5.2 一次函数的概念课件 2026-2027学年苏科版 数学 八年级上册

5.2 课时1 一次函数的概念 1.什么是函数？ 2.函数的表示方式有哪些？ 问题1　某人给汽车加油时的计价屏如图所示，加油枪流量是40 L/min，加油前油箱中有油6 L，在这个过程中有哪些常量、变量？有哪些函数关系？ 1.加油时，金额y(元)与加油油量x(L)具有函数关系，可以用函数表达式表示为　　　　　； 2.油箱中的油量Q(L)与加油时间t(min)具有函数关系，可以用函数表达式表示为　　 　　.  y=8.76x Q=40t+6 活动1. 阅读问题材料，完成后面的填空. 探究一：一次函数与正比例函数的概念. 问题2　函数表达式有什么共同特征？ 提示:从变量的次数与系数角度 一般地，形如y= (k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量， y是x的函数. 特别地，当b=0时，y= (k为常数，k≠0)叫作x的 . kx+b 正比例函数 kx 注意点：①函数为一次函数⇔其表达式为y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的形式. ②表达式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数. ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数. ④若k=0，则y=b(b为常数)是常数函数不是一次函数. (1)正方形花圃的周长C(m)随边长x(m)的变化而变化； C=4x，C是x的正比例函数. (2)正方形花圃的面积S(m2)随边长x(m)的变化而变化； 活动2. 根据下列问题材料，写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式. (3)如图，A，B两站相距200 km.若火车从B站出发以320 km/h的速度匀速驶向C站， 火车离A站的路程y(km)随行驶时间t(h)的变化而变化； (4)如图，搭1条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小鱼”就要增加6根火柴棒.所需火柴棒的根数S随着所搭“小鱼”条数n的变化而变化. S=x2，S不是x的一次函数. y=200+320t，y是t的一次函数. S=6n+2，S是n的一次函数. 思考：1.如何分析材料，列出函数表达式？ 2.如何判断函数是正比例函数还是一次函数？ 判断函数是否为一次函数的方法： (1)函数表达式的右边是否是整式的形式，需要化简的应先化简； (2)看它是否符合一次函数表达式y=kx+b的结构特征： ①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可以为任意实数. (3)当b=0时，既是正比例函数，又是一次函数. 列函数表达式的方法： 1.找到等量关系； 2.明确自变量和因变量； 3.根据等量关系列出函数表达式. 写出下列各题中x与y之间表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数. (1)每盒铅笔12支，售价24元，铅笔销售额y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系； 解：y=x=2x，y是x的一次函数，也是正比例函数. (2)一个长方形的面积是16平方厘米，它的一边长y(厘米)与其邻边长x(厘米)的关系； 解：y=y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数. (3)用长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一边靠墙(足够长)，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为x米，与其相邻的另一边长为y米. 解：y+2x=12，∴y=-2x+12. y是x的一次函数，不是正比例函数. 已知函数y=x-n-4是正比例函数，求m，n的值. 解：函数是正比例函数， ， 解得 活动3. 根据正比例函数表达式特点完成下列问题. 已知函数y=(m+1)x+(m2-1). (1)当m取什么值时，y是x的正比例函数； (2)当m取什么值时，y是x的一次函数. 解：(1)函数是正比例函数， ， 解得m=1； (2)根据一次函数的定义可知， 解得. 1.一次函数的概念. 2.正比例函数的概念. 3.一次函数与正比例函数的区别与联系. 1.下列函数是一次函数的是( ) A.y=c(c为常数) B.y=kx+b(k，b为常数) C.y= D.y=kx(k≠0) D 2.下列问题中，两个变量成正比例的是( ) A.圆的面积和它的半径 B.长方形的面积一定时，它的长和宽 C.正方形的周长与边长 D.三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高 C 当堂检测 3.已知李琳同学充饭卡后，饭卡内余额为500元，若在校时平均每天消费35元，则她卡内余额y(元)与消费天数x(天)之间的关系式为　　　　 　. y=500-35x 4.若x，y是变量，且y=(k-2)x|k-1|是正比例函数，则k值为　　.  0 5.写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数或正比例函数？ (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； 解：行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系为y=60x，y是x的一次函数，是正比例函数. (2)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y(厘米). 解：x月后这棵树的高度为y=50+2x，y是x的一次函数，不是正比例函数. 课时2 求一次函数的表达式 1.什么叫一次函数？ 2.什么叫正比例函数？ 3.说说一次函数和正比例函数之间的关系. 问题1　一盘蚊香长105 cm，点燃后，每小时缩短10 cm. y关于t的函数表达式：y=105-10t. (3)该盘蚊香可燃烧多长时间？ 将y=0代入y=105-10t，得105-10t=0，解这个方程，得t=10.5. 所以该盘蚊香可燃烧10.5 h. 活动1. 阅读问题材料，列出一次函数表达式. 探究一：求一次函数表达式. (2)写出蚊香点燃后的长度y(cm)关于蚊香燃烧时间t(h)的函数表达式； (1)用自己的话说说点燃后蚊香长度与时间t有怎样的关系？ 问题2.已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A，B两地相距3千米； (2)若用x(小时)表示行走的时间，y(千米)表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是什么？ (1)用自己的话说说小明出发后，距离B地的路程与时间有什么关系？ (3)小明要用多长时间可以到达B地. y关于x的函数表达式：. 将y=0代入，得，解这个方程，得. 所以可以到达B地. 思考：在问题1、问题2中我们是如何列出一次函数的表达式的？ ； ； ； ； . 活动2. 阅读下列材料，回答相应的问题. 探究一：求一次函数表达式. 问题1.在弹性限度内，弹簧长度y(cm)是所挂物体质量x(g)的一次函数.已知一根弹簧挂10 g物体时的长度为11 cm，挂30 g物体时的长度为15 cm，求y关于x的函数表达式. 1.一次函数的表达式是什么？其中有几个待定的常量？ 2.要确定一个待定的常量，需要几个已知条件？ y=kx+b，二个待定常量，k,b 2个 3.同桌讨论，完成材料中的问题. 解：设函数表达式为y=kx+b， 当x=10时，y=11，得11=10k+b； 当x=30时，y=15，得15=30k+b. 解方程组得 所求函数表达式为y=0.2x+9. 在弹性限度内，弹簧长度y(cm)是所挂物体质量x(g)的一次函数.已知一根弹簧挂10 g物体时的长度为11 cm，挂30 g物体时的长度为15 cm，求y关于x的函数表达式. 问题2.某产品每件的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表，若日销售量y(件)是每件的销售价x(元)的一次函数. x(元) 15 20 25 … y(件) 25 20 15 … 求日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式； 解：设日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式为y=kx+b (k≠0). 根据题意，得解得 所以日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式为y=-x+40. 思考：活动2中的问题1、2求解一次函数解析式有什么特点，它与活动1的 有什么不同？ 先设含有 的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值， 从而确定函数表达式的方法叫作 . 未知系数 待定系数法 注意点：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是： ①设：设一次函数的表达式y=kx+b(k≠0)； ②代：把已知条件代入表达式得到关于k，b的方程(组)； ③解：解方程(组)，求出k，b的值； ④代回：将k，b的值代回所设的表达式. (1)已知函数y=4x+5，当x=-3时，y=　　；当y=5时，x=　　 . -7 0 (2)已知y与x-3成正比例，当x=4时，y=3.写出y与x之间的函数关系式. 解：∵y与x-3成正比例，设函数关系式为y=k(x-3)(k≠0)， 把x=4，y=3代入得3=k(4-3)=k，∴k=3， ∴y与x之间的函数关系式为y=3(x-3)，即y=3x-9. (3)已知与成正比例，且当时，. ①写出与之间的函数表达式； 解：根据题意，设函数关系式为，将代入 得，即k=则，即. ②计算当时，求的值. 解：将代入，得，解得. 1.待定系数法的含义. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：①设②代③解④代回. 1.已知y是x的正比例函数，当x=3时，y=-6，则y与x的函数关系式为( ) A.y=2x B.y=-2x C.y=x D.y=-x 解：设y=kx，把x=3，y=-6代入，得 3k=-6，解得k=-2， ∴y与x的函数关系式为y=-2x. 2.已知一次函数y=-x+b，当x=1时，y=2，则b=　　.  3 解：∵当x=1时，y=2， ∴-1×1+b=2， 解得b=3， ∴b的值为3. 3.某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知行李质量为20 kg时需付行李费2元，行李质量为50 kg时需付行李费8元. (1)当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式； 解：根据题意，设y与x的函数表达式为y=kx+b， 当x=20时，y=2，得2=20k+b； 当x=50时，y=8，得8=50k+b. 解方程组得所求函数表达式为y=x-2. 解：当y=0时x-2=0，得x=10. 所以旅客最多可免费携带行李10 kg. 3.某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知行李质量为20 kg时需付行李费2元，行李质量为50 kg时需付行李费8元. (1)当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式； (2)求旅客最多可免费携带行李的质量. $