2026-2027学年青岛版数学八年级上册10月第一次学情调研卷

八年级上学期第一次学情监测试题（解析版） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 【测试范围：八年级上册第1章-第2章】（青岛版2025） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。） 1.下列属于定义的是（) A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等 C.等角的补角相等 D.线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【详解】解：A.两，点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B.两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C.等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D.线段是直线上的两点和两，点间的部分是线段的定义，正确. 2.下列说法正确的是（) A.周长相等的三角形是全等三角形B.形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C.面积相等的三角形是全等三角形D,所有的等边三角形都是全等三角形 1/28 【答案】B 【详解】解：A.周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形， 原说法错误，故选项A不符合题意； B.形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项B符合题意； C.面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项C不符合题意； D.所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故 选项D不符合题意； 3.下列命题中，为假命题的是（)· A.对顶角相等 B.同旁内角互补 C.等角的补角相等 D.三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【详解】解：A、对顶角相等，原命题为真命题，不符合题意； B、同旁内角不一定互补，原命题为假命题，符合题意； C、等角的补角相等，原命题为真命题，不符合题意； D、三角形两边之和大于第三边，原命题为真命题，不符合题意； 4.如图，△ABC≌△ADE,∠E=35°，则∠C的度数为() 2/28 D C E A.35° B.40° C.50° D.65 【答案】A 【详解】解：△ABC≌△ADE,∠E=35° .∠C=LE=35°， 5.如图，已知∠ACB=90°，CD1AB,垂足为D.下列结论中正确的是() B A.∠ACD=∠AB.∠ACD+∠B=90°C.∠BCD=∠A D.∠A=∠B 【答案】C 【详解】解：∠ACB=90°，CD1AB ∴.∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90° .∠ACD=∠B,∠BCD=∠A .A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确. 6,如图，AC、BD相交于点O,且∠ACB=∠DBC,添加下列条件，仍无法判定△ABO≌△DCO的是 () 3/28 D δ B C A.∠ABO=∠DCO B.∠A=∠D C.AB=CD D.AC=BD 【答案】C 【详解】解：A、,∠ACB=∠DBC,∠ABO=∠DCO, .∠ABC=∠DCB 又BC=BC, .△ABC≌aDCB(ASA) ..AB=DC, 又.∠AOB=∠DOC,∠ABO=∠DCO △ABO≌aDCO(AAS),故选项不符合题意； B、'∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,BC=CB, :.△ABC≌aDCB(AAS) .AB=DC, 又.∠AOB=∠DOC,∠A=∠D, △ABO2aDCO(AAS),故选项不符合题意； 4/28 C、.·∠ACB=∠DBC, .0B=0C, 又AB=CD, .不能判定△ABO≌△DCO,故选项符合题意； D、.·∠ACB=∠DBC, ..OB=OC, AC=BD ..OA=OD 又，∠AOB=∠DOC, .△ABO2aDCO(SAS),故选项不特合题意； 7.对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（) 已知：如图，a/b,a∥c」 求证：b∥c. 证明：作直线d分别与直线a,b,c相交. :a∥b,.∠1+∠2=180（①） a∥c,∴∠1+∠3=180°，∴.∠2=∠3，.b∥c(②) 5/28 a 1 人2b 3 A.①处为两直线平行，同位角相等B.①处为同位角相等，两直线平行 C.②处为同位角相等，两直线平行D.②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【详解】解：已知：如图，a∥b,a∥c. 求证：b∥c 证明：作直线d分别与直线a,b,c相交. alb∠1+∠2=180° （两直线平行，同旁内角互补) .a∥c.∠1+∠3=180° ∴.∠2=∠3.b∥c (同位角相等，两直线平行)· 8.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中() A.至多有两个角小于60度 B.三个内角都小于60度 C.至少有一个角是小于60度 D.三个内角都大于60度 【答案】B 6/28 【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形 中，三个内角都小于60度， 9.如图，CE LAB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AF=BE,且AC=BD,则下列结论不一定正确的 是() B A E D A.AC∥BD B.∠C+∠B=90° C.∠A=∠D D.Rt△ACE≌Rt△BDF 【答案】C 【详解】解：CE⊥AB,DF⊥AB, .∠AEC=∠BFD=90° .AF=BE .AE+EF=BF+EF .AE=BF 在RtAACE和Rt△BDF中， AC=BD AE=BF, .Rt△ACE≌Rt△BDF(HL) 故选项D正确； 7/28 ∴.∠A=∠B .AC∥BD 故选项A正确； .∠A+∠C=90° .∠C+∠B=90° 故选项B正确； ∠A≠∠D ,故选项C错误； 10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=120°，AB=10cm,BC=15cm,CD=20cm,点P在线段BD 上以5cms的速度由，点B向，点C运动，同时，点2在线段CD上由，点C向，点D匀速运动，若△ABP与 △PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为〔） A B 20 cm/s A.5cm/s或3 B.2cm/s 3 3 cm/s C.5cm/s或2 D.5cm/s 【答案】A 【详解】解：设，点P运动时间为t秒，点Q运动速度为cms,则BP=5tcm,CQ=vtcm, .CP=(15-5)cm, .∠B=∠C=120° 8/28 . :.△BAP≌aCOP或△BAP≌aCPQ, 当B4P2,COP时，CQ=hHB=10em,gP=CP-号C=7cm, 3 51=7.5,解得：1=2， 3 2=10 解得：v20 cm/s: 当△BAP≌aCPO时，BP=CO=Mcm, .5t=t,解得：v=5cm/s; 20 综上所述，点Q运动速度为5cms或3cm/s. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.如图，直线a、b被直线c所截，请你填写一个适当的条件： —,使得a∥b 【答案】∠1=∠2（或∠2=∠3或∠3+∠4=180°或∠1+∠4=180°） 【详解】解：若∠1=∠2，则a∥b, 若∠2=∠3，则a∥b, 若∠3+∠4=180°，则a∥b, 9/28 若∠1+∠4=180°，则a∥b, 故答案为：∠1=∠2（或∠2=∠3或∠3+∠4=180°或∠1+∠4=180°）. 12.木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释.如画角 平分线：如图，在已知的∠AOB的两边分别取OM=ON,将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中，点 P)，将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕，点P处拉直绳子，点P在平面∠AOB内，则OP平分 ∠AOB 原理是构造全等三角形，根括全等三角形对应角相等得出∠A0P=∠BOP」 这里三角形全等的 判定方法是」 M 【答案】SSS 【详解】解：根据题意，得OM=ON,PM=PN, OM=ON PM=PN PO=PO .△PMO≌aPNO(SSS). .∠AOP=∠BOP 故答案为：SSS 10/28 13.如图，在△ABE和△DCF中，∠B=∠C,AB=DC,若要证明△ABE≌△DCF,还需要添加一个条 件： (写出一种即可) D 【答案】BE=CF(答案不唯一)】 【详解】证明：在△ABE和△DCF中， AB=DC ∠B=∠C BE=CF' .△ABE≌△DCF(SAS). “.要证明△ABE≌△DCF,还需要添加一个条件：BE=CF(答案不唯一)· 故答案为：BE=CF(答案不唯一)· 14.如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=度。 【答案】135 11/28 【详解】解：如图，连接AD、BD,∠ADB=90°，AD=BD=BC,∠DAB=∠DBA=45°， B 由图可知，在△DFB和△BEC中， DF=BE ∠DFB=∠BEC=90° FB=EC ,∴△DFB≌△BEC(SAS) ∠DBF=∠2 ∠DBA=45° .∠1+∠2=∠1+∠DBF=180°-45°=135° 故答案为：135 15.将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若1=80°，则∠2的度数是 【答案】95 12/28 . 【详解】如图， 45 3 4 30° ∠3=∠1-45°=35°， ∠4=∠3=35° .∠5=90°-30°=60°， .∠2=∠4+∠5=95° 故答案为：95°」 16.如图，在△ABC中，以AB,AC为腰作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF,连接EF,AD为 BC 边上的商线，延长D1交BF于点N,下列结论：O ∠EAN=∠ABC △EAN≌△BAD ；② ；③ =;国EW=PW,其中正确的有 （写上序号) W ◆ A C D 【答案】①③④ 【详解】解：∠BAE=90°，AD⊥BD 13/28 . .∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD, .∠EAN=∠ABC,故①正确； .:∠AEN与∠BAD不一定相等， .△AEN与△BAD不一定全等，故②错误； 作EH L AN,交AN于点H,FK⊥AN,交AN延长线于，点K, K --H A B D .∠AEH+∠EAH=90° ∠EAB=90°， ∴.∠EAH+∠BAD=90° ∴.∠AEH=∠BAD, 在△AEH和△BAD中， ∠AHE=∠ADB ∠AEH=∠BAD AE=AB .△AEH≌aBAD(AAS) 14/28 .EH=AD,S.ABD=S.EAM, 同理可得：△AFK≌△CAD, .FK=AD,S.FK=S.ADC, .FK=EH, 在△FKN和△EHN中， ∠FKN=∠EHIN ∠FNK=∠ENH FK=EH .△FKW≌aEHN(AAS) S.ENH=S.FNK, .c+.0c =S。AEH+S,AFK =(S.EAN-S.ENH )+(S.FN4 +S.FNK) =S.EAN +S.FNA =S。AEF 即S△Bc=S△r,故③正确； .·△FKN≌△EHN, .FN=EN,故④正确. 故答案为：①③④. 15/28 三，解答题（本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分，22-24，每题12分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17.如图，已知线段a和∠，求作△ABC,使AB=a,∠A=2∠，∠B=∠（使用直尺和圆规，并 保留作图痕迹)· 0 【答案】见详解 【详解】如图，先作线段AB=a,再作∠DAB=∠DBA=C,再作∠DAB的角平分线AC,AC与 DB C ,△ABC 的交，点为，则即为所求作的三角形 18.下列句子中那些是命题？ 16/28 (1)直角三角形的两个锐角互余. (2)正数都大于0. (3)如果∠1+∠2=180°，那么∠1与1∠1互补. (4)太阳不是行星. (5)对顶角相等吗？ (6)作一个角等于已知角， 【答案】(1)(2)(3)(4)是命题，(5)(6)不是命题. 【详解】解：(1)(2)(3)是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；(4)是命题，它对事情作 出了否定的判断；(5)不是命题，只表示疑问，并未作出判断； (6)不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思. ∴.(1)(2)(3)(4)是命题，(5)(6)不是命题. 19,潍坊风筝是山东潍坊地区传统民间工艺品，潍坊风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特 色，每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风等竞相牵放，景象十分壮观.图1是小华制作的风 筝，图2是风筝骨架的示意图，其中AB=AC,BD=CD. 17/28 图1 图2 (1)求证：△ABD≌△ACD; (2)小华发现AD平分∠BAC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由. 【答案】(1)见详解 (2)正确，见详解 【详解】(I)证明：在△ABD和△ACD中， AB=AC AD=AD BD=CD' .△ABD≌aACD(SSS); (2)解：正确，理由： 由(1)得△ABD≌△ACD」 ∠BAD=∠CAD=∠BAC 2 即AD平分∠BAC, 所以小华的发现是正确的. 20.一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于180° 【定理证明】 18/28 (1)小赵的证明思路是：如图1，在△ABC中，过，点A作DE∥BC,再利用平行线的相关知识来证 明：∠BAC+∠B+∠C=180°.请按照小赵同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 (2)如图2，若∠1=20°，∠2=30°，∠BDC=95°，求∠A的度数. D 图1 图2 【答案】(1)见详解(2)45° 【详解】(I)证明：.DE∥BC, .∠DAB=∠B,∠EAC=∠C .·∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° .∠BAC+∠B+∠C=180° (2)解：如图，延长BD交AC于E, E 由三角形的外角性质得，∠3=∠1+∠A,∠3+∠2=∠BDC=95°， 19/28 .∠1+∠A+∠2=∠BDC=95° :∠1=20°，∠2=30°， .∠A=95°-20°-30°=45° 2L,如图，在△ABC中，AD平分∠BAE,E为CD的中，点，∠DAC=∠ADC.求证：AB=2AE. B D E 【答案】见详解 【详解】证明：延长AE至点F,使AE=EF,连接DF,则：AF=2AE, B D E E为CD的中点， .DE=CE, :∠AEC=∠DEF, ∴.△AEC≌aFED .∴.∠F=∠CAE, ,AD平分∠BAE, 20/28 . ∴.∠BAD=∠DAE, :∠ADC=∠B+∠BAD,∠DAC=∠DAE+∠CAE,且LDAC=LADC, ∠B=∠CAE, .∠B=∠F, 又：∠BAD=∠DAE,AD=AD, ∴.△ABD≌△AFD, .AB=AF, .'AB=2AE. 22.如图，DE L AB于点E,DF L AC于，点F,BD=CD,BE=CF. (I)求证：△DBE≌△DCF; (2)已知AC=18,AB=12,求BE的长. 【答案】(1)见详解(2)3 【详解】(I)证明：DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴.∠E=∠DFC=90° 21/28 在RtADBE与RtADCF中 BD=CD BE=CF, ∴.Rt△DBE≌Rt△DCF(HL) (2)解：RtaDBE≌RtADCF; ∴DE=DF 在Rt△AED与Rt△AFD中 AD=AD DE=DF, ∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL) .AE=AF ∴.AF=AB+BE=12+BE AC=AF+FC .AC=AB+BE+FC=12+BE+FC ∴.18=12+BE+CF .BE=CF ∴.18=12+2BE .BE=3 22/28 23,某数学实践活动小组为测量一池塘两端A,B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的 三种方案. 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达A,B的，点O,再连接A0,BO,并分别延长AO到，点D, BO C OD=OB OC=OA A,最后测出CD的长即为A,B的距高； CD 到，点，使得 乙：如图2，先过点A作射线AE,再在AE上取O,D两，点，使得 一，接着过点D作DC∥AB ，交BO的延长线于点C,则测出CD的长即为A,B的距离； 丙：如图3，先过点A作AC1AB,再由点C观测，在BA的延长线上取一，点D,使得，这时 只要测出AD的长即为A,B的距离. D B B 图1 图2 图3 (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙： 一；丙： (②)请你选择其中一种方案进行说明理由. 【答案】(I)DO=AO,∠ACD=∠ACB (2)见详解 【详解】(1)解：乙：如图2，先过，点A作射线AE,再在AE上取O,D两点，使得D0=A0,接着 23/28 过，点D作DC∥AB,交BO的延长线于点C,则测出CD的长即为A，B的距离， 故答案为：DO=AO; 丙：如图3，先过，点A作AC⊥AB，再由，点C观测，在BA的延长线上取一，点D,使得∠ACD=∠ACB, 这时只要测出AD的长即为A,B的距离， 故答案为：∠ACD=∠ACB; (2)解：答案不唯一， 选择甲：，：OD=OB,∠AOB=∠COD,OC=OA, ·.△AOB≌aCOD(SAS). .CD=AB; 选择乙：DC∥AB ∴.∠BAO=∠CDO. .AO=OD,∠AOB=∠DOC, .△AOB≌△DOC(ASA) ..CD=AB; 选择丙：：AC⊥AB, .∴.∠CAB=∠CAD=90°， 24/28 :AC=AC,∠ACB=∠ACD, .△ACB≌△ACD(ASA), .AB=AD. 24.(1)问题背景： G D B E 图1 图2 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上 的，点，且∠EAF=60°，请探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系，并说明理由 (2)拓展应用： 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=I80°，点E,F分别是BC,CD上的，点，且 ∠EF=BD,()中的线段E,EF,FD之间的教量关系是否还成立？若成立，请给出证明， 若不成立，请说明理由. 【答案】(I)BE+DF=EF，见详解；(2)成立，理由见详解 【详解】解：(I)延长线段FD到，点G,使DG=BE，连接AG,则∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， 25/28 AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS) .AE=AG,∠BAE=∠DAG .:∠BAD=120°，∠EAF=60° ∴.∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=120°-60°=60° .∠GAF=∠DAG+∠DAF=60° .∠EAF=∠GAF=60° 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴△AEF≌△AGF(SAS) ..EF=GF=GD+DF .BE+DF=EF (2)结论仍然成立，理由如下： 如图，延长CB到G,使BG=DF,连接AG, 26/28 . D G B E 图2 :∠ABE+∠ADC=180°，∠ABE+∠ABG=180° .∠ADC=∠ABG 在△ADF和△ABG中， AD=AB ∠ADF=∠ABG DF=BG .△ADF≌△ABG(SAS) ,AG=AF,∠DAF=∠BAG :∠EF-BAD ·∠BAE+∠DAF=∠BAD 2 ∴∠BE+∠B4G=BAD,即∠EAG=)B1D, 2 .∠EAG=∠EAF 在△AEG和△AEF中， AG=AF ∠EAG=∠EAF AE=AE’ 27/28 .. ∴.△AEG≌△AEF(SAS) .EF=GE =BE+GB .BE+DF EF 28/28 八年级上学期第一次学情监测试题（原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：八年级上册第1章-第2章】（青岛版2025） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 2.下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 3.下列命题中，为假命题的是（   ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 D．三角形两边之和大于第三边 4．如图，，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，AC、BD相交于点，且，添加下列条件，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 7．对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：b∥c． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 8．用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（    ） A．至多有两个角小于60度 B．三个内角都小于60度 C．至少有一个角是小于60度 D．三个内角都大于60度 9．如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，直线a、b被直线c所截，请你填写一个适当的条件： ，使得． 12．木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是 ． 13．如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可） 14．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 15．将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是 ． 16．如图，在△ABC中，以，为腰作等腰直角△ABE和等腰直角△，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 三．解答题（本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）． 18．下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 19．潍坊风筝是山东潍坊地区传统民间工艺品．潍坊风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风箏竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 20．一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小赵的证明思路是：如图1，在△ABC中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小赵同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 21．如图，在△ABC中，平分，E为的中点，．求证：． 22．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 23．某数学实践活动小组为测量一池塘两端，的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长到点，到点，使得，，最后测出的长即为，的距离； 乙：如图2，先过点作射线，再在上取，两点，使得________，接着过点作，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图3，先过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使得________，这时只要测出的长即为，的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； 乙：________；丙：________； (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 24．（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $