第二章 反比例函数（单元基础自测卷） - 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为江苏地区九年级反比例函数单元基础自测卷，整合中考真题与模拟题，覆盖函数图象、性质及应用，适配单元复习，助力基础巩固与数学思维、模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|图象经过点、象限分布等基础性质|第1题中考真题直接考查图象上的点，强化基础认知| |填空题|8/16|k值计算、矩形面积、实际应用|第13题新能源汽车充电问题，体现数学模型与应用意识| |解答题|7/60|解析式求解、函数交点、探究性问题|第22题天舟九号加热餐具温度变化，融合科技情境，培养数据意识；第23题函数性质探究，发展创新思维|

第二章 反比例函数（单元基础自测卷） 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：江苏地区九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 2．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 3．（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，即， 选项，，该点在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上： 4．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 5．（2025·江苏盐城·一模）对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，中，图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，由此逐项判断即可． 解：当时，，故图象经过点，故选项A说法正确，不合题意； 由可得图象位于第二、四象限，故选项B说法正确，不合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项C说法错误，符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不合题意； 故选C． 6．（2026·湖北十堰·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A的坐标可排除选项A和B，根据时，，可排除选项D，从而可确定选项C符合题意． 解：设 点在反比例函数的图象上，轴， ∴，，故选项A，B不符合题意； 当时，， ∴，故选项D不符合题意； ∴点B的横坐标为2，纵坐标大于1且小于，故选项C符合题意． 7．（2026·湖北武汉·模拟预测）某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据y随x的变化趋势确定比例系数的取值范围，再匹配选项得到答案． 解：∵x是设定温度，故，又x增大时y随之减小，对于反比例函数，当时，y随x增大而减小. 本题中比例系数， ∴， 解得， 选项中只有，符合要求． 8．（2026·宁夏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（2026·陕西榆林·二模）已知点和点都是反比例函数（k为常数，且）的图象上的点，则的值为______． 【答案】0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别得到与、与的关系，整理即可求出的值． 解：将代入得：，即 ， 将代入得：，即 ， 因此可得 ，整理得 ，即 ． 10．（2025·福建龙岩·一模）如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意得出矩形的面积为，进而即可求解． 解：如图， 依题意，矩形和反比例函数图像都是中心对称图形，为对称中心，点在函数的图像上， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积为 故答案为：． 11．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案． 解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0， ∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2026·云南昆明·二模）下表是几组y与x的对应值，则y关于x的函数解析式为______． x … 1 2 3 … y … 3 4.5 9 … 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是从表格中发现与的规律关系．观察表格得，，可得关于的函数解析式． 解：观察表格得，， ， 故答案为：． 13．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，再根据，解出即可求解． 解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即， 解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 14．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 15．（2025·浙江杭州·三模）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，一次函数、二次函数和反比例函数的性质．利用一次函数、二次函数和反比例函数的性质求得y随x的增大而减小的情况数，再根据概率公式求解即可． 解：，，则y随x的增大而增大， ，，则y随x的增大而减小， ，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ，，图象在一三象限，在每个象限，y随x的增大而减小， ∴恰好抽到y随x的增大而减小的情况只有一种， ∴任意抽取一张，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是． 故答案为：． 16．（2026·广东深圳·三模）如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 【答案】 【分析】因为点与点关于原点对称，且的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目． 解：连接， ∵点与点关于原点对称，的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 17．（8分）（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】（1）；（2）点在反比例函数的图象上 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质． （1）根据表格数据待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． （1）解：设反比例函数的关系式为（）， 由表可知，， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：当时，， 点在反比例函数的图象上． 18．（8分）（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】（1），；（2）16 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． （1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 19．（8分）（2026·青海·中考真题）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），，；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题： （1）分别把点，点代入，可求出点A，B的坐标，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． （1）解：把点代入中，得：， ∴点A的坐标为， 把点代入中，得：， ∴点B的坐标为， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数的解析式为， （2）解：根据一次函数和反比例函数图象，得： 当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， ∴的解集为或． 20. （8分）（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可． （2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题． （1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴点A的坐标为． ∵反比例函数 的图象经过点， ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：过A点作y轴的垂线，垂足为点H， ∵， 则，． 由勾股定理，得, 由图象的对称性，可知． 又∵， ∴． ∴C点的坐标为． 【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键． 21．（8分）（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；（2）点，直线l平移的距离为． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． （1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 22．（10分）（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． （1）求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） （2）若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值，即可得出结果． （1）解：食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设． 反比例函数的图象过点， ，解得， ． （2）令，得，解得． 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待． 23．（10分）（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： （1）绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． （2）探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ （3）运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】（1）①；②③如图： （2）①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）；（3）或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． （1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②略 ③略 （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 反比例函数（单元基础自测卷） 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：江苏地区九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 3．（2026·重庆·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 5．（2025·江苏盐城·一模）对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 6．（2026·湖北十堰·二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北武汉·模拟预测）某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 8．（2026·宁夏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．（2026·陕西榆林·二模）已知点和点都是反比例函数（k为常数，且）的图象上的点，则的值为______． 10．（2025·福建龙岩·一模）如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为______． 11．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 12．（2026·云南昆明·二模）下表是几组y与x的对应值，则y关于x的函数解析式为______． x … 1 2 3 … y … 3 4.5 9 … 13．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 14．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 15．（2025·浙江杭州·三模）将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是________． 16．（2026·广东深圳·三模）如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 17．（8分）（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 18．（8分）（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 19．（8分）（2026·青海·中考真题）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 20. （8分）（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足，求点C的坐标． 21．（8分）（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 22．（10分）（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． （1）求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） （2）若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 23．（10分）（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： （1）绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． （2）探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ （3）运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 学科网（北京）股份有限公司 $