第三章实数素养培优卷（温州地区）2026～2027 学年浙教版数学七年级上册

2026~2027 学年浙教版七年级上册数学第三章实数素养培优卷（温州地区） 满分 100 分 考试时间 90 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3 分）下列各数中，最大的是（　　） A．+1　　B．+1.8　　C．+1.5　　D． 2．（3 分）若 0＜a＜1，则 a，a2， 的大小关系是（　　） A．a＞a2＞　　B．＞a＞a2　　C．a2＞a＞　　D．＞a2＞a 3．（3 分）一个正方体的体积是另一个正方体体积的 8 倍，则它的棱长是另一个正方体棱长的（　　） A．2 倍　　B．4 倍　　C．8 倍　　D． 倍 4．（3 分）若一个数的立方根是 −2，则这个数的平方根是（　　） A．±2　　B．−2　　C．±4　　D．不存在 5．（3 分）下列各式正确的是（　　） A．+=　　B．=−3　　C．=−5　　D．=− 6．（3 分）下列命题中，正确的是（　　） A．若 |a|=|b|，则 a=b　　B．若 a=b，则 =　　C．若 a=b，则 |a|=|b|　　D．若 a＞b，则 |a|＞|b| 7．（3 分）在数轴上，表示 − 的点与表示 的点之间（不包括这两点）表示整数的点共有（　　） A．4 个　　B．5 个　　C．6 个　　D．7 个 8．（3 分）已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的立方根是 2，则 m+cd+a+b 的值是（　　） A．7　　B．9　　C．8　　D．10 9．（3 分）若 1＜a＜2，则 |a−1|+|a−2| 的值是（　　） A．2a−3　　B．3−2a　　C．1　　D．−1 10．（3 分）设 a＝，b＝π，c＝3.15，则 a、b、c 的大小关系是（　　） A．a＞c＞b　　B．c＞a＞b　　C．b＞c＞a　　D．a＞b＞c 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）使 有意义的 x 的取值范围是＿＿；当 x=3 时， 的值是＿＿． 12．（3 分）已知 的整数部分是 3，则 a 的取值范围是＿＿． 13．（3 分）若 ＜3，则整数 x 的最大值是＿＿． 14．（3 分）已知 (x−1)2=16，(y+2)3=−27．解答下列问题：x 的值是＿＿；若 x＜0，则 x+y 的值是＿＿． 15．（3 分）+−|−|=＿＿． 16．（3 分）若 与 （n 为整数）的值都是整数，且 1＜n＜100，则满足条件的整数 n 的个数是＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（7 分）计算： (1) |−2|+−； (2) −+|−2|； (3) +−； (4) |−1|+|−|−． 18．（6 分）如图，正方形 ABCD 的面积是 2，顶点 A 与数轴的原点 O 重合，点 B 在数轴上方．以点 O 为圆心、AB 的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 P．解答下列问题： (1) 求正方形 ABCD 的边长； (2) 判断正方形的边长是有理数还是无理数，并说明理由； (3) 写出点 P 表示的数； (4) 若把正方形的面积扩大到原来的 2 倍，则它的边长变为原来的多少倍？ 19．（6 分）观察下列各式：=2，=−2；=3，=−3．解答下列问题： (1) 猜想 （a＞0）与 之间的关系，并再举一个例子验证； (2) 利用(1)的结论，写出 − 的结果； (3) 若 =1.2，则 =＿＿． (4) 已知 与 互为相反数，求 m 的值． 20．（6 分）已知正数 a（a≠0）的两个平方根分别是 x 和 y（x≠y）．解答下列问题： (1) 求 x+y 的值； (2) 求 xy 的值（结果用含 a 的式子表示）； (3) 若 x−y=8，求 a 的值． 21．（6 分）观察下列各式： ＝1+2＝3； ＝1+2+3＝6； ＝1+2+3+4＝10； …… 解答下列问题： (1) 按照上述规律写出下一个等式（被开方数中最后一个加数是 53）； (2) 猜想 （n 为正整数）的值，并用含 n 的式子把它表示出来； (3) 请说明等式 ＝1+2+3+4 成立的理由． 22．（7 分）小温同学发现：＝8，＝4，两者并不相等．对于正数 a， 与 的大小关系究竟如何？解答下列问题： (1) 当 a=64 时，分别求 与 的值，并比较它们的大小； (2) 当 a= 时，分别求 与 的值，并比较它们的大小； (3) 猜想：当 a＞1 时，＿＿；当 0＜a＜1 时，＿＿；当 a=1 时，＿＿（填「＞」「＜」或「＝」）； (4) 就 a＞1 的情形，说明 ＞ 成立的道理（提示：把 与 都乘方到 6 次，再比较乘方的结果）． 23．（7 分）我们已经知道 0 的平方根、算术平方根、立方根都等于 0．请分别写出满足下列条件的所有数，并说明理由： (1) 平方根都等于它本身的数； (2) 算术平方根等于它本身的数； (3) 立方根都等于它本身的数． 24．（7 分）已知 2m−1 与 m+4 是同一个正数的平方根．解答下列问题： (1) 求 m 的值；(2) 求这个正数． 【参考答案与详细解析】 1．【答案】A 【解析】 逐一估算再比较： ∵ 22=4＜5＜9=32，∴ 2＜＜3，≈2.236，∴ +1≈3.236； ∵ 12=1＜2＜4=22，∴ 1＜＜2，≈1.414，∴ +1.8≈3.214； ∵ 12=1＜3＜4=22，∴ 1＜＜2，≈1.732，∴ +1.5≈3.232； ∵ 22=4＜7＜9=32，∴ 2＜＜3，≈2.646． ∵ 3.236＞3.232＞3.214＞2.646，∴ 最大的是 +1．故选 A． 【易错提醒】①四个选项都要估出近似值再比较，不能只看被开方数的大小： 的被开方数最大，但它不带任何加数，反而是四个选项中最小的；②+1 与 +1.5 只相差约 0.004，估算必须保留到小数点后三位，粗略估成「都在 3.2 附近」就比不出大小；③比较含根式的数，先把每个根式夹在两个连续整数之间，再取近似值逐一比较。 2．【答案】B 【解析】 取 a= 验证：a2=，=． ∵ ＞＞，∴ ＞a＞a2． 一般地：0＜a＜1 时，a×a 使积变小，故 a2＜a；而 a 是 a2 的算术平方根，开方使数变大，故 ＞a．故选 B． 【易错提醒】本题结论与「a＞1」时相反：a＞1 时 a2＞a＞，所以先看清 a 的取值范围再判断，不能凭 a＞1 的印象直接套用；小题用特殊值（如 ）验证是最稳的方法。 3．【答案】A 【解析】 设小正方体的棱长为 a，则它的体积为 a3． 大正方体的体积为 8a3，设其棱长为 b，则 b3=8a3， ∴ b 是 8a3 的立方根，即 b=2a（∵ (2a)3=8a3）， ∴ 大正方体的棱长是小正方体棱长的 2 倍．故选 A． 【易错提醒】体积与棱长之间是「立方」关系：体积变为 8 倍时棱长只变为 =2 倍，不能把 8 直接当成倍数；若体积变为 27 倍，棱长则是 3 倍。 4．【答案】D 【解析】 设这个数为 x，则 =−2，∴ x=(−2)3=−8． ∵ −8＜0，负数没有平方根，∴ 这个数的平方根不存在．故选 D． 【易错提醒】本题两步都要走通：先由立方根还原原数得 −8，再判断平方根是否存在；错选 A、B 的同学是把「立方根 −2」当成了原数，错选 C 的同学误认为 −8 有平方根。负数没有平方根，但任何数都有立方根，这点不能混。 5．【答案】D 【解析】 A．=1，=2，左边=1+2=3，而 是无限不循环小数且大于 2，两边不相等，故 A 错误； B．(−3)2=9，=3，结果应为 3 而不是 −3，故 B 错误（ 表示 a2 的算术平方根，结果非负）； C．−25＜0，负数没有平方根， 无意义，故 C 错误； D．(−2)3=−8，23=8，∴ =−2，=2，−2=−2，故 D 正确． 故选 D． 【易错提醒】A 是最典型的错误：根号不能「加」进去，+≠；B 中算术平方根一定要取非负值；C 混淆了平方根与立方根的存在条件——负数没有平方根，却有立方根。 6．【答案】C 【解析】 A．|a|=|b| 时 a 与 b 可能相等也可能互为相反数，如 a=3，b=−3，故 A 错误； B．a=b 时若它们都是负数，、 没有意义，如 a=b=−2，故 B 错误； C．两个数相等，它们的绝对值必然相等，故 C 正确； D．a＞b 时绝对值不一定更大，如 a=1，b=−5，则 |1|＜|−5|，故 D 错误． 故选 C． 【易错提醒】判断命题真伪最快的办法是「举反例」：A、D 各举一个具体的数就能推翻；B 容易漏掉「负数没有平方根」这一前提，说明理由时要补上。 7．【答案】C 【解析】 先估算两个无理数所在的整数区间： ∵ 22=4＜5＜9=32，∴ 2＜＜3，∴ −3＜−＜−2； ∵ 32=9＜10＜16=42，∴ 3＜＜4． 所以 − 与 之间的整数为 −2，−1，0，1，2，3，共 6 个．故选 C． 【易错提醒】①负数的区间要整体加负号并反向：−3＜−＜−2；②问的是「之间」的整数点，两端点本身不是整数，不用排除整数；③建议把符合要求的整数逐一列出再数个数，避免漏掉 0 或数错。 8．【答案】B 【解析】 ∵ m 的立方根是 2，∴ m=23=8； ∵ c、d 互为倒数，∴ cd=1； ∵ a、b 互为相反数，∴ a+b=0； ∴ m+cd+a+b=8+1+0=9．故选 B． 【易错提醒】本题是三块基本概念的拼接，每块都要翻译准确：「立方根是 2」求出的 m 是 8（不是 ∛8，也不是 2）；互为倒数之积为 1、互为相反数之和为 0，这两个结论不能写反。 9．【答案】C 【解析】 ∵ a＞1，∴ a−1＞0，∴ |a−1|=a−1； ∵ a＜2，∴ a−2＜0，∴ |a−2|=−(a−2)=2−a； ∴ 原式=(a−1)+(2−a)=1．故选 C． 【易错提醒】去绝对值的唯一依据是被减式子的正负：a−2 为负，要整体变号写成 2−a，漏掉这个「整体变号」是最大失分点；化简后左边 a 与右边 −a 相抵消，结果是一个常数 1，这也是本题的巧妙之处。 10．【答案】A 【解析】 先比较 a 与 c：∵ 3.152=9.9225＜10=()2，且 与 3.15 都是正数， ∴ 3.15＜，即 a＞c． 再比较 c 与 b：∵ π 是无限不循环小数，π≈3.1416＜3.15，∴ c＞b． ∴ a＞c＞b．故选 A． 【易错提醒】①比较 与 3.15 要「平方后比被开方数」：3.152=9.9225＜10，所以 3.15＜，不能只凭近似值记忆下结论；②π 是无理数，π≈3.1416，它比 3.15 小，不要因为「3.15 比 3.14 大」就误认为 3.15 也比 π 大；③三个数排队要先两两比较，再综合成大小关系，避免凭印象直接排序。 11．【答案】x 为任意实数（全体实数）；−2 【解析】 无论 x 取什么实数，(1−x)3 都是实数，而任何实数都有立方根， ∴ 使 有意义的 x 的取值范围是全体实数（x 可以取任何实数）． 当 x=3 时，(1−x)3=(1−3)3=(−2)3=−8， ∴ ==−2． 【易错提醒】①这是本章最容易套错的性质：只有二次根式才要求「被开方数≥0」，立方根的被开方数可以是任何实数，看见根号就写 x≤1 是把立方根当成平方根处理；②第二空要按「先算乘方、再开立方」的顺序，(−2)3=−8，而 =−2，负号要跟着一起算，不能漏掉。 12．【答案】9≤a＜16 【解析】 ∵ 的整数部分是 3，∴ 3≤＜4． ∴ 32≤a＜42，即 9≤a＜16． 【易错提醒】反向求范围时两端点要分清「取」与「不取」：当 a=9 时 =3，整数部分正好是 3，可以取，所以左边带等号；当 a=16 时 =4，整数部分变成 4，不符合要求，所以右边不取等号。写成 9≤a≤16 或 9＜a＜16 都是错误。 13．【答案】4 【解析】 要使 有意义，必须 2x−1≥0； 又 ＜3，两边都是非负数，可以平方，得 2x−1＜9， ∴ 0≤2x−1＜9，∴ 1≤2x＜10，∴ 0.5≤x＜5． ∵ x 取整数，∴ x 可以是 1，2，3，4，其中最大的是 4． 检验：x=4 时 =≈2.65＜3，符合；x=5 时 ==3，不小于 3，不符合． 【易错提醒】①不能漏掉「被开方数非负」这一前提，否则会误认为 x 可以取任意小的整数；②＜3 两边平方后是 2x−1＜9（左边非负，右边为正，可以平方）；③边界必须代回去检验：x=4 符合而 x=5 不符合（此时 =3），答案不是 5。 14．【答案】5 或 −3；−8 【解析】 (1) 由 (x−1)2=16，得 x−1 是 16 的平方根，∴ x−1=4 或 x−1=−4， ∴ x=5 或 x=−3． (2) 由 (y+2)3=−27，得 y+2 是 −27 的立方根，∴ y+2=−3，∴ y=−5． ∵ x＜0，∴ x 只能取 −3，此时 x+y=−3+(−5)=−8． 【易错提醒】①用平方根解方程时不能只取正解：x2=a（a＞0）有两个解 x=±，本题 x−1=±4，漏掉负解就只剩下 5，是典型的漏解；②用立方根解方程只有一个解：y+2=−3，不要写成 y+2=±3；③「x＜0」是筛选条件，要先用它排除 x=5，再求 x+y，不能把两个 x 的值都代进去。 15．【答案】1−+ 【解析】 ∵ 1.22=1.44，∴ =1.2；∵ (−0.2)3=−0.008，∴ =−0.2； ∵ 12=1＜2＜4=22，22=4＜5＜9=32，∴ 1＜＜2＜＜3， ∴ −＞0，|−|=−； ∴ 原式=1.2+(−0.2)−(−)=1−+． 【易错提醒】①小数开方先化成「平方或立方的形式」：1.44=1.22，−0.008=(−0.2)3，立方根内的负号不能漏；②去绝对值前必须先判断 − 的符号，被开方数大的算术平方根大，5＞2 说明 ＞，整体为正，可直接去绝对值；③结果含无理数时保留 1−+ 的形式，不要写成约等于 0.18 的近似值。 16．【答案】1 【解析】 要使 是整数，n 必须是完全平方数；要使 是整数，n 必须是完全立方数． ∴ n 必须既是一个整数的平方，又是一个整数的立方． 先看 1＜n＜100 中的完全立方数：23=8，33=27，43=64，其中只有 64 同时是完全平方数（82=64）， ∴ 满足条件的 n 只有 64 一个，个数是 1． 【易错提醒】①不能只顾着找完全平方数：4，9，16，25，36，49，64，81 中，只有 64 的立方根也是整数（=4）；②n=64 时 =8、=4 都是整数，符合要求；③端点要看清：n=1 也同时满足两个条件，但被「n＞1」排除；100 虽然在范围内，但它的立方根不是整数，也不符合。 17．【答案】(1) 10−；(2) 2.7−；(3) 5.7；(4) −1． 【解析】 (1) ∵ 1＜3＜4，∴ 1＜＜2，∴ −2＜0，∴ |−2|=2−； 又 ==5，=−3， ∴ 原式=(2−)+5−(−3)=10−． (2) ∵ 0.42=0.16，∴ =0.4；∵ (−0.3)3=−0.027，∴ =−0.3； 由(1)知 |−2|=2−，∴ 原式=0.4−(−0.3)+(2−)=2.7−． (3) ∵ (−1.3)3=−2.197，∴ =−1.3；=10；==3， ∴ 原式=−1.3+10−3=5.7． (4) ∵ 1＜2＜4，∴ 1＜＜2，∴ −1＞0；∵ 2＜3，∴ ＜，∴ −＞0， ∴ 原式=(−1)+(−)−=−1． 【易错提醒】①含根号的绝对值必须先估出根式所在区间再判定符号：第(1)问 ＜2、第(4)问 ＜ 都是关键；②第(2)(3)问小数开方要先化成「平方或立方的形式」，0.16=0.42、−0.027=(−0.3)3、−2.197=(−1.3)3，负号不要漏；③ 表示 (−5)2 的算术平方根，结果取非负值 5，不是 −5；④第(4)问两组的根式恰好前后抵消，结果是常数 −1，注意最后一项 − 的符号。 18．【答案】(1) ；(2) 无理数，理由见解析；(3) ；(4) 倍． 【解析】 (1) 设正方形 ABCD 的边长为 x（x＞0），则 x2=2， ∴ x=，即正方形的边长为 ． (2) 无理数．理由：∵ 12=1＜2＜4=22，∴ 1＜＜2， ∴ 是开方开不尽的数，不是整数也不是分数，是无限不循环小数，∴ 正方形的边长是无理数． (3) 弧是以点 O 为圆心、 为半径画出的，点 P 在原点右侧， ∴ OP=，点 P 表示的数是 ． (4) 面积扩大到原来的 2 倍，即边长平方变为原来的 2 倍． ∵ ()2=2，面积变为 4 时边长满足边长2=4， 即新边长为 2，而 2 是 与 的积， ∴ 边长变为原来的 倍． 【易错提醒】①由面积求边长用平方根，边长是正数只取正根，不能写 ±；②说明 是无理数，「开方开不尽」和「无限不循环小数」两个说法都要指出；③第(4)问要抓住「面积是边长的平方」：面积乘 2，边长乘 ，不能误答成 2 倍或 4 倍。 19．【答案】(1) 互为相反数，即 =−；例子见解析；(2) −1；(3) −1.2；(4) m=−4． 【解析】 (1) 猜想：=−（即 与 互为相反数）． 验证：∵ (−7)3=−343，73=343，∴ =−7，=7，而 −7 与 7 互为相反数，猜想成立． (2) ∵ 0.53=0.125，∴ =0.5， 由(1)得 =−=−0.5， ∴ 原式=−0.5−0.5=−1． (3) ∵ =1.2，∴ x=1.23， 由(1)得 =−=−1.2． (4) ∵ 与 互为相反数，∴ =−． 由(1)的结论得 =，∴ 2m−1=−(5−m)，即 2m−1=−5+m，∴ m=−4． 检验：m=−4 时，2m−1=−9，5−m=9，=−，两者确实互为相反数． 【易错提醒】①立方根可以「把负号提到根号外」，即 =−，但平方根没有这个性质（负数根本没有平方根）；②第(3)问不必求出 x 的具体数值，直接用(1)的结论 =− 即可；③第(4)问的关键是把「两个立方根互为相反数」转化为「被开方数互为相反数」，得 2m−1=−(5−m)，去括号时 −(5−m)=−5+m，不要写成 −5−m。 20．【答案】(1) 0；(2) −a；(3) 16． 【解析】 ∵ x、y 是正数 a 的两个平方根（x≠y），∴ x 与 y 互为相反数，可设 x=m，y=−m（m≠0）， 且 a=x2=m2． (1) x+y=m+(−m)=0． (2) xy=m·(−m)=−m2，而 m2=a，∴ xy=−a． (3) ∵ x−y=m−(−m)=2m=8，∴ m=4，∴ x=4，y=−4， ∴ a=x2=42=16． 【易错提醒】①(1)(2) 两问都要用「两个平方根互为相反数」这一核心性质；②(2) 的结果是 −a 而不是 a，因为两个相反数的积为负数；③(3) 中由 x−y=8 求出的是 2m=8，不要误写成 m=8；求出 m 后要用 a=m2 回到原数，不能把 4 直接当作答案。 21．【答案】(1) ＝1+2+3+4+5＝15；(2) ＝1+2+3+…+n；(3) 理由见解析． 【解析】 (1) 下一个等式是 ＝1+2+3+4+5＝15． (2) 猜想：＝1+2+3+…+n（n 为正整数）． (3) ∵ 13+23+33+43=1+8+27+64=100， 而 (1+2+3+4)2=102=100， ∴ 13+23+33+43=(1+2+3+4)2， ∴ 由算术平方根的意义可知 ＝1+2+3+4． 【易错提醒】①第(1)问的被开方数要按规律补到 53，等号右边也要同时补成 1+2+3+4+5，两边缺一项就错了；②第(3)问不能只说「前面几式成立，所以这一式也成立」，要把 13+23+33+43 算成 100，再指出 100 正好等于 (1+2+3+4)2，这样才能用算术平方根的意义说清理由；③第(2)问写成 1+2+3+…+n 即可，不必算出求和的具体结果。 22．【答案】(1) ＝8，＝4，＞；(2) ＝，＝，＜；(3) ＞；＜；＝；(4) 理由见解析． 【解析】 (1) ∵ 82=64，∴ ＝8；∵ 43=64，∴ ＝4． ∵ 8＞4，∴ ＞． (2) ∵ ()2=，∴ ＝；∵ ()3=，∴ ＝． ∵ ＜，∴ ＜． (3) 当 a＞1 时，＞；当 0＜a＜1 时，＜；当 a=1 时，＝． (4) ∵ 与 都是正数，把它们分别乘方到 6 次： 6 个 相乘，两两一组，每组的积都是 a，∴ ()6=a3； 6 个 相乘，三个一组，每组的积都是 a，∴ ()6=a2． ∵ a＞1，∴ a3=a2·a＞a2，即 ()6＞()6． 两个正数乘方到相同的次数后，结果较大的那个数较大，∴ ＞． 【易错提醒】①第(2)问 a= 时 、 都是真分数，「开方次数越多结果越大」只在 0＜a＜1 时成立，与 a＞1 时的结论正好相反；②第(4)问的关键是先把两个根式乘方到相同次数（都取 6 次），再把 ()6、()6 化为 a3、a2 比较，只举一两个数的例子不能作为「对任意 a＞1 都成立」的理由；③比较含根式的大小，把它们化成同次乘方来比较是本章最常用的方法。 23．【答案】(1) 0；(2) 0 和 1；(3) −1、0 和 1． 【解析】 (1) 只有 0．理由：正数有两个平方根，它们互为相反数，不可能都等于这个正数本身；负数没有平方根；而 0 的平方根只有 0 一个，正好等于 0 本身． (2) 有 0 和 1 两个．理由：设这个数为 x，由算术平方根的意义知 x≥0 且 ＝x． 当 x=0 时 ＝0，符合；当 x=1 时 ＝1，符合； 当 0＜x＜1 时 ＞x（如 x=0.25 时 =0.5），不符合； 当 x＞1 时 ＜x（如 x=4 时 =2），不符合． (3) 有 −1、0、1 三个．理由：∵ (−1)3=−1，∴ ＝−1，符合； ＝0，符合；＝1，符合． 当 0＜x＜1 时 ＞x（如 x= 时 =），不符合； 当 x＞1 时 ＜x（如 x=8 时 =2），不符合； 当 x＜−1 时 ＞x（如 x=−8 时 =−2），不符合； 当 −1＜x＜0 时 ＜x（如 x=− 时 =−），不符合． 【漏解警示】第(3)问最容易漏掉负数 −1：很多同学只想到 0 和 1，忘记负数也有立方根，且 ＝−1 恰好等于 −1 本身；另外第(1)问不能把 1 也算进去——1 的两个平方根是 1 和 −1，其中 −1 不等于 1，所以 1 不符合「平方根都等于它本身」。 24．【答案】(1) m=−1 或 m=5；(2) 9 或 81． 【解析】 同一个正数的两个平方根有两种可能：互为相反数，或正好相等（当这个正数是 0 时两个平方根都是 0，但本题给出的是正数，故只讨论前两种）： ①当 2m−1 与 m+4 互为相反数时：(2m−1)+(m+4)=0，即 3m+3=0，∴ m=−1； 此时两个平方根为 2m−1=−3，m+4=3，互为相反数，符合题意，这个正数为 32=9． ②当 2m−1 与 m+4 相等时：2m−1=m+4，∴ m=5； 此时两个平方根都是 9（9 的平方根中正的这一个取了两遍），符合题意，这个正数为 92=81． ∴ m=−1 或 5；这个正数为 9 或 81． 【漏解警示】本题是分类讨论压轴题，最容易漏掉「两个平方根相等」的情形：题目只说「是同一个正数的平方根」，并没有说这两个平方根不相等，所以必须两类都讨论；只按「互为相反数」求出一组答案（m=−1，正数 9）属于漏解，会被扣掉一半以上的分数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027 学年浙教版七年级上册数学第三章实数素养培优卷（温州地区） 满分 100 分 考试时间 90 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3 分）下列各数中，最大的是（　　） A．+1　　B．+1.8　　C．+1.5　　D． 2．（3 分）若 0＜a＜1，则 a，a2， 的大小关系是（　　） A．a＞a2＞　　B．＞a＞a2　　C．a2＞a＞　　D．＞a2＞a 3．（3 分）一个正方体的体积是另一个正方体体积的 8 倍，则它的棱长是另一个正方体棱长的（　　） A．2 倍　　B．4 倍　　C．8 倍　　D． 倍 4．（3 分）若一个数的立方根是 −2，则这个数的平方根是（　　） A．±2　　B．−2　　C．±4　　D．不存在 5．（3 分）下列各式正确的是（　　） A．+=　　B．=−3　　C．=−5　　D．=− 6．（3 分）下列命题中，正确的是（　　） A．若 |a|=|b|，则 a=b　　B．若 a=b，则 =　　C．若 a=b，则 |a|=|b|　　D．若 a＞b，则 |a|＞|b| 7．（3 分）在数轴上，表示 − 的点与表示 的点之间（不包括这两点）表示整数的点共有（　　） A．4 个　　B．5 个　　C．6 个　　D．7 个 8．（3 分）已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的立方根是 2，则 m+cd+a+b 的值是（　　） A．7　　B．9　　C．8　　D．10 9．（3 分）若 1＜a＜2，则 |a−1|+|a−2| 的值是（　　） A．2a−3　　B．3−2a　　C．1　　D．−1 10．（3 分）设 a＝，b＝π，c＝3.15，则 a、b、c 的大小关系是（　　） A．a＞c＞b　　B．c＞a＞b　　C．b＞c＞a　　D．a＞b＞c 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）使 有意义的 x 的取值范围是＿＿；当 x=3 时， 的值是＿＿． 12．（3 分）已知 的整数部分是 3，则 a 的取值范围是＿＿． 13．（3 分）若 ＜3，则整数 x 的最大值是＿＿． 14．（3 分）已知 (x−1)2=16，(y+2)3=−27．解答下列问题：x 的值是＿＿；若 x＜0，则 x+y 的值是＿＿． 15．（3 分）+−|−|=＿＿． 16．（3 分）若 与 （n 为整数）的值都是整数，且 1＜n＜100，则满足条件的整数 n 的个数是＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（7 分）计算： (1) |−2|+−； (2) −+|−2|； (3) +−； (4) |−1|+|−|−． 18．（6 分）如图，正方形 ABCD 的面积是 2，顶点 A 与数轴的原点 O 重合，点 B 在数轴上方．以点 O 为圆心、AB 的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 P．解答下列问题： (1) 求正方形 ABCD 的边长； (2) 判断正方形的边长是有理数还是无理数，并说明理由； (3) 写出点 P 表示的数； (4) 若把正方形的面积扩大到原来的 2 倍，则它的边长变为原来的多少倍？ 19．（6 分）观察下列各式：=2，=−2；=3，=−3．解答下列问题： (1) 猜想 （a＞0）与 之间的关系，并再举一个例子验证； (2) 利用(1)的结论，写出 − 的结果； (3) 若 =1.2，则 =＿＿． (4) 已知 与 互为相反数，求 m 的值． 20．（6 分）已知正数 a（a≠0）的两个平方根分别是 x 和 y（x≠y）．解答下列问题： (1) 求 x+y 的值； (2) 求 xy 的值（结果用含 a 的式子表示）； (3) 若 x−y=8，求 a 的值． 21．（6 分）观察下列各式： ＝1+2＝3； ＝1+2+3＝6； ＝1+2+3+4＝10； …… 解答下列问题： (1) 按照上述规律写出下一个等式（被开方数中最后一个加数是 53）； (2) 猜想 （n 为正整数）的值，并用含 n 的式子把它表示出来； (3) 请说明等式 ＝1+2+3+4 成立的理由． 22．（7 分）小温同学发现：＝8，＝4，两者并不相等．对于正数 a， 与 的大小关系究竟如何？解答下列问题： (1) 当 a=64 时，分别求 与 的值，并比较它们的大小； (2) 当 a= 时，分别求 与 的值，并比较它们的大小； (3) 猜想：当 a＞1 时，＿＿；当 0＜a＜1 时，＿＿；当 a=1 时，＿＿（填「＞」「＜」或「＝」）； (4) 就 a＞1 的情形，说明 ＞ 成立的道理（提示：把 与 都乘方到 6 次，再比较乘方的结果）． 23．（7 分）我们已经知道 0 的平方根、算术平方根、立方根都等于 0．请分别写出满足下列条件的所有数，并说明理由： (1) 平方根都等于它本身的数； (2) 算术平方根等于它本身的数； (3) 立方根都等于它本身的数． 24．（7 分）已知 2m−1 与 m+4 是同一个正数的平方根．解答下列问题： (1) 求 m 的值；(2) 求这个正数． 学科网（北京）股份有限公司 $