第二十五章 一元二次方程 单元小测 2026-2027学年人教版数学 九年级上册

人教版 · 九年级上册 · 第二十五章　一元二次方程　单元小测 第二十五章　一元二次方程　单元小测 人教版 · 九年级上册 · 数学 考试时间：90分钟　　满分：120分　　姓名：__________　班级：__________　得分：__________ 第一部分　知识点梳理 知识点1　一元二次方程的概念 1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2．一般形式：（）。其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。 3．判断方法（“三看”）：一看是不是整式方程；二看化简后是否只含一个未知数；三看化简后未知数的最高次数是否为2。 4．方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做根。 易错提醒：（1）写系数时要连同前面的符号一起写，例如 的一次项系数是 ，不是5；（2）含字母系数的方程 是一元二次方程，必须满足 ，即 ；（3）方程 中含有分式，不是一元二次方程。 例1　把方程 化成一般形式，并写出各项系数。 解：去括号得 ，移项、合并同类项得 。所以二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为 。 知识点2　一元二次方程的解法 1．直接开平方法：适用于 或 型的方程。当 时，方程有两个不相等的实数根 ，；当 时，；当 时，方程无实数根。 2．配方法：通过配成完全平方式的形式来解一元二次方程。一般步骤： （1）移项：把常数项移到方程右边； （2）化1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上 ； （4）变形：左边写成完全平方式，化为 的形式； （5）开方求解：当 时用直接开平方法求解。 3．公式法：一元二次方程 （），当 时，它的根是 用公式法解方程的步骤：先化成一般形式，确定 ，， 的值；再计算 的值；最后当 时代入求根公式。 4．因式分解法：先使方程的右边为0，再把左边分解为两个一次因式的积，从而把一元二次方程化为两个一元一次方程求解。依据是：若 ，则 或 。常用方法有提公因式法、公式法（平方差、完全平方）。 解法选择技巧：缺一次项（形如 ）→ 直接开平方法；缺常数项（形如 ）→ 提公因式法；方程两边含有相同因式 → 因式分解法（切忌两边同除以含未知数的式子，否则会漏根）；二次项系数为1、一次项系数为偶数 → 配方法；其他情况 → 公式法（万能方法）。 例2　用配方法解方程 。 解：移项，得 ；二次项系数化为1，得 ；配方，得 ，即 。 开平方，得 ，所以 ，。 知识点3　一元二次方程根的判别式 式子 叫做一元二次方程 （）根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即 。 （1） ⟺ 方程有两个不相等的实数根； （2） ⟺ 方程有两个相等的实数根 ； （3） ⟺ 方程没有实数根。 特别地，“方程有实数根”包括有两个相等和两个不相等两种情况，对应 。 易错提醒：利用判别式求字母取值范围时，若题目说是“一元二次方程”，一定要同时考虑二次项系数不为0的条件。 知识点4　一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 （）的两个根为 ，，则 ， 常见变形：；；。 注意：使用根与系数的关系的前提是方程有实数根，即 。 知识点5　实际问题与一元二次方程 1．增长（降低）率问题：设基数为 ，平均增长（降低）率为 ，经过两次增长（降低）后的量为 ，则 （或 ）。 2．传播问题：1个传染源每轮传染 个，经过两轮后共有 个被传染（含传染源）。 3．比赛（握手）问题： 个队进行单循环比赛（每两队之间赛一场），共赛 场；进行双循环比赛，共赛 场。 4．面积问题：常利用“平移”把道路、边框等移到边上，使剩余部分拼成一个规则图形。 5．销售利润问题：总利润 =（售价 - 进价）× 销售量。 列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。解出方程的根后，一定要检验是否符合实际意义。 第二部分　单元小测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．把方程 化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，-2，-3 B．1，-4，-3 C．1，4，-3 D．1，-4，3 3．方程 的根是（　　） A． B． C．， D．， 4．用配方法解方程 ，配方后所得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值为（　　） A．-2 B．2 C．3 D．-3 7．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．设 ， 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A． B． C． D．15 9．某商品原价200元，连续两次降价 % 后售价为128元，则 的值为（　　） A．10 B．20 C．25 D．36 10．已知等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．无法确定 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．方程 的解是__________。 12．若关于 的方程 是一元二次方程，则 满足的条件是__________。 13．填空：____________。 14．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ______。 15．已知关于 的方程 的一个根是2，则它的另一个根是______，______。 16．若 是方程 的一个根，则代数式 的值为__________。 17．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛28场。设共有 个队参赛，则可列方程为______________，参赛队数为______个。 18．如图，在长为32 m、宽为20 m的矩形空地上，修筑一横一竖两条互相垂直且宽度相同的道路，剩余部分种植草坪。若草坪面积为540 m²，则道路的宽为______m。 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）；　　　　　　　（2）； （3）；　　　　　　（4）。 20．（6分）用配方法解方程：。 21．（8分）已知关于 的一元二次方程 。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）若方程的两个实数根 ， 满足 ，求 的值。 22．（8分）为推进绿色出行，某县大力建设公共充电桩。2023年底该县共有公共充电桩500个，2025年底达到720个。 （1）求该县2023年底至2025年底公共充电桩数量的年平均增长率； （2）若保持这个年平均增长率不变，预计2026年底该县公共充电桩的数量是多少个？ 23．（8分）某文具店销售一种笔记本，每本进价30元。当售价为40元时，平均每天可售出200本。经市场调查发现：售价每上涨1元，平均每天少售出10本。若文具店想每天获利2160元，并且尽可能让顾客得到实惠，则每本笔记本的售价应定为多少元？ 24．（12分）如图，某农户准备利用一面墙（墙长18 m），用32 m长的篱笆围成一个矩形养鸡场ABCD（墙的一部分作为AD边，其余三边用篱笆围成）。 （1）若养鸡场的面积为120 m²，求垂直于墙的边AB的长； （2）养鸡场的面积能否达到130 m²？请说明理由。 25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm。点P从点A出发，沿边AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时点Q从点B出发，沿边BC以2 cm/s的速度向点C移动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为 s。 （1）经过几秒，△PBQ的面积等于8 cm²？ （2）经过几秒，线段PQ的长度等于 cm？ （3）△PBQ的面积能否等于10 cm²？请说明理由。 第三部分　参考答案及解析 一、选择题 答案速查：1．C　2．B　3．C　4．B　5．D　6．B　7．B　8．A　9．B　10．B 1．【答案】C 【解析】A项含有两个未知数，是二元一次方程；B项中 是分式，该方程不是整式方程；D项中当 时不是一元二次方程；只有C项符合一元二次方程的定义。故选C。 2．【答案】B 【解析】展开左边得 ，即 ，移项合并得 ，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-4，-3。故选B。 3．【答案】C 【解析】移项得 ，因式分解得 ，所以 ，。注意不能两边同除以 ，否则会漏掉 这个根。故选C。 4．【答案】B 【解析】移项得 ，两边加上 得 ，即 。故选B。 5．【答案】D 【解析】，，，，所以方程没有实数根。故选D。 6．【答案】B 【解析】把 代入方程，得 ，解得 。故选B。 7．【答案】B 【解析】由题意得 ，解得 。故选B。 8．【答案】A 【解析】由根与系数的关系得 ，，所以 。故选A。 9．【答案】B 【解析】根据题意得 ，所以 ，（ 不合题意，舍去），所以 ，即 。故选B。 10．【答案】B 【解析】解方程 得 ，。若腰长为2，则三边为2，2，5，因为 ，不能构成三角形；若腰长为5，则三边为5，5，2，能构成三角形，周长为 。故选B。 二、填空题 答案速查：11．，　12．　13．9；3　14．4　15．-3；1　16．2028　17．；8　18．2 11．【解析】直接开平方得 ，所以 ，。 12．【解析】一元二次方程的二次项系数不能为0，所以 ，即 。 13．【解析】配方时加上一次项系数一半的平方：，所以 。 14．【解析】方程有两个相等的实数根，则 ，解得 。 15．【解析】把 代入方程得 ，所以 。设另一个根为 ，由 得 。 16．【解析】因为 是方程的根，所以 ，即 。所以 。（整体代入思想） 17．【解析】每个队都要与其余 个队各赛一场，但每两队之间只赛一场，所以共赛 场。列方程 ，整理得 ，解得 ，（舍去），所以共有8个队参赛。 18．【解析】把两条道路分别平移到矩形的边上，剩余草坪可拼成一个长为 m、宽为 m的矩形。列方程 ，整理得 ，即 ，解得 ，。因为 不合题意，舍去，所以道路宽为2 m。 三、解答题 19．【解】 （1）因式分解得 ，所以 或 ，解得 ，。 （2），，，， 所以 ，即 ，。 （3）移项得 ，提公因式得 ，所以 或 ，解得 ，。 （4）直接开平方得 或 。由 得 ；由 得 ，。所以 ，。 【点评】第（3）题不能两边同除以 ，否则会丢失 这个根。 20．【解】 移项得 ；配方得 ，即 ； 开平方得 ，所以 ，。 21．【解】 （1）。 因为方程有两个不相等的实数根，所以 ，解得 。 （2）由根与系数的关系得 ，。 所以 。 由 得 ，解得 ，。 又因为方程有实数根，所以 ，即 ，故 舍去。所以 。 【点评】利用根与系数的关系求出字母的值后，必须用 进行检验。 22．【解】 （1）设年平均增长率为 。根据题意，得 ，即 。 所以 ，解得 ，（不合题意，舍去）。 答：年平均增长率为20%。 （2）（个）。 答：预计2026年底该县公共充电桩的数量是864个。 23．【解】 设每本笔记本的售价上涨 元，则每本利润为 元，即 元，每天销售量为 本。 根据题意，得 。 整理得 ，即 ，解得 ，。 因为要尽可能让顾客得到实惠，所以售价应尽量低，取 ，此时售价为 （元）。 答：每本笔记本的售价应定为42元。 24．【解】 （1）设AB的长为 m，则平行于墙的边BC的长为 m。 根据题意，得 ，整理得 ，解得 ，。 当 时，，超过了墙长，不合题意，舍去； 当 时，，符合题意。 答：垂直于墙的边AB的长为10 m。 （2）不能。理由如下：若面积为130 m²，则 ，整理得 。 因为 ，所以该方程没有实数根。 因此养鸡场的面积不能达到130 m²。 25．【解】 由题意知 cm， cm， cm。点Q到达点C需 （s），点P到达点B需 （s），所以 。 （1）。 由 得 ，解得 ，，都在 范围内。 答：经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm²。 （2）在Rt△PBQ中，由勾股定理得 。 由 ，整理得 ，即 ， 解得 ，，都符合题意。 答：经过 s或2 s，线段PQ的长度等于 cm。 （3）不能。理由如下：令 ，整理得 ， 因为 ，方程没有实数根，所以△PBQ的面积不能等于10 cm²。 四、本章易错点归纳 1．忽略一元二次方程中二次项系数 的条件，如第12题、第21题。 2．解方程时两边同除以含未知数的式子造成漏根，如第3题、第19（3）题。 3．配方时方程两边没有同时加上同一个数，或没有先把二次项系数化为1。 4．应用题求出方程的根后没有检验是否符合实际意义，如第9题、第18题、第24题。 5．等腰三角形问题中忽略三角形三边关系的检验，如第10题。 6．利用根与系数的关系求出字母的值后，没有用判别式检验，如第21题。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $