5.3一次函数的图象与性质（第2课时一次函数的图象与性质）（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数的图象与性质，通过对比正比例函数y=2x与一次函数y=2x+3，从计算函数值、描点连线到归纳平移规律，以旧知为支架引导学生构建新知，明确两点法画图象及k、b对图象的影响。 其亮点在于采用“问题-探究-结论”模式，结合几何直观（描点观察图象关系）、推理能力（例4用代数、数形结合等多法比较函数值）和模型意识（题型分类总结k、b与象限、增减性的关系），帮助学生提升数学思维，教师可借助结构化流程与多样化例题提高教学效率。

第5章 一次函数 5.3一次函数的图象与性质 第2课时 一次函数 的图象与性质 学 习 目 标 1 能画一次函数的图象 2 根据一次函数的图象和表达式y = kx + b ( k ≠ 0 ) 探索并理解k > 0和k < 0时图象的变化情况 一次函数的图象 问题 新知探究 观察一次函数y = 2x + 3与正比例函数y = 2x的表达式，猜想它们的图象之间具有怎样的位置关系。 选取自变量x的几个值，分别计算函数y = 2x和y = 2x + 3的函数值。 x … -2 -1 0 1 2 … y = 2x y = 2x + 3 … -4 -2 0 2 4 … … -1 1 3 5 7 … 对同一个x的值， 两个函数值相差3。 问题 新知探究 以表格中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 从点的相互位置关系看，函数y = 2x + 3的图象可以由y = 2x的图象向上平移3个单位长度得到。 问题 新知探究 顺次连接描出的各点。 y = 2x + 3 y = 2x 函数y = 2x + 3的图象是一条平行于y = 2x的图象的直线。 新知探究 一般地，一次函数y = kx + b的图象可以由正比例函数y = kx的图象沿y轴向上( b > 0 )或向下( b < 0 )平移| b |个单位长度得到。 提分笔记 新知探究 一次函数的图象： 提分笔记 所以，我们有下面的结论： 一次函数y = kx + b ( k，b为常数，k ≠ 0 )的图象是一条直线。画一次函数的图象只要确定图象上的两个点即可。 新知探究 注意：一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线， 但直线不一定是一次函数的图象。 eg：x = a，y = b分别是与y轴，x轴平行 ( 或重合 ) 的直线， 就不是一次函数的图象。 提分笔记 新知探究 两点法画一次函数的图象： 提分笔记 将x = 0代入y = kx + b，得y = b； 将y = 0代入y = kx + b，得x = ， 过点( 0，b )、( ，0 )画一条直线， 这条直线就是一次函数y = kx + b的图象。 新知探究 注意： 用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点， 而要根据具体情况，选取的点的横、纵坐标尽量为整数， 以便于描点准确。 提分笔记 典例分析 例3 在平面直角坐标系中，画出一次函数y = -3x + 3的图象。 图象经过哪些象限？ 分析：函数图象与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标为0， 画图象时可以先找这些交点。 解：当x = 0时，y = 3；当y = 0时，x = 1。 过点( 0，3 )，( 1，0 )画一条直线， 这条直线就是一次函数y = -3x + 3的图象。 图象经过第一、二、四象限。 一次函数的性质 问题 新知探究 1. 对于一次函数y = 2x + 3，函数值y随自变量x的增大如何变化？ 2. 对于一次函数y = -2x + 3，函数值y随自变量x的增大如何变化？ y = 2x + 3 y = 2x 函数y = 2x + 3与 y = 2x的图象是平行直线，它们有相同的变化趋势。 问题 新知探究 1. 对于一次函数y = 2x + 3，函数值y随自变量x的增大如何变化？ 2. 对于一次函数y = -2x + 3，函数值y随自变量x的增大如何变化？ 观察左右两图，一次函数y = kx + b的变化趋势与k的符号有关。 问题 新知探究 解：当k = 2 > 0时，函数值y随自变量x的增大而增大； 当k = -2 < 0时，函数值y随自变量x的增大而减小。 讨论 新知探究 一次函数y = kx + b中b的符号和其图象的特征有什么关系？ 以函数y = 2x、y = 2x + 3和y = 2x - 3的图象为例： y = 2x + 3 y = 2x y = 2x - 3 解：函数y = 2x的图象经过原点； 函数y = 2x + 3的图象与y轴正半轴交于 ( 0，3 )； 函数y = 2x - 3的图象与y轴负半轴交于 ( 0，-3 )。 讨论 新知探究 一次函数y = kx + b中b的符号和其图象的特征有什么关系？ 以函数y = 2x、y = 2x + 3和y = 2x - 3的图象为例： y = 2x + 3 y = 2x y = 2x - 3 对于一次函数y = kx + b， 当b = 0时，图象经过原点； 当b > 0时，图象与y轴正半轴交于 ( 0，b )； 当b < 0时，图象与y轴负半轴交于 ( 0，b )。 → b是纵截距，是图象与y轴的交点的纵坐标。 新知探究 提分笔记 对于一次函数y = kx + b ( k ≠ 0 )，当b = 0时， 已知正比例函数y = kx ( k ≠ 0 )的图象特征和性质； 新知探究 提分笔记 当b ≠ 0时，一次函数的图象特征和性质如下： 函数表达式 y = kx + b ( k > 0 ) y = kx + b ( k < 0 ) 函数图象 b > 0 b < 0 b > 0 b < 0 图象经过的象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 函数变化趋势 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 新知探究 对于一次函数y = kx + b ( k，b为常数，k ≠ 0 )， k的符号决定了函数的变化趋势， k和b的符号决定了其图象经过的象限。 注意：当k > 0时，图象必过第一、三象限， 当k < 0时，图象必过第二、四象限； 当b > 0时，图象与y轴交于正半轴， 当b < 0时，图象与y轴交于负半轴。 提分笔记 典例分析 例4 已知点P ( a，b )，Q ( 1，c )在一次函数y = 4x + 3的图象上，且a < 1。比较b与c的大小，并说明理由。 解：b < c。理由如下： 根据一次函数y = 4x + 3的变化趋势， 函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当自变量a < 1时，对应的函数值b < c。 你还有哪些方法说明b < c？ 典例分析 例4 已知点P ( a，b )，Q ( 1，c )在一次函数y = 4x + 3的图象上，且a < 1。比较b与c的大小，并说明理由。 法二：数形结合-画草图， 由图可知：b < c。 x y O c 1 a b 典例分析 例4 已知点P ( a，b )，Q ( 1，c )在一次函数y = 4x + 3的图象上，且a < 1。比较b与c的大小，并说明理由。 法三：代值法， 当x = a时，b = 4a + 3； 当x = 1时，c = 4 × 1 + 3 = 7， ∵a < 1， ∴4a + 3 < 7，即b < c。 典例分析 在 例4 的基础上，进一步思考： 1. 若点( x1，y1 )，( x2，y2 )在直线y = kx + b ( k > 0 )上，且x1 < x2， 则y1 ________ y2。( 填“ > ” “ = ”或 “ < ” ) x y O y1 x1 x2 y2 < 解：如图，∵k > 0， ∴y随x的增大而增大， ∵点( x1，y1 )，( x2，y2 )在直线y = kx + b ( k > 0 )上，且x1 < x2， ∴y1 < y2。 典例分析 在 例4 的基础上，进一步思考： 2. 若点( x1，y1 )，( x2，y2 )在直线y = kx + b ( k < 0 )上，且x1 < x2， 则y1 ________ y2。( 填“ > ” “ = ”或 “ < ” ) x y O y2 x1 x2 y1 解：如图，∵k < 0， ∴y随x的增大而减小， ∵点( x1，y1 )，( x2，y2 )在直线y = kx + b ( k < 0 )上，且x1 < x2， ∴y1 > y2。 > 典例分析 题型总结——根据一次函数的增减性比较大小： k > 0，增函数：x大y大，x小y小； k < 0，减函数：x大y小，x小y大。 题型探究 例1 一次函数y = ax + b和y = bx + a ( a，b为常数且a ≠ b )在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 一次函数的图象的辨析 题型一 B 题型探究 例2 若一次函数y = ( k - 2 )x + k + 1 ( k为常数 )的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．-1 < k < 2 B．k > -1 C．k < 2 D．k > 2 根据一次函数的图象求参 题型二 解：由题意可得：k - 2 < 0且k + 1 > 0， 解得：-1 < k < 2。 A 题型探究 例3 下列有关一次函数y = -2x - 1的说法中，正确的是（　　） A．y的值随着x值的增大而增大 B．函数图象与x轴的交点坐标为( -2，0 ) C．当x > 0时，y > -1 D．函数图象经过第二、三、四象限 一次函数的性质的辨析 题型三 解：A、∵k = -2 < 0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，✖； B、∵当y = 0时，x = -，∴函数图象与x轴的交点坐标为( -，0 )，✖； C、∵y的值随着x增大而减小，函数图象与y轴的交点坐标为( 0，-1 )， ∴当x > 0时，y < -1，✖； D、图象经过第二、三、四象限，√。 D 题型探究 例4 已知一次函数y = ( m - 2 )x - 2，要使函数值y随自变量x增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m ≥ 2 B．m > 2 C．m ≤ 2 D．m < 2 根据一次函数的增减性求参 题型四 解：要使函数值y随自变量x的增大而增大， 则m - 2 > 0，解得：m > 2。 B 题型探究 例5 已知直线y = -3x + m过点A ( -1，y1 )和点B ( -3，y2 )， 则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1 > y2 B．y1 < y2 C．y1 = y2 D．不能确定 根据一次函数的增减性比较大小 题型五 解：∵-3 < 0，∴y随x的增大而减小， ∵-1 > -3，∴y1 < y2。 B 题型探究 例6 已知一次函数y = -2x + 3，当0 ≤ x ≤ 5时，函数y的最大值是（　　） A．0 B．3 C．-3 D．-7 根据一次函数的增减性求最值 题型六 解：∵k = -2 < 0，∴y随x的增大而减小， ∵0 ≤ x ≤ 5，∴当x = 0时，函数y的最大值是：-2 × 0 + 3 = 3。 B 一次函数的图象： 一次函数y = kx + b ( k，b为常数，k ≠ 0 )的图象是一条直线。 画一次函数的图象只要确定图象上的两个点即可。 两点法画一次函数的图象： 将x = 0代入y = kx + b，得y = b；将y = 0代入y = kx + b，得x = ， 过点( 0，b )、( ，0 )画一条直线，这条直线就是一次函数y = kx + b的图象。 课 堂 总 结 当b ≠ 0时，一次函数的图象特征和性质如下： 课 堂 总 结 感谢聆听! $