精品解析：湖北襄阳市第四十二中教联体2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

湖北省襄阳市第四十二中学九年级（上）第一次 月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( ) A. x+(x+1)x＝36 B. 1+x+(1+x)x＝36 C. 1+x+x2＝36 D. x+(x+1)2＝36 4. 如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 已知是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 7. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 8. 点均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 10. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 12. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 13. 制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是_____． 14. 若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 15. 若抛物线的顶点在轴上，则的值是_______________________． 16. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____． 三、计算题：本大题共1小题，共9分． 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3） 四、解答题：本题共7小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： ... ... ... ... （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图像，直接写出当时，的取值范围． 19. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 21. 如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 22. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ 23. 某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元,每月能售出 个台灯，若售价下降x元(),每月能售出 个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 24. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省襄阳市第四十二中学九年级（上）第一次 月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A．中未知数的指数不是2，故不是一元二次方程，不符合题意； B．中含有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C．，该方程是分式方程，故本选项不合题意； D、，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 方程移项，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 整理得：， 配方得：，即． 故选：B． 3. 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( ) A. x+(x+1)x＝36 B. 1+x+(1+x)x＝36 C. 1+x+x2＝36 D. x+(x+1)2＝36 【答案】B 【解析】 【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有36人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：1+x+(x+1)x＝36． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4. 如果关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 利用一元二次方程根的判别式列不等式求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，当时， ， 解得，且； 当时，原方程为一元一次方程， 解得，有实数根； 综上，当时，原方程有实数根． 故选：B． 5. 已知是二次函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数定义：形如的函数叫二次函数，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式理解即可得到答案． 【详解】解：是二次函数， ，解得， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式去理解概念是解决问题的关键． 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标进行选择即可． 【详解】∵抛物线中，a＜0， ∴开口向下， ∴顶点坐标（5，3）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标是解题的关键． 7. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案． 【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 8. 点均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．先求得抛物线的对称轴为直线，找到的对称点，根据当时，y随x的增大而减小，判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴． 故选：D 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 10. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 由，得， 由，得， ∴． 12. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 13. 制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是_____． 【答案】10% 【解析】 【详解】设平均每次降低成本的百分数是x， 第一次降价后的价格为：100（1-x），第二次降价后的价格是：100（1-x）（1-x）， ∴100（1-x）2=81， 解得x=0.1或x=1.9， ∵0＜x＜1， ∴x=0.1=10%， 故答案为10%. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 14. 若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设两个方程的公共解，代入两个方程联立消元，整理得到关系式，分情况讨论排除不符合条件的结果，即可得到的值． 【详解】解：设两个方程的公共解为，将代入两个方程得： ， 得： 整理得： 因式分解得： 或 当时，两个方程都为，两个方程相同，有两个公共解，不符合题意，舍去； 当时，把代入得： 计算得：，解得 解方程，得，， 解方程，得，， 验证得此时两个方程只有一个公共解，符合题意，因此的值为． 15. 若抛物线的顶点在轴上，则的值是_______________________． 【答案】± 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质得出b2−4ac＝0，即可求出m． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴b2−4ac＝， ∴m＝±， 故答案为：±． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确得出△=0的符号是解题关键． 16. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____． 【答案】≤a≤3 【解析】 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝ax2， 当抛物线经过（1，3）时，a＝3， 当抛物线经过（3，1）时，a＝， 观察图象可知≤a≤3， 故答案为：≤a≤3． 【点睛】本题考查抛物线与正方形的交点问题，掌握抛物线与点的关系，利用待定系数方法求出抛物线张口最小时a的值与张口最大时a的值是解题关键． 三、计算题：本大题共1小题，共9分． 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键． （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解； （3）利用公式法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 四、解答题：本题共7小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： ... ... ... ... （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图像，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）或； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，4），则可设顶点式y=a（x-1）2+4，然后把点（0，3）代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据x=、3时的函数值即可写出y的取值范围． 【详解】解：根据题意可知, 二次函数的顶点坐标为（1，4）， ∴设二次函数的解析式为：， 把代入得：； ∴； ∴解析式为：或. （2）略 （3）当时，； 当时，； ∵抛物线的对称轴为：， 此时y有最大值4； ∴当时，的取值范围为：. 19. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】应邀请6个球队参加比赛． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请x个球队参加比赛，利用所有队数乘以队数减一的差得到所有数量，结合单循环除以二即可得到答案； 【详解】解：设应邀请x个球队参加比赛，由题意可得， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：应邀请6个球队参加比赛． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴k无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）10 【解析】 【分析】（1）求得一元二次方程的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关系即可得出结论； （2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，，再利用勾股定理求得，再利用完全平方公式可得，求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时， ∴，， ∴， 在中，，即， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 当时，，不符合题意；故舍去． 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及与系数的关系是解题的关键． 21. 如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． （1）直接写出A，B，C三点的坐标． （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． 【小问2详解】 解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ 【答案】（1）y=+4x+16；（2）2米 【解析】 【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）∵BE边长为x米， ∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x 苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x) 则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=+4x+16 （2）依题意，令y=16 即+4x+16=16 解得：x1=0(舍）x2=2 答：此时BE的长为2米． 【点睛】本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键． 23. 某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元,每月能售出 个台灯，若售价下降x元(),每月能售出 个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【答案】（1）800；600+200x； （2）每个台灯的售价为37元； （3）月获利不能达到9600元， 理由：设每个台灯的售价为x元， 由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=9600， 整理得：x2-73x+1338=0， ∵△=b2-4ac=-23＜0， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【解析】 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个台灯的售价为x元，根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式△＜0，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【详解】解：（1）∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出600+200=800个台灯，若售价下降x元()，每月能售出600+200x个台灯； （2）设每个台灯的售价为x元， 由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=8400， 解得：x1=36，x2=37， 当x=36时，600+200(40-x)=1400＞1210（舍去）， 当x=37时，600+200(40-x)=1200＜1210（符合题意）， 答：每个台灯的售价为37元； （3）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】（1）； （2）1 （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $