＜3，解得a＜1. 所以实数a的取值范围是{a|a＜1}． (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集，故a＋2＜3，解得a＜1. 所以实数a的取值范围是{a|a＜1}． (3)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分条件，则∁RA是B的子集． 易知∁RA＝{x|a≤x≤a＋2}，所以a≥3. 所以实数a的取值范围是{a|a≥3}． (4)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则∁RA是B的真子集． 因为∁RA＝{x|a≤x≤a＋2}，所以a≥3. 所以实数a的取值范围是{a|a≥3}． 学科网（北京）股份有限公司 $