河北邯郸市馆陶县三中芦中联考2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考试卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是() A.x2+1=0 B.(x+2)(2x-1)=6 C.ax2+bx+c=0 D.2x(x-3)-9=2x2+1 2.将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是() A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x-2)2-1 D.y=(x+2)2-1 3.足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运 动能力.在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比 赛)，共比赛28场，则参加比赛的球队数量是() A.7 B.8 C.9 D.10 4.已知二次函数y=-x2+2x+3,则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是() A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是(1,2) C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.函数y有最大值为4 5.根据下列表格，判断一元二次方程ax2+bx-2=0(a≠0，a、b为常数)的一个解x的取值范围是() 5 6 第1页共31页 ax2+bx-2 -4 -22816 A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<6 6.对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，定义其图象上点(x,y)的“点值”t=y-x.己 知二次函数y=m(x-2)2+3m-5(m为常数，且m≠0)图象的顶点的“点值"为-1，则m的值为() A.2 B.司 c.号 D. 7.小明发现某些函数图像上的三点A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3)满足如下性质：对于任意非零实数k,存在位 于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号.下列函数不具备该性质的是 () A.y=kx+1 B.y=klxl c.y= D.y=kx2 8.在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的 一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度y(单位：m)与时间x(单位：s)之间的关系如下表所示，下 列结论正确的是() x/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 y/m 10 10.68 11.16 11.45 11.45 11.16 A.运动员的重心相对水面的最大高度是11.45m B.运动轨迹路线的对称轴是直线x=1.3 C.当x≤1.2s时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D.当x=2.4s时，运动员入水 9.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1<0的解集是 () A.x>1或x<0B.x<-1 C.0<x<1 D.-1<X<0 10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法中正确的是() 第2页共31页 ①若a+c=b,则方程ax2+bx+c=0有一根为x=-1; ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根； ③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立： ④若b=2a+3c,则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， A.②③④ B.①②④ c.①③④ D.①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知矩形的两条边长分别是一元二次方程2x2-4x+1=0的两个根，则该矩形的对角线长为 12.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那 么称这样的方程为"邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=一1，则方程x2+x=0 是“邻根方程”.关于x的方程x2-(m-2)x-2m=0(m是常数)是“邻根方程”，则m的值是 13.在一场AI技术研讨会上，一名专家掌握了DeepSeek模型优化技巧并开始分享.经过两轮分享后，共225 人掌握此技巧.若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给 14.当-3≤x≤2时，二次函数y=ax2-4ax+1的最大值为8，则a= 15.如图所示，二次函数y1=ax2+bx-3的图像与一次函数y2=-x+m的图像交于A(-1,0),B(2,-3)两 点，当ax2+bx-3<x+m时，自变量x的取值范围是」 y 2 -3-2 4 B -4 16.如图，抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动（点 C在点D下方)，且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为· 第3页共31页 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20每题8分，21-24题每题10分。 17.(8分)用适当的方法解下列一元二次方程. (1)3x2+2x-5=0 (2)2x+6=(x+3)2 (3)x2-4x+1=0 (4)3x(x-1)=2-2x 18.(8分)某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能 售出500kg,销售单价每千克每涨1元，月销售量就减少10kg,解答以下问题. (1)当销售单价定为每千克35元时，计算销售量和月销售利润： (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，请求出y与x之间的函数关系式： (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到8000元，则销售单价应为每千克多少元？ 19.(8分)已知二次函数y=ax2-4ax+1(a为常数且a≠0)· (1)当点P(2,0)在该二次函数图象上时，求a的值. (2)已知A(x1y1),B(x2y2)在该函数图象上. ①若a<0时，有x1<2<x2且x1+x2>4,求证：y1>y2. ②若-a<x1<a,x2=2a+1,存在y1=y2,求a的取值范围. 20.(8分)阅读理解材料：已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n.根据材料.求 品+分的值。 解：由题意，可得：m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：m+n=1,mn=-1, 景+贤---竖-3. mn mn 解决以下问题： 第4页共31页 若方程2-4-3=0的两个实数根为，，则吃+片=一 (2)已知实数m,n满足m2-3m+1=0,n2-3n+1=0,且m≠n,求(m-2)(-2)的值. (3)已知实数p,q满足p2=3p+2,292=1-3g,且pq≠1，求9t的值. 21.(10分)30.抛物线y=x2-mx+4与直线y=x+1交于A,B两点，己知点A的横坐标为1. (1)求的值及抛物线的顶点坐标. (2)当0≤x≤t(t>0)时，二次函数y=x2-mx+4的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围. (3)当x≥0时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W.若直线y=x+1向左平移个单 位长度后与图象W有三个交点，请直接写出的值， 22.(10分)s某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升.每天店内自制产量（升）与售 卖定价x(元/升)满足函数关系：m=5x+80.结合市场消费调研，每天市场需求量（升）与售卖定价x (元/升)为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升) 4 5 10 市场需求量n(升) 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量， 仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/ 升. (1)求n与x的函数关系式： (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润： ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润： (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 23.(10分)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. 第5页共31页 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是抛物线上的动点，过点P作PDIx轴于点D,交直线BC于点E,当点P在第一象限时，求线段PE 的最大值： (3)在(2)的条件下，当PE取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBE为等腰三角形？ 若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 24.(10分)【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾 嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉.喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映 衬，显示出海的风采、潮的韵律.定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看.图1是音乐喷泉 中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征： 1.它们都经过同一点；2.它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这 条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“"包络线”. 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，己知“包络线”的解析式满足： y=-{ax2-》,水平面是直线y=m,与“包络线"交于A,B两点（点A在点8的左侧），其中一条水流所 在抛物线y1经过点B, 图1 图2 【解决问题】 13 (1)当a=1,m=98时， 第6页共31页 ①AB=-: ②求抛物线y1的解析式. (2)若抛物线y2的顶点坐标为(1,1)，求“包络线”的解析式. 第7页共31页 2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考试卷 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是() A.x2+-1=0 B.(x+2)(2x-1)=6 C.ax2+bx+c=0 D.2x(x-3)-9=2x2+1 【答案】B 【详解】解：4、方程含分式不是整式方程，不符合题意： B、展开左边得2x2+3x-2=6,整理得2x2+3x-8=0,符合一元二次方程定义： C、当a=0时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意： D、展开左边得2x2-6x-9=2x2+1,整理得-6x-10=0,是一元一次方程，不符合题意. 2.将抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是() A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x-2)2-1 D.y=(x+2)2-1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，遵循“左加右减，上加下减”的规则 【详解】解：~将抛物线向右平移2个单位， x变为(x-2): 再向上平移1个单位， “整体加1， 第8页共31页 y=(x-2)2+1, 故选：A。 3.足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运 动能力.在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比 赛)，共比赛28场，则参加比赛的球队数量是() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方 程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案， 【详解】~单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是n,列方程”，少=28， 2 整理得n2-n-56=0, 因式分解得(n-8(n+7)=0, 解得n1=8,n2=-7. ~球队数量为正整数， ÷n2=-7(舍去)， n=8. 参加比赛的球队数量是8. 4.已知二次函数y=一x2+2x+3,则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是() A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是(1,2) C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.函数y有最大值为4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值， 【详解】解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,-1<0, ÷抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，当x<1时，y随x的增大而增大，函数最大值为4： 故D正确. 故选：D. 5.根据下列表格，判断一元二次方程ax2+bx-2=0(a≠0，a、b为常数)的一个解x的取值范围是() 第9页共31页 6 ax2 +bx-2 -2 A.2<x<3 B.3<X<4 C.4<x<5 D.5<x<6 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键，根 据二次函数y=ax2+bx-2的函数值在x=3时为负、x=4时为正，进而判断出方程ax2+bx-2=0的一个 解x的取值范围。 【详解】解：当x=3时，ax2+bx-2=-2<0, 当x=4时，ax2+bx-2=2>0, 当3<x<4时，ax2+bx-2的值会从负变为正，即存在x使得ax2+bx-2=0, 方程ax2+bx-2=0的一个解x的取值范围是3<x<4. 故选：B 6.对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，定义其图象上点(x,y)的“点值"t=y-x.己 知二次函数y=m(x-2)2+3m-5(m为常数，且m≠0)图象的顶点的“点值"为-1，则m的值为() A.2 B.3 c.3 D.3 【答案】A 【分析】先根据二次函数顶点式得到项点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求 解出m的值 【详解】解：二次函数解析式为顶点式y=m(x-2)2+3m-5, 该二次函数图象的顶点坐标为(2,3m-5， 顶点的“点值”为-1， 且点值定义为t=y-x, 代入顶点坐标得(3m-5)-2=-1, 整理得3m=6, 解得m=2. 7.小明发现某些函数图像上的三点A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3)满足如下性质：对于任意非零实数，存在位 于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和"”与“纵坐标之积”异号.下列函数不具备该性质的是 () 第10页共31页 A.y=kx+1 B.y=kx c.y=黄 D.y=kx2 【答案】c 【分析】本题考查了函数图象与性质，熟练掌握常见函数的图象与性质是解题的关键 根据题意可知，具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k,函数图象经过第二象限或者第四象限， 对各选项进行分析即可. 【详解】解：对于任意非零实数k,存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点"横坐标之和”与“纵 坐标之积”异号： 具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k,函数图象经过第二象限或者第四象限， 当k>0时，y=kx+1的图象经过第一、二、三象限， 当k<0时，y=kx+1的图象经过第一、二、四象限， 选项A不符合题意； 当k>0时，y=kx的图象经过第一、二象限， 当k<0时，y=x的图象经过第三、四象限， 选项B不符合题意； 当k>0时，y=的图象经过第一、三象限， 当k<0时，y=的图象经过第二、四象限， 选项C符合题意； 当k>0时，y=kx的图象经过第一、二象限， 当k<0时，y=kx的图象经过第三、四象限， 选项D不符合题意 故选：C. 8.在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的 一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度y(单位：m)与时间x(单位：s)之间的关系如下表所示，下 列结论正确的是() x/s 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 y/m 10 10.68 11.16 11.45 11.45 11.16 A. 运动员的重心相对水面的最大高度是11.45m 第11页共31页 B.运动轨迹路线的对称轴是直线x=1.3 C.当x≤1.2s时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D.当x=2.4s时，运动员入水 【答案】C 【分析】利用表格数据结合二次函数的对称性求出对称轴，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可 【详解】解：由表格可知，当x=0.9和x=1.5时，y的值相等，均为11.45m, ~抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称， ÷对称轴为直线x=09415=12,故B错误 2 运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点在对称轴x=1.2处， ∴运动员重心相对于水面的最大高度大于11.45m,故A错误： 抛物线开口向下，对称轴为直线x=1.2, ·当x≤1.2s时，y随x的增大而增大， 即运动员的重心相对于水面的高度持续升高，故C正确： 根据抛物线对称性，x=0和x=2×1.2-0=2.4时，y值相等， 即x=2.4s时，y=10m,重心高度仍为10m,运动员未入水，故D错误 9.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1<0的解集是 () A.x>1或x<0B.x<-1 C.0<x<1 D.-1<x<0 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数综合，函数图像和不等式的关系，首先根据题意得到抛物 线y=x2+1与双曲线y=-的交点的横坐标是-1，结合图像求解即可. 【详解】解：双曲线y=和双曲线y=关于y轴对称，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点的横 坐标是1， 第12页共31页 抛物线y=x2+1与双曲线y=-一的交点的横坐标是-1，如图所示， 由图象可得，当-1<x<0时，抛物线y=x2+1的图像在双曲线y=-的图像下面 当-1<x<0时，x+1<是 关于x的不等式+x2+1<0的解集是-1<x<0. 故选：D. 10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法中正确的是() ①若a+c=b,则方程ax2+bx+c=0有一根为x=-1; ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根； ③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立； ④若b=2a+3c,则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， A.②③④ B.①②④ c.①③④ D.①②③ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证， 结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可. 【详解】解：①将x=-1代入方程ax2+bx+c=0,得a×(-1)2+b×-1)+c=a-b+c,已知 a+c=b,因此a-b+c=0,即x=-1是方程的根，故①正确： ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，其判别式A1=02-4ac=-4ac>0,对于方程ax2 +bx+c=0,其判别式A=b2-4ac,因为b2≥0，-4ac>0,因此△=b2+(-4ac)>0,方程必有两个 不相等的实数根，故②正确： ③若x=c是方程ax2+bx+c=0的根，代入得ac2+bc+c=0,整理得c(ac+b+1)=0,当c=0时， 等式ac+b+1=0不一定成立，故③错误： ④已知b=2a+3c,代入方程的判别式得：△=b2-4ac=(2a+3c)2-4ac=4a2+12ac+9c2 第13页共31页 4ac=4a2+8ac+9c2=4(a+c2+5c2, 若△=0，需4(a+c)子=0且5c2=0,可得a=0,c=0,与题设a≠0矛盾，因此△>0恒成立，方程有 两个不相等的实数根，故④正确： 综上，①②④正确. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知矩形的两条边长分别是一元二次方程2x2-4x+1=0的两个根，则该矩形的对角线长为 【答案】5 【分析】设矩形两条边长分别为a,b,由题意得a,b是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系 得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结 果 【详解】解：设矩形的两条边长分别为a,b. 由题意得，a,b是一元二次方程2x2-4x+1=0的两个根， a+b=-号=2，b= 矩形的对角线长为Va2+b2 rNa2 +b2 (a+b)2-2ab 22-2x3=V41=V5. 12.1 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那 么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=一1，则方程x2+x=0 是“邻根方程”.关于x的方程x2-(m-2)x-2m=0(m是常数)是“邻根方程”，则m的值是 【答案】-1或-3 【分析】先对关于x的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的 差为1，分情况列方程计算m的值即可. 【详解】解：对x2-(m-2)x-2m=0因式分解得：(x-m)(x+2)=0, x-m=0或x+2=0, 解得：x1=m,x2=-2, 第14页共31页 ~方程x2-(m-2)x-2m=0是“邻根方程”， ÷m-(-2)=1或-2-m=1, 解得：m=-1或m=-3. 13.在一场AI技术研讨会上，一名专家掌握了DeepSeek模型优化技巧并开始分享.经过两轮分享后，共225 人掌握此技巧.若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给 【答案】14 【分析】本题考查列一元二次方程一传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键.设每轮平均一 人分享给x人，根据"经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可. 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 1+x+x(1+x)=225, x1=14,x2=-16(舍去)， 每轮平均一人分享给14个人 故答案为：14. 14.当-3≤x≤2时，二次函数y=ax2-4ax+1的最大值为8，则a= 【答案】一或 7 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键.先计 算二次函数的对称轴为直线x=2,然后分a>0,a<0两种情况进行分类讨论求解即可. 【详解】解：y=ax2-40x+1的对称轴为直线x=一把-2， 当a>0时，在-3≤x≤2内， 当x=-3时，y取最大值8，代入解析式得： (-3)2·a-4×(-3)·a+1=8, 9a+12a+1=8, a=员 当a<0时，在-3≤x≤2内， 当x=2时，y取最大值8，代入解析式得： 22.a-4×2:a+1=8, 4a-8a+1=8, 7 a=-4 第15页共31页 故答案为：或 15.如图所示，二次函数y1=ax2+bx-3的图像与一次函数y2=-x+m的图像交于A(-1,0),B(2,-3)两 点，当ax2+bx-3<x+m时，自变量x的取值范围是 4 y 【答案】3 2 <x<+叵 2 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键。 先分别求出二次函数y1=ax2+bx-3与一次函数y2=-x+m的解析式，再令y3=x-1,当y1=y3时， 求-2平24项新r24加3<xt,用3-2<0.断马姬 )<0,求解即可 【详解】解：将A(-1,0),B(2,-3)分别代入y1=ax2+bx-3得 fa-b-3=0 4a+2b-3=-3, 解得22， 二次函数y1=x2-2x-3, 将A(-1,0)代入y2=-x+m得 1+m=0, 解得m=-1, .一次函数y2=-x-1, 令y3=x-1,当y1=y3时， x2-2x-3=x-1, 即x2-3x-2=0, 第16页共31页 解得x1=3亚x。=34位 2X2= 2， 当ax2+bx-3<x+m时， 即x2-2x-3<x-1, x2-3x-2<0, )(x)0. x-3=厘>0（x-3-厘<0 即 x-3+亚<0或 3+>0 (无解) 2 2 解得平<x<平 3+V17 3-V17 3+V17 故答案为：2<x< 2 16.如图，抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动（点 C在点D下方)，且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为一· 【答案】(4,4) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和最短路线问题， 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结AF交对称轴于D点，如 图，先证明四边形CDFE为平行四边形得到CE=DF,则CB=DF,利用等线段代换得到四边形ABCD的周长 =AB+CD十AR,根据两点之间线段最短可判断此时四边形ABCD的周长最小，再解方程x2-4x+6=0 得E(6,O),从而确定抛物线的对称轴为直线x=4,F(6,3),接着确定A(0,6),然后利用待定系数法求出直线 y=-2x+6 AF的解析式为y=+6,于是解方程组x4心得到D点坐标： 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， 第17页共31页 .CD EF=3,CDMEF, 四边形CDFE为平行四边形， ∴CE=DF, CB CE, .CB=DF, C四边形ABCD=AB+CD+AD+BC=AB+CD+DF+AD=AB+CD+AF, ∴此时四边形ABCD的周长最小， 令y=0,则2x2-4x+6=0, 解得x1=2,X2=6, B(2,0),E(6,0), F(6,3) 令x=0,则y=x2-4x+6=6, 4(0,6) 设过点A(0,6),F(6,3)的直线AF的解析式为y=kx+b, 2福k=-支 :64b63,解得66 直线AF的解析式为y=一x+6, 抛物线y=x2-4x+6的对称轴为直线x=- 2x4, (y= ·解方程组 x+6化=4 x24得=4， 2 D(44) 故答案为：(4,4)」 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20每题8分，21-24题每题10分。 第18页共31页 17.(8分)用适当的方法解下列一元二次方程. (1)3x2+2x-5=0 (2)2x+6=(x+3)2 (3)x2-4x+1=0 (4)3x(x-1)=2-2x 【答案】(1x1=1,x2= (2x1=-3,x2=-1 (3x1=2+V3,x2=2-V3 2 (4)x1=1,x2=-3 【分析】(1)利用公式法解一元二次方程即可： (2)利用因式分解法解一元二次方程即可. (3)用配方法求解一元二次方程即可； (4)利用因式分解法求解一元二次方程即可· 【详解】(1)解：这里a=3,b=2,c=-5. △=b2-4ac=22-4×3×(-5)=64>0, ∴x=-264--2±8 2×3 69 .x1=1,X2=-3 (2分) (2)解：原方程可变形为(x+3)2-2(x+3)=0, 因式分解，得x+3)(x+1)=0, x+3=0,或x+1=0, xX1=-3,x2=-1. (4分) (3)解：x2-4x+1=0, x2-4x=-1, x2-4x+4=-1+4, (x-2)2=3, x-2=±5， x1=2+V5,x2=2-V3 (6分) (4)解：3x(x-1)=2-2x, 第19页共31页 3x(x-1)+2(x-1)=0, x-1)3x+2)=0, x-1=0或3x+2=0, 4=1,名2=-是 (8分) 18.(8分)某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能 售出500kg,销售单价每千克每涨1元，月销售量就减少10kg,解答以下问题. (1)当销售单价定为每千克35元时，计算销售量和月销售利润： (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，请求出y与x之间的函数关系式： (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到8000元，则销售单价应为每千克多少元？ 【答案】(1)销售量：450kg:月销售利润：6750元 (2y=-10x2+1000x-16000: (3)销售单价应为每千克40元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用。 (1)利用月销售量=500-（销售单价-30）×10，即可求出月销售量，利用月销售利润=销售每千克 的利润×月销售量，即可求出月销售利润： (2)根据月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可得出y与x之间的函数关系式： (3)根据题意得出关于x的一元二次方程，解之，根据题意为减少库存（即增大销量），应选取较小 的销售单价，即可得出结论， 【详解】(1)解：销售量：500-(35-30)×10=450kg). 月销售利润：450×(35-20)=450×15=6750（元）： (2分) (2)解：y=(x-20)500-10(x-30)=-10x2+1000x-16000. ÷y与x之间的函数关系式为y=-10x2+1000x-16000: (4分) (3)解：设销售单价为每千克x元， 则(x-20)500-10(x-30)]=8000, 整理，得x2-100x+2400=0, 解得x1=40,x2=60, ~要减少库存， x=40, 第20页共31页 答：销售单价应为每千克40元. (8分) 19.(8分)已知二次函数y=ax2-4ax+1(a为常数且a≠0). (1)当点P(2,0)在该二次函数图象上时，求a的值， (2)已知A(x1y1),B(x2,y2)在该函数图象上. ①若a<0时，有x1<2<x2且x1+x2>4,求证：y1>y2. ②若-a<x1<a,x2=2a+1,存在y1=y2,求a的取值范围. 【答案】(1a=4 (2)①证明如下 ②1<a<3 【分析】(1)把点P(2,0)代入二次函数解析式即可解答： (2)①当a<0时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线x=2,根据题意推出x1 到对称轴的距离比x2到对称轴的距离小即可解答： ②根据y1=y2,可得x1=x2或x1+x2=4,代入不等式即可解答. 【详解】(1)解：把P(2,0)代入抛物线解析式， 得0=4a-8a+1,解得a=4 (2分) (2)①证明：抛物线y=x2-4ax+1的对称轴为直线x=一岩=2， X1+X2>4, x2-2>2-x1, x1<2<X2, ·x2-2为B(x2y2)到抛物线对称轴直线x=2的距离， 2-x1为A(x1y1)到抛物线对称轴直线x=2的距离， a<0, “抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， y1>y2: (5分) ②解：y1=y2 x1=3或梦=2 当x1=x2时，X1=x2=2Q+1, .-a<2a+1<a, 第21页共31页 解-a<2a+1得a> 解2a+1<a得a<-1, 不等式组无解： 当轻=2时，即x1+x2=4, ÷X1=4-x2=4-(2a+1)=3-2a, .-a<3-2a<a, 解-a<3-2a得a<3, 解3-2a<a得a>1, ∴不等式组的解集为1<a<3, 综上，1<a<3. (8分) 20.(8分)阅读理解材料：已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n.根据材料.求 品+分的值。 解：由题意，可得：m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：m+n=1,mn=-1, 0,mm+n(m+n)-2mm1+2_3.」 mn mn 解决以下问题： 11 (1)若方程x2-4x-3=0的两个实数根为x1,x2,则+云=一 (2)已知实数m,n满足m2-3m+1=0,n2-3n+1=0,且m≠n,求(m-2)(-2)的值. 3)已知实数p,g满足p2=30+2,292=1-30,且p9≠1，求的值. 【答案】)青 (2)-1 (3)1 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系 ①根据根与系数得，十女，=4出，一一3，再将所求式子变形为发+片-器即可整体代入求 值： (2)利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程x2-3x+1=0的两个不相等的实数根，再利用根 与系数的关系得到m+n=3,mn=1,接着把(m-2)(n-2)利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代 入的方法计算： 第22页共31页 (3》把2g2=1-30整理后得到（月-3月-2=0，p2=3p+2整理后得到p2-3p-2=0,则p、可 1 看作方程x2-3x-2=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到p+。=3,p·。=-2,然后将所 求式子变形为”9”-D+号+后刀+扣合利用整体代入的方法计第， 【详解】(1)解：根据题意得：x1+x2=4,x1x2=-3, 4 故答案为：一3 (2分) (2)解：m2-3m+1=0,n2-3n+1=0,且m≠n, ÷m、n可看作方程x2-3x+1=0的两个不等的实数根， m+n=3,m=1, .(m-2)(n-2)=mm-2(m+n)+4=1-2×3+4=-1: (4分) (3)解：~2q2=1-3q,即1-3q-2q2=0, q≠0， 方程两边除以q2得：(（)-3（月-2=0， p2=3p+2,即p2-3p-2=0,且p·q≠1， ÷p、可看作方程x2-3x-2=0的两个不等的实数根， p+日3，pg-2 1 q p+号+p+切日3-2=1. 1 (8分) q 21.(10分)30.抛物线y=x2-mx+4与直线y=x+1交于A,B两点，已知点A的横坐标为1. (1)求的值及抛物线的顶点坐标. (2)当0≤x≤t(t>0)时，二次函数y=x2-mx+4的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围. 第23页共31页 (3)当x≥0时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W.若直线y=x+1向左平移个单 位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值 【答案】(1)m=3, (0 20<t<号 (3)2或3 【分析】(1)根据点A的横坐标为1，代入y=x+1,得y=2,可得A点坐标：再将A点坐标代入 y=x2-x+4,可得m的值，进而得出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式变形为顶点式即可得出抛 物线的顶点坐标： (2)首先，根据题意得二次函数的最小值为4，当0≤x≤t(t>0)时，在抛物线对称轴的左侧，最大 值与最小值的差小于4，然后，判断在对称轴右侧的部分的最大值为+4=名，令？-3x+4=头，解得 x=一舍去)或x=,再结合函数图象即可得出结论： (3)当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况并画出函数图象，再得到抛物线y=x2-3x+4 沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为y=x2+3x+4,直线平移后的函数解析式为y=x+n+1,情况 ①：联立沿y轴翻折后的抛物线及平移后的函数的解析式，当△=22一4(3-)=0时，直线与图象W有三 个交点，此时n=2,情况②：当直线y=x+n+1过点0,4)时，直线与图象W有三个交点，此时， n+1=4,解得n=3, 【详解】(1)解：将x=1代入y=x+1,得y=2, 点A的坐标为(1,2) 将A(1,2)代入y=x2-mx+4, 得2=12-m+4,解得m=3. 抛物线的函数解析式为y=x2-3x+4. y=x2-3x+4=(-}+ 抛物线的顶点坐标为(，)； (3分) (2)解：抛物线的开口向上，顶点坐标为得，)， 二次函数的最小值为 当0<x≤时， 将x=0代入y=X23x+4,得y=4,而4子<4 当<x<t时，+4=程 23 第24页共31页 令x2-3x+4-翠 7 解得x=舍去)减x=2 7 结合函数图象，可得t的取值范围是0<t<2 (6分) (3)解：当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况，如图所示。 抛物线y=x2-3x+4沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为y=x2+3x+4, 直线y=x+1向左平移n个单位长度， 直线平移后的函数解析式为y=x+n+1. 情况①：令x2+3x+4=x+n+1,整理，得x2+2x+3-n=0. 当△=22-4(3-m=0时，直线与图象W有三个交点，此时n=2. 情况②：将x=0代入y=x2-3x+4,得y=4, 抛物线与y轴的交点坐标为(0，④. 当直线y=x+n+1过点(0,4)时，直线与图象W有三个交点，此时，n+1=4,解得n=3. 综上所述，n的值为2或3 (10分) 22.(10分)s某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升.每天店内自制产量m(升)与售 卖定价x(元/升)满足函数关系：m=5x+80.结合市场消费调研，每天市场需求量（升)与售卖定价x (元/升)为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升) 4 10 市场需求量n(升) 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量， 仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉：售卖定价不低于4元/升，不高于10元/ 升. (1)求n与x的函数关系式： 第25页共31页 (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润： ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润： 3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1)n=-10x+160(4≤x≤10) (2)①315（元）：②400（元） (3)原液定价为7.5元/升时，每天可获得最大利润为402.5元 【分析】(1)根据待定系数法，即可求解； (2)①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润=单升 利润X自制产量”，即可求解：②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再 根据“总利润=单升利润×市场需求量-未卖出的成本”，即可求解： (3)设奶茶小店每天获得的利润为v元，根据和的大小分类讨论，分别列出P关于x的二次函 数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出p的最大值，最后进行比较即可求解. 【详解】(1)解：设n与x的函数关系式为n=kx+b, (4k+b=120 k=-10 由题意得，5k+6=10,解得{6=160， ,n=-10x+160(4≤x≤10)： (2分) (2)解：①当x=5时，m=5×5+80=105,n=-10×5+160=110, 105<110,基底原液可全部卖完， ∴奶茶小店每天销售基底原液利润为：(5-2)×105=315（元）： ②当x=8时，m=5×8+80=120,n=-10×8+160=80, .120>80,基底原液无法卖完. “奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：(8-2)×80-2×(120-80)=400（元）· (6分) (3)解：设奶茶小店每天获得的利润为元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即m≤n, 即5x+80≤-10x+160,解得x≤总，：4≤x≤ 16 则w=(x-2)(5x+80)=5(x+7)2-405, 5>0,对称轴为直线x=一7，当4≤x≤时，"随x的增大而增大， 当x=时，w大=5×（背号+7刀-405=355号（元）： ②当每天的产量大于市场需求量时，即m>n, 第26页共31页 即5x+80>-10x+160,解得x>兰，普<x≤10： 则w=(x-2)(-10x+160)-2(5x+80)-(-10x+160)] =-10x2+150x-160=-10(x-7.5)2+402.5, …-10<0,对称轴为直线x=7.5, 当x=7.5时，w最大=402.5（元)， 355号<4025 ∴原液定价为7.5元/升时，每天可获得最大利润为402.5元. (10分) 23.(10分)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是抛物线上的动点，过点P作PD1x轴于点D,交直线BC于点E,当点P在第一象限时，求线段PE 的最大值： (3)在(2)的条件下，当PE取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBE为等腰三角形？ 若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1y=-x2+2x+3 2 3存在，点0的坐标为(1,9威(1-成(1，.+P)威(1，严)威(1，-》 【分析】(1)运用待定系数法求解即可： (2)由点B,C坐标求出直线BC解析式，设点P坐标为(x,一x2+2x+3),则E(x,-x+3),求出PE的 关系式，运用二次函数的性质可得结论 (3)求出函数图象对称轴为x=1,设QL,m,求出（侵，》），BE2,BQ2,QE2,分三种情况列方程求 解即可 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 第27页共31页 抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3: (2分) (2)解：设直线BC的解析式为y=kx+b, B 将点B3D、c03)代入，得结特写0，解得代-司. 直线BC的解析式为y=-x+3, 设点P坐标为（化，-x2+2x+3),则E(化，-x+3) P=-x2+2x+3-(x+3)=-x2+3x=-(x-到}+0 -1<0, 当x=时，PE有最大值，最大值为： (4分) (3)解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 抛物线的对称轴为直线x=1, 当x=时，PB有最大值， (), 设点Q的坐标为(1，m, 83,0、), 62=(3-引+(0-引= BQ2=(3-1)2+(0-m)2=4+m2: 0s2-（1-到+(m-=m2-3m+ 当BQ=BB即B02=BE2时，4+m2-,即m2-: V2 解得m=士气， 点0的坐标为(1,9咸(1，-； (6分) 当QE=BE即062=BE2时，m2-3m+, 第28页共31页 解得m= 2或m2=3回 3+V17 2 点0的坐标为(1，+y）或(1，)， (8分) 当QE=BQ即QE2=BQ2时，m2-3m+=4+m2, 解得m=多 点Q的坐标为(1，-》 综上所述， 点0的坐标为(1成(1，-)成(1，+)减(1，)成(1，》 (10分) 24. (10分)【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾 嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉.喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映 衬，显示出海的风采、潮的韵律，定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看.图1是音乐喷泉 中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征： 1.它们都经过同一点；2.它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这 条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”. 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，己知“包络线"的解析式满足： y={x2-》,水平面是直线y=m,与“包络线交于A,B两点（点A在点B的左侧），其中一条水流所 在抛物线y1经过点B. B 图1 图2 【解决问题】 13 (1)当a=1,m=98时， ①AB=-: ②求拋抛物线y1的解析式. (2)若抛物线y2的顶点坐标为(1,1)，求“包络线”的解析式， 第29页共31页 【答案1(m@片：@y,=22+3 2y=2+月 【分析】(1)④将a=1代入y=(ax2-),再令y=品，求出点A与点B得坐标，从而求出AB得值： ②容易判断抛物线y:经过原点，故设y=t+dk,将点()代入，得d=是，则y=2+ (侣-)k.联立两个抛物线可得(84t+42)x2+(1372)x42=0,根据题意，只有一个交点，则△=0， 85 解得t=-究，从而得出抛物线y的解析式： (2)根据抛物线y2顶点坐标(1,1)，过点(0,0)求出解析式为y=-(x-1)2+1,联立两条抛物线可得 (a-2)x2+4x-是=0，由△=0，解得a=,从而得出“包络线"的解析式. 【详解】(1)解：①a=1, y=x2-10, 将y=品代入y=2-1),得， 2-0=品， 解得x=士 点A的坐标为(，》，点B的坐标为（品） MB=()=号 (2分) ②由图可知，抛物线y1经过原点，故设抛物线y1的解析式为y=tx2+dx, 将点B()代入y=2+dx,得， 品-没+a, d-品 抛物线y的解析武为y=t2+(侣-)， (4分) 联立抛物线y1与抛物线y,并消去y,得， tx2+(a-t)x=-x2-1), 整理，得(84t+42)x2+(13-72t)x-42=0, 两条抛物线有且仅有一个交点， 第30页共31页 4=(13-72t)2-484t+42)×(-42)=0, 整理，得5184t2+12240t+7225=0, 因式分解，得(72t+85)2=0, 解得=受 a-品身= 抛物线y的解析式为y=爱2+： (6分) (2)解：抛物线y2的顶点坐标为(1,1)， 设抛物线y2的解析式为y=kx-1)2+1, 将点(0,0)代入y=k(x-1)2+1,得， 0=k+1, 解得k=-1, 抛物线y2的解析式为y=-(x-1)2+1, (8分) 联立抛物线y2与抛物线y,并消去y,得， (ax2-月=-(x-1)2+1, 整理，得(a-2)x2+4x-=0, 两条抛物线有且仅有一个交点， 4=42-4a-2(-9=0, 解得a-君 ，5 包络线的解析式为加=女+是 (10分) 第31页共31页