25.1 一元二次方程的概念 课后单元练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 紧扣人教版九年级数学25.1一元二次方程概念，通过基础辨析、能力应用与文化情境题，适配单元复习，强化概念理解与核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|概念辨析、一般形式、根的判断|结合杨辉问题（文化传承），考数学眼光| |填空题|5|方程识别、系数确定|强化符号意识，基础巩固| |解答题一|3|化为一般形式、方程类型判断|训练运算能力，落实数学思维| |解答题二|3|参数讨论、新定义“有爱方程”|创新应用，体现模型意识与推理能力|

2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学25.1一元二次方程的概念课后自主练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 3．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 6．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 7．若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 8．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（   ） A．0 B． C．4 D． 9．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 10．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 二、填空题（共5小题） 11．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 12．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 13．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 14．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 15．若a是方程的一个解，则的值是________． 三、解答题一（共3题） 16．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 17．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 18．已知a是方程的一个实数根，求的值． 四、解答题二（共3题） 19．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 20．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 21．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学25.1一元二次方程的概念课后自主练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 3．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 5．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 6．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 7．若m是方程的一个根，则的值是（    ） A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】C 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 8．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（   ） A．0 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：原方程整理为一般形式：． 因不含一次项，故一次项系数，解得． 同时需保证二次项系数，即， 因此． 故答案为：D． 9．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 10．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 二、填空题（共5小题） 11．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 12．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 13．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 14．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 15．若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 三、解答题一（共3题） 16．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 17．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 18．已知a是方程的一个实数根，求的值． 【答案】2032 【详解】解：由题意得：，即， ∴． 四、解答题二（共3题） 19．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 20．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 21．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1) 一元二次方程是“有爱方程”，理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． (2) 证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． (3)或 【详解】（1）略 （2）略 （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $