2026—2027 学年高一上学期期中数学练习卷（第1-4章）

2026—2027 学年高一上期中数学练习卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟　考查范围：必修第一册第一～四章 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求。 1. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，，则 （　　） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 5. 已知函数 ，则其图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7. 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便。某共享单车企业计划在广州的天河区、番禺区共投资 120 万元，根据行业规定，每个区至少要投资 40 万元。由前期市场调研可知：天河区收益 （单位：万元）与投入 （单位：万元）满足 ，番禺区收益 （单位：万元）与投入 （单位：万元）满足 ，则投资这两个区收益的最大值为（　　） A. 26 万元B. 44 万元C. 48 万元D. 72 万元 8. 已知定义在 上的函数 ，对任意的 且 ，都有 。若函数 为奇函数， 且 ，则（　　） A. B. C. D. 的值与 0 的大小关系不确定 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分。 9. 图中矩形表示全集 ，集合 是 的两个子集，则图中阴影部分可以表示为（　　） A. B. C. D. 10. 已知实数 ，判断下列不等式中一定正确的有（　　） A. B. C. D. 11. 已知定义在 上的函数 满足：函数 是奇函数，且函数 是偶函数，则下列命题中正确的有（　　） A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线 对称 C. D. 12. 我们知道：函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是 为奇函数。有同学将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 为奇函数。现已知函数 ，则下列说法正确的有（　　） A. 函数 为奇函数 B. 当 时， 在 上单调递增 C. 若方程 有实根，则 D. 设定义域为 的函数 满足 。若 ，且 与 的图象共有 2022 个交点，记为 ，则 的值为 6066 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 函数 的定义域为 ____________ ． 14. 已知 若 ，则 ____________ ． 15. 函数 的单调递减区间为 ____________ ． 16. 设函数 ，若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围为 ____________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）设全集 ，集合 ，，。 （1）求 ，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 18.（12 分）已知幂函数 ，且 。 （1）求函数 的解析式； （2）若 ， 均为正数且 ，求 的最小值。 19.（12 分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，。 （1）画出 在 轴右侧的图象，写出其单调递减区间，并求出函数 的解析式； （2）若函数 ，求函数 的最小值。 20.（12 分）为迎接校园文化体育节的到来，广州某中学学生会拟设计一份宣传海报，要求纸张的形状为矩形，面积为 。如图所示：其中上边、下边和左边各留宽为 的空白，右边留宽为 的空白，中间阴影部分为文字宣传区域。设矩形海报的长为 ，宽为 ，文字宣传区域面积为 。 （1）用 表示 ； （2）当 各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？ 21.（12 分）已知函数 对任意的 都有 成立，且当 时，。 （1）用定义法证明 是 上的增函数； （2）解不等式 ，其中 。 22.（12 分）已知指数函数 ，其中 且 。 （1）求实数 的值； （2）已知函数 与函数 的图象关于点 中心对称，且方程 有两个不等的实根 。 ① 若 ，求 的取值范围； ② 若 ，求实数 的值。 参考答案与解析 一、答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D C B C B C 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 BC CD ABD ACD 4 二、逐题解析 1.【答案】D 全称命题“”的否定为特称命题“”，故原命题的否定为“”。故选 D。 2.【答案】D ；。所以 。故选 D。 【易错提醒】 中 是元素， 中 是函数值域，本质是数集 ，不要误当作定义域 。 3.【答案】D A： 是奇函数但在 上单调递减，不符合； B： 是奇函数，但在 和 上分别递减，定义域内不是增函数，不符合； C： 在 上递减，不符合； D： 是奇函数，且在 上单调递增，符合。故选 D。 4.【答案】C 令 ，则 ，于是 ，即 。故选 C。 5.【答案】B 因为 ，所以 是奇函数，图象关于原点对称，排除 A、C（均为偶函数型图象）；当 时，，排除 D。故选 B。 6.【答案】C 由 在 上单调递增，需满足三段条件： ① 当 时， 递增，对称轴 ，得 ； ② 当 时， 递增，得 ； ③ 分段衔接处不“下掉”：，即 ，得 。 综上，。故选 C。 7.【答案】B 由题意 。总收益 。 令 ，则 ，，其图象开口向下，对称轴 。 所以当 时，（万元）。故选 B。 8.【答案】C 由 知 在 上单调递减； 由 为奇函数，得 ，即 的图象关于点 中心对称，且 ，从而 在 上单调递减。 不妨设 。由 得 ，于是 。而由中心对称，，故 ，即 。故选 C。 9.【答案】BC 阴影部分中的元素不在 中、在 中，即属于 ，B 正确； 又 ，C 正确；A 为 ，范围过大；D 的补集为 ，是 独有的部分，均不符合。故选 BC。 10.【答案】CD A：当 时不成立（如 ）； B：当 时不成立（如 ，）； C：当 时 ；当 时 ；总有 ，正确； D：，正确。故选 CD。 11.【答案】ABD 由 是奇函数，得 ，即 的图象关于点 中心对称，A 正确； 由 是偶函数，得 ，即 的图象关于直线 对称，B 正确； 由轴对称 ，又 是对称中心，故 ，所以 ，D 正确； 无法推出（如 满足全部条件但 ），C 错误。故选 ABD。 12.【答案】ACD A：，显然是奇函数，A 正确； B：取特殊值，，，，当 时为负，故 在 上并非单调递增，B 错误； C：由 分离参数得 。当 时 ，故 ，C 正确； D： 时，由 A 知 关于点 中心对称；由 知 也关于点 中心对称。两图象的 2022 个交点两两关于 对称，每对交点的横、纵坐标之和分别为 ，共 1011 对，故 ，D 正确。故选 ACD。 13.【答案】 由 得 且 ，定义域为 。 14.【答案】4 因为 ，所以 ；于是 ，解得 。 15.【答案】 由 得 。设 ，其图象开口向下，对称轴为 ，故 在 上单调递增，从而 在 上单调递减。 16.【答案】 。令 ，则 。 题设等价于 对一切 恒成立，即 在 上恒成立。 当 时，区间含顶点 ，最小值为 ，不合； 当 时， 在对称轴 右侧，最小值在 处取得：，解得 （舍负）。 综上，。 17.【解析】（1） 且 ，得 ； 得 。 所以 ，即 ； ，故 或 。 （2）“”是“”的充分不必要条件 。 ① 当 时，，即 ，符合； ② 当 时，需 且 ，即 且 ，得 （ 不可能取到，真子集条件自动满足）。 综上，实数 的取值范围为 。 18.【解析】（1）由幂函数定义，，解得 或 。 当 时， 为奇函数，不满足 ，舍去； 当 时， 为偶函数，满足条件。故 。 （2），由 得 。 ， 当且仅当 即 ，结合 得 时取等号。 故 的最小值为 。 19.【解析】（1）当 时 ，。由 为奇函数，，故 。 右侧图象为开口向下、过原点和 、顶点 的抛物线段（图略）。 单调递减区间为 和 （写成闭区间亦可）。 （2）当 时 ，故 ，对称轴为 。 ① 当 ，即 时， 在 上递减，； ② 当 ，即 时，； ③ 当 ，即 时， 在 上递增，。 综上， 20.【解析】（1）文字区域的长为 ，宽为 ，故 ，其中 。 （2）由（1），。由基本不等式， ， 当且仅当 ，即 时等号成立。 故 。当 时，文字宣传区域面积最大，最大面积为 。 21.【解析】（1）先求 ：令 ，得 ，即 。 任取 且 ，则 。 因为 ，所以 ，故 ，即 。 所以 是 上的增函数。 （2）由 ，原不等式等价于 。由（1）的单调性， 。 ① 当 时，不等式化为 ，解集为 ； ② 当 时，两根为 与 ，且 ，解集为 ； ③ 当 时，，解集为 。 22.【解析】（1）由指数函数定义，，即 ，解得 或 （舍去）。故 ，。 （2）由对称性，。 方程 即 。令 ，则 ，，整理得 ，其两根 。设 。 ① 。 首先方程有实根：。 设 ，则 （），即 。 故 。 ② 不妨设 ，则 。由 得 ；由 得 。两式相除（或代入）：由 代入 得 ，即 ，所以 ，解得 （也可写作 ）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $