精品解析：江苏扬州市宝应县国际学校联盟2026-2027学年八年级上学期第一次阶段自测数学试卷

八年级数学月度作业2026.9 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，6 C. 6，6，12 D. 4，6，8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，逐项判断即可． 【详解】A．，不能组成三角形，故A不符合题意； B．，不能组成三角形，故B不符合题意； C．，不能组成三角形，故C不符合题意； D．，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 2. 如图，∠ABD=∠CBD，AB=CB，据此可以证明BAD≌BCD，依据是（ ） A. AAS B. ASA C. SAS D. HL 【答案】C 【解析】 【分析】依据图形可得到BD=BD，然后依据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：C 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS、HL；注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 4. 如图，、、、在同一直线上，，，添加下列哪个条件，可以证明（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可求出，再结合三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A．与所证条件相同，结合题意，只有两条边对应相等，不能证明，不符合题意； B．，结合题意，有两条边对应相等，且一个角对应相等，但没有“ASS”或“SSA”证明三角形全等，故该选项不能证明，不符合题意； C．∵， ∴． 结合题意，有两条边对应相等，且一个角对应相等，但没有“ASS”或“SSA”证明三角形全等，故该选项不能证明，不符合题意； D．，结合题意，即三条边对应相等，可利用“SSS”证明，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 5. 如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可求解． 【详解】解：过点作于，如图： ∵是的平分线，，， ∴， 即点到的距离是． 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 三角形的三条角平分线相交于同一点 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和判定可得出结论. 【详解】∵两把尺子宽度相等， ∴P到OB的距离和P到OA的距离相等， 根据到角两边的距离相等的点在角平分线上可知，OP平分∠BOA， 故选A. 【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，根据两把尺子宽度相等，得到P到角两边的距离相等是解决本题的关键. 7. 如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ） A. 21 B. 7 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=14， 解得AD=7， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴CM+MD的最小值为7． 故答案为B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理：①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ， ， ， ， ， 同理可得， ，故①正确； ∵与不一定相等，， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②错误； 和的平分线相交于点G， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， 点G到的距离相等，到的距离相等， 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，，， ，故⑤正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 10. 已知△ABC≌△DEF，若∠A=30°，∠B=50°，则∠F= ______ °． 【答案】100度 【解析】 【分析】由∠A=30°，∠B=50°，根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，根据已知△ABC≌△DEF，利用全等三角形的性质得到∠F=∠C，即可得到答案． 【详解】∵△ABC≌△DEF， ∴∠B=∠E=50°，∠A=∠D=30°， ∴∠F=180°-30°-50°=100°． 故答案为100． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解此题的关键是能求出∠F的度数． 11. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的____________块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2． 12. 如图，在中，通过观察尺规作图的痕迹，的大小为______度． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，含角平分线的三角形的内角和问题，熟练掌握中垂线和角平分线的作图，根据痕迹判断出是中垂线和是角平分线，是解决本题的关键．由作图痕迹可知，是线段的中垂线，是的角平分线，根据中垂线的性质以及角平分线平分角，结合三角形的内角和是，进行求解即可． 【详解】解：由题意知：是线段的中垂线，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，连接，根据为和的中点，且即可判定，即可求得，即可解题． 【详解】解：连接，设是和的中点， 为和的中点， ， ， ， ∴， 故， 故答案为：． 14. 如图，已知，E为的中点，若，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据平行线的性质和中点的定义得出，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和定义．由题意得出为的平分线是解题关键．根据角平分线的作法和定义得出，再结合平行线的性质得，即可得出，最后求周长即可． 【详解】解：由题意可知为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长为， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 17. 如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键． 根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，即可解答． 【详解】解：∵为中点，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵点F为边的中点， ∴ ∴阴影部分的面积为． 故答案为：15． 18. 如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质．分两种情况讨论点的位置．点位于左侧．点位于右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出的度数． 【详解】解：①当点位于左侧时，如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②当点位于右侧时，如图， 将绕着点顺时针旋转得到， 此时是等边三角形， ， ∵， ∴ ∴ 由旋转性质得 ∴ ∴ ∴三点共线， ， 故答案为：或． 三、解答题（共96分） 19. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【小问1详解】 解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 20. 只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格边长为1．（保留作图痕迹） （1）在图①中找一点，使点到和距离相等且； （2）在图②中，，在上找一点，使得平分． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，需要构造的角平分线与的垂直平分线，取格点、，的中点，作直线与直线，交点即为点； （2）取格点，连接，取的中点，连接与的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图， 由网格可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即平分， ∴点到和距离相等， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点 ∴垂直平分， ∴； 【小问2详解】 解：由图可知，， ∵点是的中点， ∴，即平分． 21. 如图，，点E在上，已知，，，， 求： （1）的长度； （2）的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等解答即可． （2）根据全等三角形对应角相等结合三角形的外角的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴． 22. 已知，如图，，,，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据，可得，然后结合，利用可证明． 【详解】略 23. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的长为 （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据的周长为进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，分别垂直平分和， ，， ． ∵的周长为， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ，， ，， ． ， 即的度数为． 24. 如图，中， ，且与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）证明：，， ， ，， ． ． ． （2）证明：∵， ， ， ∴点A在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【解析】 【分析】（1）先推导出，再根据证明，得到，则根据等角对等边进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，则，得到点A在的垂直平分线上，继而推导出点在的垂直平分线上，得到垂直平分，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形． ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用可得，，结合等量代换可得，命题得证； （2）先计算出与，结合等边三角形的性质计算出的内角，从而确定形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， , , 平分； （2）12 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证明，则，从而得出结论； （2）过点P作于M，根据角平分线的性质定理得到，利用求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：过点P作于M， 平分，， ， ， ， 解得：． 27. 综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： （1）【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． （2）【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． （3）【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）③④⑤ （2） 证明：在筝形中，， 同（1）得：， ∴， 依题意知：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是筝形． （3）或 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和逐一判断即可； （2）根据“筝形”的性质同（1）得∶得出，由角平分线的性质定理得出，再通过证明可得，再结合运用“筝形”即可证明结论； （3）分“筝形”两种情况，分别根据“筝形”的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵“筝形”， ∴①不一定成立；②不一定成立；故①②都是错误的； ∵， ∴垂直平分，故③是正确的； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分和，即④正确； ∵， ∴，故⑤是正确的． 故答案为：③④⑤． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：分两种情况∶ ①如图：当四边形是筝形且时， ∴； ②如图：当四边形是筝形时且时， 则， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识以及掌握分类讨论是解题的关键． 28. （1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB． （2）理解应用： 如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点． （3）类比探究： ①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______； ②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可； （2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，从而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，从而得到EI=IG，即可求证； （3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE，再由（1）可得△CDP≌△DEQ，从而得到DP=EQ，然后根据两平行线间的距离，可得AP=BC，进而得到PD=1，即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l， ∴∠AEC＝∠BDC＝90°， 又∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， 在△AEC和△CDB中， ∴△AEC≌△CDB（AAS）； （2）证明：分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N， 由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA， ∴EM＝AH，GN=AH， ∴EM=GN， 在△EMI和△GNI中， ∴△EMI≌△GNI（AAS）； ∴EI=IG， 即I是EG的中点； （3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB， ∴CE=BD，AE=CD， ∵ED=CD-CE， ∴ED=EA－BD ； 故答案为：ED=EA－BD ②如图，过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q， 根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE， 由（1）得：△CDP≌△DEQ， ∴DP=EQ， 直角梯形ABCD中，，AB⊥BC， ∴AB⊥AD， ∴AB∥CP， ∴BC⊥CP， ∵BC=3， ∴AP=BC=3， ∵AD=2， ∴DP=AP-AD=1， ∴EQ=1， ∴△ADE的面积为． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，平行间的距离，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，平行间的距离，并利用类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学月度作业2026.9 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 2，3，6 C. 6，6，12 D. 4，6，8 2. 如图，∠ABD=∠CBD，AB=CB，据此可以证明BAD≌BCD，依据是（ ） A. AAS B. ASA C. SAS D. HL 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 4. 如图，、、、在同一直线上，，，添加下列哪个条件，可以证明（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 三角形的三条角平分线相交于同一点 7. 如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ） A. 21 B. 7 C. 4 D. 2 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是__________． 10. 已知△ABC≌△DEF，若∠A=30°，∠B=50°，则∠F= ______ °． 11. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的____________块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形． 12. 如图，在中，通过观察尺规作图的痕迹，的大小为______度． 13. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为_______． 14. 如图，已知，E为的中点，若，则_______． 15. 如图，在中，以点为圆心、适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若周长为，，则的周长为______． 16. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 17. 如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 18. 如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则______． 三、解答题（共96分） 19. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 20. 只用无刻度的直尺，利用网格作图，正方形网格边长为1．（保留作图痕迹） （1）在图①中找一点，使点到和距离相等且； （2）在图②中，，在上找一点，使得平分． 21. 如图，，点E在上，已知，，，， 求： （1）的长度； （2）的度数． 22. 已知，如图，，,，求证：． 23. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 24. 如图，中， ，且与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 25. 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； 26. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将该仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边，上，连接并延长，交于点P．求证：平分． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积为60，求的长． 27. 综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： （1）【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． （2）【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． （3）【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 28. （1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB． （2）理解应用： 如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点． （3）类比探究： ①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______； ②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $