精品解析：黑龙江齐齐哈尔市第二十八中学2025-2026学年九年级上学期学情自测数学试卷

2025-2026学年九年级（上）1月月考数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 清明时节一定下雨 B. 水加热到时沸腾 C. 小明经过马路，恰好是红灯 D. 任意画一个三角形，内角和是 3. 如图左侧是一中国象棋棋盘，右侧是一枚放大后的棋子．这枚棋子的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（ ） 种说法是正确的． A. 明天这个地区的时间会下雨 B. 明天这个地区的地方下雨 C. 明天这个地区下雨的可能性不大 D. 明天这个地区下雨的可能性是 6. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 如图，的直径于点，点为上一点，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转角得到，此时点D落在的延长线上，连接，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，拋物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④当时，，⑤点，在抛物线上，且，当时，．其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 年春节电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》与《射雕英雄传：侠之大者》等新片上映．这些影片既有票房与口碑双丰收的表现，也有东方美学的创新表达和技术工业的突破性成就，为中国故事的全球传播写下浓墨重彩的一笔．冉冉和莹莹分别从上述四部影片中随机选择一部观看，则两人选择的影片不同的概率为________． 12. 圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是______． 13. 如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 14. 在三角形中余切通常指的是直角三角形中一锐角的邻边与对边的比，通常用表示，若中，，，则三角形的周长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则该反比例函数的表达式是_____ 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是________ ． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 20. 如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． （1）求证：； （2）当时，求的长． 21. 如图，点在以为直径的上，点是的中点，点在的延长线上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点． （1）如图1，直接写出的值； （2）将绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，其他条件不变，绕点顺时针旋转，当为多少度时，并说明理由．（） 23. 综合与实践 已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式及对称轴． （2）如图1， ①若，则P点坐标为 ； ②若，则P点坐标为 ． （3）如图2，连接、，与交于点D，若，求点P坐标． （4）如图3，M、N是抛物线对称轴上两个动点，点M在点N上方，且，请直接写出的最小值 ．并写出此时M点的坐标 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）1月月考数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 清明时节一定下雨 B. 水加热到时沸腾 C. 小明经过马路，恰好是红灯 D. 任意画一个三角形，内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A．清明时节一定下雨，是随机事件，故该选项不符合题意； B．只有在一个大气压下，水加热到时沸腾，才是必然事件，故该选项不符合题意； C．小明经过马路，恰好是红灯，是随机事件，故该选项不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 3. 如图左侧是一中国象棋棋盘，右侧是一枚放大后的棋子．这枚棋子的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握从不同方向观察立体图形并判断其投影形状是解题的关键．根据俯视图的定义，从正上方观察该立体图形，判断其投影形状． 【详解】解：这枚棋子的俯视图是， 故答案为：C． 4. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5. 某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（ ） 种说法是正确的． A. 明天这个地区的时间会下雨 B. 明天这个地区的地方下雨 C. 明天这个地区下雨的可能性不大 D. 明天这个地区下雨的可能性是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查降水概率的定义，降水概率表示某地区下雨的可能性大小，而非时间或区域的占比，据此判断各选项即可． 【详解】∵降水概率的含义是指某地区下雨的可能性大小． ∴选项中“的时间下雨”、选项中“的地方下雨”均错误． ∵的概率说明下雨可能性较大． ∴选项错误． ∵降水概率即表示明天该地区下雨的可能性是． ∴选项正确． 故选：D． 6. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 7. 如图，的直径于点，点为上一点，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接、，由，可知，设，则，的半径等于，根据勾股定理用，则，，根据垂径定理和圆周角定理得出，再根据锐角三角函数定义可得出结论． 【详解】解：连接、， ， ， 设，则，的半径等于， 在中，， 由勾股定理得：， 或（舍去）， ， ，， 的直径于， ． ，即， ， ， ． 故选：A 8. 如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转角得到，此时点D落在的延长线上，连接，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的旋转问题，涉及勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．过C作于F，由，知是等腰直角三角形，可得，即得，，再由旋转性质可得，，，证明，根据勾股定理得 【详解】解：过C作于F，如图， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 将绕点B顺时针旋转角得到， ，，， ， ， ， ； 故选： 9. 如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象由，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，，， ∴， 由图象可得，当点在点处时，取得最大值， 则， 解得：，即， 则， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．从图象中获取准确信息是解题的关键． 10. 如图，拋物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④当时，，⑤点，在抛物线上，且，当时，．其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ， ∵， ∴，，， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 当时，取得最大值，最大为 当或时，取得最小值为 ∴当时，，故④错误， ⑤点，在抛物线上，且， 当时， 即， 又∵抛物线开口向下， ∴，故⑤正确 正确的个数是3个， 故选：B． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 年春节电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》与《射雕英雄传：侠之大者》等新片上映．这些影片既有票房与口碑双丰收的表现，也有东方美学的创新表达和技术工业的突破性成就，为中国故事的全球传播写下浓墨重彩的一笔．冉冉和莹莹分别从上述四部影片中随机选择一部观看，则两人选择的影片不同的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，由表可知共有种等可能的情况出现，其中两人选择的影片不同的情况有种，所以两人选择的影片不同的概率为． 【详解】解：设《哪吒之魔童闹海》用表示，《封神第二部：战火西岐》用表示，《唐探》用表示，《射雕英雄传：侠之大者》用表示， 列表如下， A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 由表可知共有种等可能的情况出现，其中两人选择的影片不同的情况有种， 两人选择的影片不同的概率为． 故答案为：． 12. 圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长以及圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键． 根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，计算即可． 【详解】解：∵圆锥底面半径为1，高为， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 【答案】4.8或7.5或10 【解析】 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分三种情况进行讨论，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 当直线截存在与相似的三角形时，分三种情况讨论： ①当时，则：， 即：，解得：； ②当时，则：， 即：，解得：； ③当点Q和点B重合时，， ∴， ∴ 又∵ ∴，符合题意． 综上：秒或秒或10秒． 14. 在三角形中余切通常指的是直角三角形中一锐角的邻边与对边的比，通常用表示，若中，，，则三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，由题意可得，则，然后由勾股定理得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则该反比例函数的表达式是_____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质等知识，过作轴于点，证明，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据三角形面积公式即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵点在反比例函数上， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题属于规律探索的问题，熟悉等腰直角三角形的性质以及一次函数的特点是解题的关键．找出，，，…，面积之间的规律，根据规律即可求出的面积． 【详解】解：由题意得， ∴将代入， 则， ∴， ∵，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，则； ，则； ，则， ……， ，则， ∴的面积为． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂进行计算即可． 【详解】解： 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， 解得：，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键． （1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代入反比例函数即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则或， 当时，， 当时，， 综上：或． 20. 如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）通过两组对角相等证明三角形相似； （2）由勾股定理计算出，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 即， ∴． 21. 如图，点在以为直径的上，点是的中点，点在的延长线上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 是的直径， 是的切线。 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的判定、特殊角的三角函数值、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）根据圆周角定理可得即，再说明，进而求得，即可证明结论； （2）如图，连接，由特殊角的三角函数值可得，进而求得，然后说明，最后根据弧长公式求解即可。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 点是的中点 ， ， ， ， ， 的长为． 22. 如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点． （1）如图1，直接写出的值； （2）将绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，其他条件不变，绕点顺时针旋转，当为多少度时，并说明理由．（） 【答案】（1） （2）， 理由如下： 将绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，连接、， 由（1）可得，，，， ， 由旋转可知，， ， ， ； （3）或， 理由如下： 如图，连接，， ， 点在的中垂线上， ，， 四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形， ， ； 如图，同理，是等边三角形， ； 综上所述，当为或时，． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的综合，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键． （1）直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论； （2）先判断出，进而得出，即可得出结论； （3）先判断出点在的中垂线上，再判断出是等边三角形，求出，再分两种情况得出结论； 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵在正方形中，点为上的一点，，交于点，是正方形的对角线， ，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 综合与实践 已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式及对称轴． （2）如图1， ①若，则P点坐标为 ； ②若，则P点坐标为 ． （3）如图2，连接、，与交于点D，若，求点P坐标． （4）如图3，M、N是抛物线对称轴上两个动点，点M在点N上方，且，请直接写出的最小值 ．并写出此时M点的坐标 ． 【答案】（1）；对称轴为 （2）①，② （3）或 （4）， 【解析】 【分析】（1）把 、代入得利用待定系数法求解即可，把一般式化成顶点式即可得抛物线的对称轴． （2）①先求出A、B、C的坐标，则可知、、的长．易证，则可得，又由，可得，则可得，由此可得P点 于C点的纵坐标相同，由即可求得P点的坐标． ②作C点关于x轴的对称点，则可得，过C点作，交抛物线于P点 ，则可得．求出直线的表达式，由可知直线与直线的斜率相同，则可得直线的表达式．联立抛物线与直线的表达式，即可求出点P的坐标． （3）先求出直线的表达式为．过D点作轴于E点，过P点作轴于F点，则可得，进而可得．设，，则，，代入比例式中即可求出n的值，进而可得P点的坐标． （4）将向上平移2个单位得，则可得平行四边形，由此得，作点关于对称轴的对称点，则，进而可得．当E、M、G三点共线时，的值最小，即的长．根据勾股定理即可求出的长．求出直线的表达式，与对称轴的交点即为M点，求出M点的坐标即可． 【小问1详解】 把 、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为：， ， ∴对称轴为：． 【小问2详解】 ① 由得， ，， ，， ，，， ， 又， ， ， 又， ， ， ∴P点与C点纵坐标相同， 由得， ，， ，， ． ② 如图，作点关于x轴的对称点，连接，则， ， 又， ， 过C点作，交抛物线于P点， 则， 设的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． ， ∴直线与直线斜率相同， ∴直线的表达式为． 联立， 得，， ． 【小问3详解】 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 过D点作轴于E点，过P点作轴于F点， 则， 又， ， ， ， ， ， 设，， 则，， ， 解得，， 时，， 时，， ，， ∴P点的坐标为：或． 【小问4详解】 的最小值为，此时M点的坐标为， 将向上平移2个单位得， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于对称轴的对称点， 则， ， 当E、M、G三点共线时，的值最小， 即的最小值为的长， ，， ， 的最小值为， 连接，与对称轴的交点即为M点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马求最小值问题．综合性强，难度较大．正确的做出辅助线，熟练掌握数形结合法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $