第二章 有理数的运算【素养培优卷】2026-2027 学年浙教版七年级数学上册（温州地区）

第二章 有理数的运算【素养培优卷】 2026-2027 学年浙教版七年级上册数学（温州地区）　考试时间：90分钟　满分：120分 班级：__________　姓名：__________　座位号：__________ 本卷以中档题与难题为主，聚焦复杂混合运算、规律探究、新定义运算与含乘方的分类讨论，侧重逻辑推理与思维拓展，适合拔高训练。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项） 1．下列各式计算结果为负数的是（　　） A．（−2）⁴　　　B．−（−2）³　　　C．−2⁴　　　D．|−2|³ 2．若a²＝9，b²＝4，且a与b异号，则a＋b的值为（　　） A．5　　　B．－5　　　C．5或－5　　　D．1或－1 3．若a²＝b²，则下列式子成立的是（　　） A．a＝b　　　　　　B．a＝−b C．a＝b或a＝−b　　　　　　D．|a|≠|b| 4．当n为正整数时，(−1)ⁿ＋(−1)ⁿ⁺¹的值为（　　） A．0　　　B．1　　　C．−1　　　D．2 5．近似数4.5×10⁴精确到（　　） A．十分位　　　B．百位　　　C．千位　　　D．万位 6．定义新运算：a⊗b＝(a＋b)×(a－b)，则(−3)⊗4的值为（　　） A．7　　　B．−7　　　C．1　　　D．−1 7．观察：3¹＝3，3²＝9，3³＝27，3⁴＝81，3⁵＝243，…，则3²⁰²⁶的末位数字是（　　） A．3　　　B．9　　　C．7　　　D．1 8．下列计算中，结果最大的是（　　） A．（−2）²　　　B．−（−2）²　　　C．−2²　　　D．（−2）³ 9．按程序：输入一个数→乘（−3）→加4→输出。若输出的数为13，则输入的数是（　　） A．−3　　　B．3　　　C．−　　　D．5 10．若a²＝25，b²＝9，且a＞b，则a－b的值为（　　） A．2　　　B．8　　　C．2或8　　　D．－2或－8 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．计算：（−3）²－（−2）³＝____。 12．计算：−1⁴－（−1）⁴＝____。 13．若x、y互为相反数，a、b互为倒数，则(x＋y)³÷(ab)²＝____。 14．光在真空中的传播速度约为每秒300000000米，用科学记数法表示300000000为____。 15．观察规律：＋＋＋…＋＝____。 16．若x为有理数，则|x－1|＋|x＋4|的最小值是____。 三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出必要的运算步骤或推理过程） 17．（12分）计算，能简算的要简算（每小题3分，共4小题）： (1) （−2）³－（−3）²×|−|； (2) −2⁴÷（−2）²×（−）³； (3) （−9）²×（−）×（−13）； (4) 25×（−）－（−）×75＋（−）×2。 18．（6分）定义新运算：a*b＝a²－3ab。 (1) 求(−2)*3的值； (2) 求2*[(−1)*2]的值。 19．（8分）已知a²＝9，b²＝4。 (1) 写出a、b的所有可能取值； (2) 若a与b同号，求a＋b的值； (3) 若ab＜0，求a·b的值。 20．（8分）阅读材料：因为1/n − ＝，所以可拆成两个分数的差。请仿照材料，计算：＋＋＋…＋。 21．（8分）数轴上点P从原点出发，第1次向右移动1个单位长度到达P₁，第2次向左移动2个单位长度到达P₂，第3次向右移动3个单位长度到达P₃，第4次向左移动4个单位长度到达P₄，……，按此规律（第n次移动n个单位长度，方向左右交替）移动。 (1) 填空：P₂＝____，P₃＝____，P₄＝____； (2) 求P₁₀₀与P₂₀₂₆表示的数。 22．（12分）数轴探究题：|x＋1|＋|x－2|表示数轴上表示数x的点到表示−1与2两点的距离之和。 (1) 当x＝0时，求|x＋1|＋|x－2|的值； (2) 当x在−1与2之间（含－1和2）移动时，|x＋1|＋|x－2|的值是否发生变化？请说明理由； (3) 若|x＋1|＋|x－2|＝5，直接写出x的值。 23．（12分）综合探究： (1) 计算7¹、7²、7³、7⁴的末位数字； (2) 根据(1)的规律，直接写出7²⁰²⁶的末位数字； (3) 求算式7¹＋7²＋7³＋…＋7²⁰²⁶的值的末位数字，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $第二章有理数的运算【素养培优卷】 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项) 1.C A=16;B=-(-8)=8;C=-16;D=8,故只有C为负数。 2.D 由a=9得a=3或-3，由b2=4得b=2或-2。a与b异号：当a=3,b=一2时，a十b=1; 当a=-3,b=2时，a+b=-1。故a+b的值为1或一1。 3.C a=b2说明a、b的绝对值相等，故a与b相等或互为相反数。 4.A 相邻两个指数一奇一偶，(-1)严与(-1)+互为相反数，和为0。 5.C 4.5×104=45000,末位数字5在千位，故精确到千位。 6.B (-3+4)×(-3-4)=1×(-7)=-7。 7.B 末位数字按3、9、7、1每4个循环，2026÷4=506..2，与32末位相同，为9。 8.A A:(-2)2=4;B:-(-2)=-4:C:-22=-4;D:（-2)9=-8.4>-4>-8,故结果最大的 是A。 9.A 逆推：输出的数13是“加4”之后的数，加4之前为13-4=9：9是“乘（←3）之后的数，乘 (-3)之前为9(-3)=-3。故输入的数是-3。 10.c 由a=25得a=5或一5，由b=9得b=3或-3。a>b:当a=5时，b=3或一3均满足，a一 b=2或8：当a=一5时，b须大于一5，b=3或一3均不满足（一5<3，一5<-3)，舍去。 故a一b的值为2或8。 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.17 9-(-8)=17。 12.-2 -14=-1,(-1)4=1,-1-1=-2。 13.0 x十y=0,ab=1,03÷12=0。 14.3×109 300000000是9位整数，a=3,n=9-1=8,故300000000=3×10。 5.岛 裂项：1-+++合=%1--品 11、 ,11 16.5 表示数轴上点x到1与到-4的距离之和，x介于-4与1之间时最小，为1-(-4)=5。 三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出必要的运算步骤或推理过程) 17.(1)-11:(2)7:(3)162:(4)36. 0)先化简绝对值：日-，8-9号83=-1：2”=-16，-164=4(9(-司 —分：⊙)负因数2个，积为正：812=162：④逆用分配律提取（子：（寻(25-75+2）-=( 子(4图=36. 18.(1)22:(2)-38。 (1)把a=-2,b=3代入：(-2)2-3×(-2)×3=4+18=22：(2)先算(-1)*2=(-1)2-3×(-1)×2=1+ 6=7,再算2*7=22-3×2×7=4-42=-38。 19.(1)a=3或-3，b=2或-2：(2)5或-5：(3)-6。 解：(1)由a=9得a=3或-3，由b2=4得b=2或-2。(2)a与b同号时：a=3,b=2,a+b =5;a=-3,b=一2，a十b=-5。故a十b的值为5或-5。(3)ab<0即a、b异号：a=3,b =一2，ab=一6；a=-3,b=2,ab=一6。故ab的值为-6。 20.40 材料给出1h血n千一nn:同理，分母相差2时可推出nn十2[mn十2。于是 1 1 1111111 11 11 原式=2（吃4）+(4司)+（后8）+…+(1820】，中间项依次相消，只剩首尾两项：2×（专 1、_199 20)=2×20=40° 21.(1)P2=-1,P3=2,P4=-2;(2)P1o0=-50,P2o26=-1013。 先列出前几项：P1=1,P2=1-2=-1,P3=-1+3=2,P4=2-4=-2,P5=-2+5=3,P6=3-6 =-3,…发现规律：偶数次第2n次移动后P2如=-1，奇数次第(2n-1)次移动后P2m-1=n。P1o: 100=2×50,故P10=-50:P226:2026=2×1013,故P226=一1013。 22.(1)3;(2)不变，恒为3，因为两点间距离-1到2为3，x在两点之间时两段距离之和恰为 3;(3)x=3或x=-2。 (1)10+1+0-2=1+2=3。(②)不变。理由：x+1表示点x到-1的距离，x-2表示点x到2 的距离；当x在-1与2之间（含端点）时，两段距离首尾相接，恰好拼成-1到2的整段，和 恒为2-(1)=3。(3)当x>2时：原式=(x+1)+(x-2)=2x-1=5,解得x=3:当x<-1时： 原式=(-x-1)+(2-x)=1-2x=5,解得x=-2;当-1≤x≤2时原式=3≠5，无解。故x=3或 -2。 23.(1)7、9、3、1;(2)9:(3)6。理由：末位数字按7、9、3、1每4个循环，每组末位数字 之和7+9+3+1=20，末位为0：2026÷4=506..2，即前2024项共506组末位和为0，剩 7225(末位7)与72026（末位9)，7+9=16，故总末位数字为6。 (1)71=7,72=49,73=343,74=2401,末位依次为7、9、3、1。(2)末位按7、9、3、1每4 个一循环，2026÷4=506.2，余2对应72的末位，故为9。(3)每连续4项的末位数字之和 为7+9+3+1=20，末位为0：2026÷4=506...2，说明前2024项（506组)末位和的末位 为0，剩下72025（末位7）与72026（末位9)两项，7+9=16，故全式末位为0十6=6。