28.1 图形的旋转 小节整合练2026-2027学年人教版九年级数学上册

28.1 图形的旋转 小节整合练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．在以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．坐在火车上睡觉的旅客 D．地下水位线逐年下降 2．如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（    ）    A．   B． C．   D．   3．如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（    ）    A．O B．P C．Q D．M 4．如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，，则的长度为（    ）． A．2 B． C． D． 5．如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知，现将A点绕原点O顺时针旋转90°得到，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方形，点、分别是、边上，且，将绕点逆时针旋转90°，得到．下列结论正确的是（    ） A．是的中点 B． C． D． 9．格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 10．把点绕原点O逆时针旋转，则点P的对应点的坐标是______． 11．请指出时钟的分针由8时分的位置转到8时分的位置所旋转的角度，并指出旋转中心．________ 12．如图，点A在射线OP上，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转30°得到线段OB，延长线段OB到C，使．若点C到OP的距离为3cm，则______cm． 13．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点分别交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 14．如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 三、解答题 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，． (1)将向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，请画出． (2)将绕原点按顺时针方向旋转后得到，请画出． 16．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，连接AD，BE，延长BE交AD于点F．求证：∠DEF＝∠ABF． 18．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 19．综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上．如图2．将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点交轴于点． (1)当旋转角__________时，； (2)若点，求的长； (3)如图3，若正方形的边长为5，对角线交y轴于点，交直线于点，若，求的面积．（用含的代数式表示） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C B B A B B C C 1．【答案】A 【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象 【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确； B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误； C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误； D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定做圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象． 2．【答案】C 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【解析】略 3．【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】根据旋转中心的定义即可求解． 【详解】解：连接，，，，，如图所示：   ，，，且， 点P是旋转中心， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转中心的定义，熟练掌握旋转中心的定义是解题的关键． 4．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质及勾股定理．先根据旋转的性质，得出，，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点， ，， ． 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等． 利用旋转的性质得到，再利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转后得到， ， ， ， ． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】根据点（x，y）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（y，-x）解答即可． 【详解】解：，现将A点绕原点O顺时针旋转90°得到，则的坐标是 故选B 【点睛】本题考查了绕原点顺时针旋转90°得到的坐标的特点，掌握“点（x，y）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（y，-x）”是解题的关键． 7．【答案】B 【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了图形的平移运动和旋转运动，掌握平移和旋转的不变性是解题的关键． 根据平移和旋转的不变性即可求解． 【详解】解：补全图中长方形如图： 则图中空白部分图形的形状和大小与B中的图形一模一样，故B中图形经过旋转和平移能落入空白部分， 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】根据正方形和旋转的性质，可得证得△EDF≌△MDF，可得EF=FM，然后逐项判断即可求解． 【详解】解：在正方形中，AD=CD=BC，∠ADC=∠A=∠B=∠DCM=90°， ∵将绕点逆时针旋转90°，得到． ∴∠ADE=∠CDM，DE=DM，∠EDM=90° ∵， ∴∠ADE+∠CDF=45°， ∴∠MDF=∠CDF+∠CDM=45°=∠EDF， ∵DF=DF， ∴△EDF≌△MDF，故C正确，符合题意； ∴EF=FM， 在中，， ∴，即不是的中点，故A错误，不符合题意； 无法确定BE与BF的大小，故B错误，不符合题意； ∵∠A=∠B=90°， ∴∠AED+∠ADE=∠BEF+∠BFE=90°， ∵∠DEF的大小无法确定， ∴∠AED与∠BFE的大小无法确定， ∵∠AED=∠M， ∴∠M与∠BFE的大小无法确定， ∴EF不一定与DM平行，故D错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画旋转图形 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 10．【答案】 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观；作出图形，过点P作轴于点A，作轴于点B，过点作轴于点，作轴于点，根据点A的坐标求出、的长度，根据旋转变换只改把图形的位置，不改变图形的形状与大小求出、的长度，即可得解. 【详解】解：过点P作轴于点A，作轴于点B，过点作轴于点，作轴于点，如图所示： ∵点， ∴，， ∵点绕原点O逆时针旋转得到点， ∴，， ∴点的坐标是. 故答案为：. 11．【答案】旋转的角度为，旋转中心为时钟的中心． 【知识点】钟面角、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握时钟上分针1分钟转是解题的关键．根据旋转的定义，以及时钟上分针1分钟转，进行计算即可解答． 【详解】解：时钟上分针1分钟转， 时10分到8时40分，时钟上分针旋转的角度， 旋转的角度为，旋转中心为时钟的中心． 12．【答案】1 【知识点】点到直线的距离、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】过C点作CD⊥OP于D点，则有CD=3cm，根据旋转可知∠O=30°，在Rt△ACD中，解直角三角形可得OC，进而可求出OB，根据旋转可知OB=OA，即OA得解． 【详解】过C点作CD⊥OP于D点，如图， 则有CD=3cm， 根据旋转可知，∠O=30°， ∴在Rt△ACD中，， 则有OC=2CD=6cm， 又∵BC=5cm， ∴OB=OC-BC=6-5=1cm， 根据旋转可知OB=OA， ∴OA=1cm， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质、解直角三角形等知识，依据旋转的性质确定∠O=30°以及确定CD=3是解答本题的关键． 13．【答案】①②④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质：全等三角形性的判定以及性质． 根据两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等故①正确．根据进而得出，即可得出，故④正确，再④的条件下利用全等三角形的性质可得，进一步得出，即，故②正确，由于，而与顺时针旋转的度数不一定相等，所以与不一定相等；故③错误． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转度，得到， ∴，， ∵， ∴，故①正确， ∵， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴ 在和中， ，，， ∴， ∴，，故④正确， ∵， ∴，即，故②正确， ∵，α是可变化的角，是固定角， ∴不一定等于， ∴不一定等于，故③错误， 综上所述：①②④正确， 故答案为：①②④． 14．【答案】 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、面积问题(旋转综合题) 【分析】依题意，为等腰直角三角形，由题意证得当三点共线时，面积最大，此时，的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解： 连，由题意得 ， ∵ ， ， ∴，为等腰直角三角形， ， ∵的底边是个定值， 如图，作边上的高， ∴当高最大时， 面积才能取得最大值， ∴如图，当矩形旋转到三点共线时，高才能取得最大值， 此时， 的最大值为， ∴ 的面积最大值为． 15．【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求． 【知识点】平移(作图)、画旋转图形 【详解】（1）略 （2）略 16．【答案】 先把图案先向左平移得到，再利用轴对称变换得到，然后利用旋转变换得到 【知识点】图形的平移、轴对称图形的识别、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 先把基本图形向左平移，再利用轴对称变换得到，然后把旋转即可得到题中图形． 【详解】解：略． 17．【答案】见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而得出，然后根据∠ABC＝∠CED＝90°，利用等角的余角相等即可证明． 【详解】证明：如图， ∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC， ∴， ∴CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵∠ABC＝∠CED＝90°， ∴∠DEF+∠CEB＝90°，∠ABF+∠CBE＝90°， ∴∠DEF＝∠ABF． 【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，解题的关键根据得出． 18．【答案】(1) 证明：如图，将绕点逆时针旋转 得到， 则：， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴； (2)6 (3) ，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接， 则：，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、线段问题(旋转综合题)、面积问题(旋转综合题) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证； （2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积； （3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 19．【答案】(1) (2)的长为 (3) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积计算，解题的关键是灵活运用几何图形的性质，通过全等转化、勾股定理列方程或构造特殊三角形求解。 （1）利用正方形性质及定理证明，结合直线平分第一象限直角的特点，推出，从而求得旋转角； （2）过点、作坐标轴垂线，由旋转性质得，求出，再利用勾股定理列方程组求解的长度；（3）根据正方形对角线性质得出，构造等腰直角三角形，求出高，再代入三角形面积公式计算。 【详解】（1）解：∵ 四边形是正方形， ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∵ 直线平分第一象限内的直角， ∴ ． ∵ ， 即， ∴ ． 故答案为：． （2）解：过点A作x轴的垂线，垂足为点G；过点C作y轴的垂线，垂足为H。 由旋转性质可知，， ∵ 点， ∴ ，， 即 ，． 在与中，由勾股定理得， ，即， 解得：. 答：的长为． （3）解：过作于， ∵ 为正方形的对角线， ∴ ．又， ∴ 为等腰直角三角形，． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $