精品解析：黑龙江齐齐哈尔市第三十四中学校2026-2027学年 九年级上学期第一次阶段自测数学试题

数学学科自主学习阶段评比 一．选择题（每题3分，共36分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，据此即可作答． 【详解】解：A．当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程； C．是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．整理得：，不是一元二次方程． 故选：B． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由于所给的是二次函数的顶点式，可以直接写出该抛物线的对称轴． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 3. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程求得，然后根据即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 则， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值． 4. 若函数的图象是开口向上的抛物线，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数图象是开口向上的抛物线， ∴函数为二次函数，需满足，且． 由得， 解得． 由得． ∴． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 有最大值3 【答案】B 【解析】 【分析】求出当时，即可判断A；把二次函数解析式化为顶点式即可判断B、C、D． 【详解】∵当时，，则二次函数与y轴的交点坐标为，故A不符合题意； ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，故B符合题意； ∴当时，y随x的增大而减小，故C不符合题意， ∵ ∴有最大值为4，D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数图象的性质． 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 8. 如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则，根据矩形鸡舍的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又墙长， ， 即的长为， 故选：D． 9. 如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，作轴于点H，求出和的长，进而求出点C的坐标，将点A和点C的坐标代入，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点H， 菱形边长为2， ， ， ， ， ，， ， 将和代入，得： ， 解得， a的值为． 故选：B． 10. 定义：如果一元二次方程满足，我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是阿凡达方程，且有两个相等的实数根，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a-b+c=0，即b=a+c，代入b2-4ac=0得（a+c）2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系． 【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=0， 又∵a-b+c=0， ∴b=a+c， 代入b2-4ac=0得（a+c）2-4ac=0， 化简得（a-c）2=0， 所以a=c． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，关键是熟练掌握：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 11. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的性质，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【详解】解：对称轴为直线， 时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点，一次函数经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点， 时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点，一次函数经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点． 故选：D． 12. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 二．填空题（每题3分，共24分） 13. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【详解】试题分析：令x＝1，则y1＝m，y2＝n， 由图象可知当x＝1时，y1＞y2， ∴m＞n． 故答案为＞． 点睛：本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键． 14. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义和一元二次方程根的判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 15. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的判别式等于，列方程即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得． 16. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 17. 若关于的函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为______． 【答案】2或3或 【解析】 【分析】根据题意，将该函数分成一次函数和二次函数分别进行讨论，若为一次函数，则二次项系数为0，若为二次函数且与轴只有一个交点，则． 【详解】解：∵关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点， 当该函数为二次函数时， ∴， ∴解得或， 当该函数为一次函数时， ∴ ∴或3或． 故答案为：2或3或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的概念和性质是解答此题的关键． 18. 已知点，，都是抛物线（m为常数）的点，则将，，用“<”连接为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越小，据此求解可得． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∵由二次函数图象的对称性可知， ∴． 故答案为：． 19. 已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键．先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数在处有最大值， ∵二次函数在时有最大值16， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在时有最大值16， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或2． 20. 抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出；设，求出，得出规律，，，，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ∵是等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），； ∴， 同理可得：，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，观察图形得出规律是解题的关键． 三．解答题（共40分） 21. 解下列方程： （1） （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， 开平方得 ， 解得； 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得 ， 开平方得， 解得 【小问3详解】 解：， 移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） 解：由题意得 ，，， ， 故无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此进行求证即可． （2）根据、是一元二次方程的两个根，则有，然后代入等式，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得 ， ， 整理得：， 解得：，， 故的值为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握判别式及根与系数的关系是解题的关键． 23. 2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． （1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． （2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？ 【答案】（1）2、3这两个月销售量的月平均增长率为 （2）每个毛线玩具降价5元时可在12月份可获利4200元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设10、11这两个月毛线玩具销售量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每个毛线玩具降价a元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设10、11这两个月毛线玩具销售量的月平均增长率为x， 则：， ∴（舍），， 答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每个毛线玩具降价a元， 则：， 整理得：， 解得：（舍），， 答：每个毛线玩具降价5元时可在12月份可获利4200元． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． （1）求、满足的关系式及的值． （2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点、的坐标，代入，即可求解； （2）当时，可得抛物线解析式为，设点，过点作于点，由，，可得，则，即可求解； （3）由，可得抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，解得， 当时，， ∴，， 把，代入，得， ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时，， ∴抛物线解析式为， 如图，设点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或 整理得或 解得，，，， 当，时，， ∴，， 当，时，， ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． 【小问3详解】 解：由（1）可知，，， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵当时，的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科自主学习阶段评比 一．选择题（每题3分，共36分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 若为方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象是开口向上的抛物线，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 9 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 有最大值3 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 无法确定 7. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 9. 如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：如果一元二次方程满足，我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是阿凡达方程，且有两个相等的实数根，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（每题3分，共24分） 13. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 14. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 15. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 16. 若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 17. 若关于的函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为______． 18. 已知点，，都是抛物线（m为常数）的点，则将，，用“<”连接为______． 19. 已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________． 20. 抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 三．解答题（共40分） 21. 解下列方程： （1） （2）； （3） （4）． 22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 23. 2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． （1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． （2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？ 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． （1）求、满足的关系式及的值． （2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当时，若的函数值随的增大而增大，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $