第二章 反比例函数单元自测 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 反比例函数 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的三种表达形式（为常数，）、（为常数，）、（为常数，），逐一判断选项，选出符合定义的函数． 【详解】解：：是正比例函数，不是反比例函数； ：的分母为，不是的反比例函数； ：含常数项，不符合反比例函数形式； ：，是反比例函数． 2．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值的性质，先求再判断各选项的点是否在图象上． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵函数图象经过点． ∴， ∴该函数解析式为， A、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； B、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； C、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； D、当时，，则此函数图象经过该点，故本选项符合题意． 3．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 4．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 5．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 7．如图，点在反比例函数（）图象上，点在反比例函数（，）的图象上，轴，轴交轴于点，连接，交反比例函数（）图象于点，若为的中点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标为，利用平行关系可得，，根据中点公式得出，代入，即可求出的值． 【详解】解：设点坐标为， ∵轴，轴交轴于点，点在反比例函数（，）的图象上， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵连接，交反比例函数（）图象于点， ∴， 解得． 8．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】①通过证明判断；②根据值不确定判断角度不确定；③分别计算四边形和的面积进行比对；⑤利用旋转全等模型求出点、坐标，进而求直线解析式；④通过反例或特定条件判断； 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点、在反比例函数图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵值不确定，大小不确定， ∴不一定等于，故②错误； ③设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，故③正确； ⑤将绕点逆时针旋转得到， 则，， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得（负值已舍去）， ∴正方形边长， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为，故⑤正确； ④由⑤知仅当时，成立，一般情况下不成立，故④错误； 综上所述，正确结论有①③⑤，共3个． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 【答案】3 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以得到哪个函数的y随着x的增大而减小，从而可以解答本题． 【详解】解：①在中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小，故①符合题意； ②在中，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而增大，故②不符合题意； ③在中，一次项系数， ∴y随着x的增大而增大，故③不符合题意； ④在中，变形得函数，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而减小，故④符合题意； ⑤在中，反比例函数系数， 当时，y随着x的增大而减小，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①④⑤，共有3个． 如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：由反比例函数的图象，可知， 10．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：由反比例函数的图象，可知， ∴整数k可取4．（答案不唯一） 11．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 12．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 13．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 14．山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时，此时的值即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【答案】24 【分析】根据全等三角形的判定方法可得求出C的坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】 解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴， ， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 16．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 【答案】10 【分析】点是两个函数交点，因此坐标满足两个函数解析式，可得和的值，利用完全平方公式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点是两个函数图象的交点， ∴点坐标满足两个函数解析式， ∴，即，同时，即， ∵， ∴代入，，得：． 17．如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，轴于 ∴， 连接，， ， 同理， ∵ ， ∴， ， … ∴， ∴当时，． 18．如图，正方形ABCO和正方形DCEF，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点A（0，2）．点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，则H点坐标为____________________． 【答案】（﹣1，2）或（3，6）或（1，﹣2） 解：∵点A（0，2）， ∴OA＝2， ∴正方形ABCO的面积为4， ∵点B在反比例函数（k≠0）第一象限的图象上， ∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：k＝4， ∴该反比例函数的解析式为：； 依题意得：点B（2，2）， ∵点G在该反比例函数图象上，它的纵坐标是4， ∴点G的坐标为（1，4）， ∵H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形， ∴有以下三种情况： ①当OG是平行四边形OBGH的对角线时，连接BH交OG于点Q，如图1所示： ∴点Q是OG，BH的中点， ∵点O（0，0），点G（1，4）， ∴点Q的坐标为， 设点H的坐标为（m，n）， ∵点Q是BH的中点， ∴，， ∴m＝﹣1，n＝2， ∴点H的坐标为（﹣1，2）； ②当OG是平行四边形OBHG的一边时， 连接OH交BG于点P，如图2所示： ∴点P是BG和OH的中点， ∵点B（2，2），点G（1，4）， ∴点P， ∴点H的坐标为（3，6）， 当OB为对角线时，连接GH，设GH交OB于点R，如图3所示： ∵点R是点O（0，0），点B（2，2）的中点， ∴点R的坐标为（1，1）， 设点H的坐标为（t，h）， ∵点G的坐标为（1，4）， ∴，， 解得：t＝1，h＝﹣2， ∴点H的坐标为（1，﹣2）， 综上所述：H点坐标是（﹣1，2）或（3，6）或（1，﹣2）． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 20．（6分）已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与成反比例设出函数形式，再代入已知条件求出得到函数关系式； （2）将代入计算即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例， ∴设， 将，代入得， 解得， ∴和之间的函数关系式为； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 解得． 21．（6分）如图，直线与双曲线相交于两点，与轴交于点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先求出反比例函数表达式，再求出B点坐标，然后用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）将沿分割，以为底，分别求与的面积即可； （3）找出直线在双曲线下方的部分即可. 【详解】（1）解：∵过 ∴ ∴ 双曲线过 ∵过 ∴ 解得 （2）解：对，令，则， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）解：由图象可得：当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 22．（7分）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于的时长． 【答案】(1)； (2)分钟 【分析】（1）根据函数图象分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （2）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； 【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：， 解得：， ； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：，解得：， 关于的函数关系式为； （2）解：当时，，解得； ， 解得， 在一个循环内水温不低于的时间为（分钟） 23．（7分）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)函数图象如图： (3)①减小；②；③右，1 (4)或 【分析】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ； （2）略 （3）①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； （4）的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 24．（8分）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年月到月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： 工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元瓶 统计售价（元瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． 该矿泉水的供给量关于售价（元瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶） 月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)；； (2)月出售这种矿泉水每瓶获利最大； (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元． 【分析】（）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱， ∴，， 根据信息可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，即月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意，， 当该矿泉水需求量与供给量相等时，， 解得：（舍去）， 当时，， ，解得：， 总利润为（元）， 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元． 25．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 26．（8分）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】(1)解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； (2)证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； (3)解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 27．（9分）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）； ②； 如图如图所示：    ③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2） 是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②略． ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④ ， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二章 反比例函数 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 3．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 5．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 7．如图，点在反比例函数（）图象上，点在反比例函数（，）的图象上，轴，轴交轴于点，连接，交反比例函数（）图象于点，若为的中点，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，与相交于点．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④；⑤若，，则直线的函数解析式为．其中正确结论的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 10．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 11．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 12．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 13．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 14．山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 16．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 17．如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 18．如图，正方形ABCO和正方形DCEF，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上，点D在CB边上，点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，其中点A（0，2）．点G在反比例函数图象上，它的纵坐标是4，H是坐标平面内一点，O、B、G、H四个点组成一个平行四边形，则H点坐标为____________________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 20．（6分）已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 21．（6分）如图，直线与双曲线相交于两点，与轴交于点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 22．（7分）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于的时长． 23．（7分）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 24．（8分）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年月到月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： 工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元瓶 统计售价（元瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． 该矿泉水的供给量关于售价（元瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶） 月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 25．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 26．（8分）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 27．（9分）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $