5.2.1一次函数的概念-课件-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数概念及正比例函数，通过加油计价屏、弹簧秤等实际情境导入，衔接变量关系知识，搭建从具体到抽象的学习支架，为后续反比例函数、二次函数学习奠定基础。 其亮点在于以问题情境驱动，结合数学眼光（抽象变量关系）、数学思维（辨析定义条件）、数学语言（函数表达式建模），如通过弹簧秤问题培养模型意识。采用“定义-辨析-例题-易错点”结构，帮助学生深化理解，教师可高效开展概念教学。

苏科版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月12日 5.2.1一次函数的概念 第五章 一次函数 5.2.1 一次函数的概念 核心地位：一次函数是初中最简单、最基础的函数类型，是学生从“变量关系”过渡到“函数体系”的核心内容，也是后续学习反比例函数、二次函数的基础，在考试中选择、填空、解答题高频考查。 一、一次函数的定义（课本标准） 一般地，形如 $$y=kx+b$$（$$k、b$$为常数，$$k eq0$$）的函数，叫做一次函数。 其中：$$x$$是自变量，$$y$$是因变量。 定义核心三条件： 1. 自变量 $$x$$ 的次数为 1（一次）； 3. 解析式为整式，不含分母含x、不含根号含x。 二、正比例函数（特殊的一次函数） 当一次函数中 $$b=0$$ 时，解析式变为 $$y=kx(k eq0)$$，这样的函数叫做正比例函数。 包含关系（必考）： 1.正比例函数一定是一次函数； 2. 一次函数不一定是正比例函数； 3. 正比例函数是特殊的一次函数（常数项为0）。 三、一次函数与正比例函数辨析 1. 一次函数通用形式：$$y=kx+b(k eq0)$$（k、b可为任意常数，b可以为0、正数、负数） 2. 正比例函数专属形式：$$y=kx(k eq0)$$（必须没有常数项） 3. 只要 $$k=0$$，式子变为 $$y=b$$，是常函数，不是一次函数。 四、判断一次函数的万能步骤 1. 整理式子：化为y=kx+b最简形式； 2. 看次数：自变量x次数必须为1； 3. 看系数：一次项系数 $$k eq0$$； 4. 看形式：必须是整式函数，分式、根式都不是一次函数。 五、典型例题解析 例题1：判断下列哪些是一次函数，哪些是正比例函数。 ① $$y=5x-1$$ ② $$y=\dfrac{1}{x}$$ ③ $$y=3x$$ ④ $$y=2$$ ⑤ $$y=x^2$$ 解： ① 是一次函数，不是正比例函数； ② 是分式函数，不是一次函数； ③ 是一次函数，也是正比例函数； ④ 常函数，不是一次函数； ⑤ 二次函数，不是一次函数。 例题2：已知 $$y=(m-2)x+3$$ 是一次函数，求m的取值范围。 解：一次函数要求一次项系数不为0， $$m-2 eq0$$，解得 $$m eq2$$。 例题3：已知 $$y=(k+1)x^{|k|}$$ 是正比例函数，求k的值。 解：正比例函数要求：次数为1、系数不为0、无常数项。 1. $$|k|=1$$，得 $$k=1$$ 或 $$k=-1$$； 2. $$k+1 eq0$$，得 $$k eq-1$$； 综上：$$k=1$$。 六、自变量取值范围 1. 纯数学一次函数 $$y=kx+b$$：自变量x取全体实数； 2. 实际问题中的一次函数：自变量取值必须符合实际意义（长度、数量为正数、整数等）。 七、高频易错点 1. 忽略 $$k eq0$$ 条件，误将 $$k=0$$ 的常函数当成一次函数； 2. 分不清包含关系：误以为一次函数不是正比例函数； 3. 把分式、根式、二次式当成一次函数； 4. 题目含参数时，只看次数不验证系数不为0，导致漏解、错解。 八、本节考点总结 1. 熟记一次函数、正比例函数标准形式； 2. 掌握两者包含关系：正比例函数⊂一次函数； 3. 核心考点：判断函数类型、根据一次函数定义求参数； 4. 本节是一次函数图象、性质、实际应用的前置基础。 问题情境 某人给汽车加油时的计价屏如图所示．加油枪流量是40L/min，加油前油箱中有油6L，在这个过程中有哪些常量、变量？有哪些函数关系？ 加油时，金额y元与加油油量x L具有函数关系， 可以用函数表达式表示，即y＝7.49x． 油箱中的油量Q L与加油时间t min具有函数关系， 可以用函数表达式表示，即Q＝40t＋6． 探索交流 y＝7.49x Q＝40t＋6 它们有什么相同之处与不同之处？你能将它们进行分类吗？ 上面函数表达式中，自变量是什么？函数表达式是关于自变量的几次式？ 观察上述表达式的结构，如何用符号语言表达它们的共同特征？ y＝1－x y＝30t 知识精讲 一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数． 特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)叫作x的正比例函数． 注意： (1)一次函数有三个特征：①k≠0;②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数． (2)正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数． 1.下列函数：；；； ； .其中是一次函数的有( ) B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 返回 中考考法 5 2.下列说法中不正确的是( ) D A.一次函数不一定是正比例函数 B.不是一次函数就一定不是正比例函数 C.正比例函数是特殊的一次函数 D.不是正比例函数就一定不是一次函数 返回 中考考法 6 典例分析 例1 下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ 解：(1) (4) (5) (6) (8)是一次函数， (1) (5) (6)是正比例函数. (1) y＝－8x； (2) y＝； (3) y＝5x2＋6； (4) y＝1－x； (5) y＝－； (6) y＝2＋2(x－1)； (7) y＝ax＋b； (8) y＝ . 新知巩固 1. 下列说法正确的是（　 ） A. y＝2x是正比例函数，但不是一次函数 B. y＝ 不是一次函数 C. y＝－ x 是一次函数 D. y＝10(x＋3)是正比例函数 C 典例分析 例2 写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式，并指出其中的一次函数、正比例函数． 解：(1) C＝4x，C是x的正比例函数． (2) 正方形花圃的面积S m2随边长x m的变化而变化． (1) 正方形花圃的周长C m随边长x m的变化而变化． 解：(2) S＝x²，S不是x的一次函数． 正比例函数中两个变量之间的对应规律是什么？ 典例分析 (3) 如图，A，B两站相距200 km．若火车从B站出发以320 km/h的速度匀速驶向C站，火车与A站的距离y km随行驶时间t h的变化而变化． 解：(3) y＝200＋320t，y是t的一次函数． 典例分析 (4) 如图，搭1条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小鱼”就要增加6根火柴棒．所需火柴棒的根数S随着所搭“小鱼”条数n的变化而变化． 解：(4) S＝8＋6(n－1)，即S＝6n＋2，S是n的一次函数． 讨论交流 　　1. 在章头活动中，量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球总体积(V)的一次函数吗？ h＝10＋ 解：设量筒底面半径为R． 　　量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球总体积(V)的一次函数． 思维提升 例3（2023·山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg的物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式为 　y＝0.5x＋12　． 原来的长度 每挂重t kg的物体，弹簧伸长0.5t cm 增加的长度 y＝0.5x＋12 3.如图，有一块长为、宽为 的长方形木板，现要在长边上截去一 边长为的一个小长方形，则剩余木板的面积与 之间的关 系式为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 14 4.若是关于的正比例函数，则 的值是____. 返回 中考考法 15 5.已知一次函数，当时，___；当时， ___. 0 6 返回 中考考法 16 6.已知，若把看成 的函数，则可表示为_____________. 返回 中考考法 17 7. 已知不挂物体时弹簧的长度为 ，在弹性限度内，每挂 重的物体，弹簧伸长，则挂重后弹簧的长度 与所挂物 体的质量 之间的函数表达式是_____________. 返回 中考考法 18 8. 写出下列各题中关于 的函数表达式，并判断 是否为的一次函数，是否为 的正比例函数. （1）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价元与所买西瓜的质量 千克； 解：依题意得，是 的一次函数，也是正比例函数. （2）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔 盒数与星期数 ； 解：依题意得，是 的一次函数，不是正比例函数. 中考考法 19 （3）小林的爸爸为小林存了一份教育金，首次存入10 000元，以后每 个月存入500元，存入的总金额元与月数 . 解：依题意得，是 的一次函数，不是正比例函数. 返回 中考考法 20 9.已知函数 . （1）当， 为何值时，此函数是一次函数？ 解：由题意，得，且,解得 . 所以当， 为任意实数时，这个函数是一次函数. （2）当， 为何值时，此函数是正比例函数？ 解：由题意，得，，，解得 ， . 所以当， 时，这个函数是正比例函数． 返回 中考考法 21 一次函数的概念 正比例函数中两个变量之间的对应规律 一次函数的概念 一次函数中“k”“b”的实际意义 课堂小结 $