3.3 探索与表达规律 小节整合练2026-2027学年北师大版七年级数学上册

3.3 探索与表达规律 小节整合练2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．有一组数：6，11，16，21，26，…．用代数式表示其中的第n个数应是（   ） A． B． C． D． 2．“幻方”起源于中国，是我们古代数学的杰作之一．如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若比大2，将填入图②的幻方中，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 3．如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了图书馆的网络，那么他输入的密码是（    ） A． B． C． D． 4．《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格上加倍至4粒，…，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第12格中所放的米粒数是（  ） A．22粒 B．24粒 C．粒 D．粒 5．汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点 ……依此规律，图⑪中共有圆点的个数是（   ） A．88 B．102 C．117 D．133 6．如图，第1个图案有木棒10根，第2个图案有木棒16根，第3个图案有木棒22根，…，则第个图案的木棒数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（    ） A．﹣5 B．0 C．5 D．10 8．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 二、填空题 9．按数字规律填空： 2，， 6，，10，_____，14， …． 10．“三天打鱼，两天晒网”，是古代渔民的耕作规律，那么第天渔民在_______． 11．观察下列等式： … 根据你发现的规律，第n个等式可表示为__________． 12．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 13．如图所示，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图⑩中阴影部分的面积是______． 三、解答题 14．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ． (2)利用规律简便运算：． 15．如图是用12根火柴棒摆成的倒“品”字，你能只移动3根火柴棒，把“品”字改成“田”字吗？请在图中标出移动的火柴棒． 16．如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n为正整数）个点． (1)当时，图形的点数为_________个； (2)当时，图形的点数为_________个； (3)当时，图形的点数为_________个； (4)每个图形的点数用含n的式子表示为_________个． 17．在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． (1)直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； (2)运用（1）发现的结论计算的值； (3)如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 18．用火柴棒按下图中的方式搭图形． （1）按图示规律填空： 图形符号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 （2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C C D C D 1．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察数字与数字之间的规律进行推导求解即可． 【详解】解：∵第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 第5个数：； …； ∴第n个数：． 2．【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查代数式求值．首先得到，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，即可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵y比x大2， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索与应用，根据题意总结出新运算公式是解题的关键．由题可知的运算结果中，前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为，计算即可得到答案． 【详解】解：由题可知的运算结果中，前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为， 前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为， ． 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了找数字规律，解题的关键是从题意中找出规律：每一格均是前一格的双倍，即．根据题意找出规律：每一格均是前一格的双倍，所以． 【详解】解：设第n格中放的米粒数是，则： ， ， ， … ， ∴， 即在第12格中所放的米粒数是粒． 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形类变化规律，解决问题的关键是运用特殊到一般的数学思想，找到图形变化的规律．观察并比较每两个相邻的“汉”字的相同与不同之处，找到规律可解决问题． 【详解】解：在图①中，圆点个数， 在图②中，圆点个数， 在图③中，圆点个数， 在图④中，圆点个数， ，，，，，，， 图⑪中共有圆点的个数是117， 故选：C． 6．【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形的变化类．根据图形，可以发现木棒根数的变化规律，从而可以写出第n个图形中木棒的根数，本题得以解决． 【详解】解：由题意知，第1个图案木棒的根数， 第2个图案木棒的根数， 第3个图案木棒的根数， …… ∴第n个图案木棒的根数为， 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】设P0所表示的数是x，根据题意归纳出Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，在根据P10＝0即可求解． 【详解】解：设P0所表示的数是x， 由题意知，P1所表示的数是x+1， P2所表示的数是x+1﹣2， P3所表示的数是x+1﹣2+3， ...， Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n， ∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10， ∵P10＝0，即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0， ∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0， 即x﹣5＝0， 解得x＝5， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，根据题意总结归纳出数字间的联系，得出规律是解题的关键． 8．【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据题意，按照运算程序依次计算前几次的差，找出运算规律，即可得到第100次运算的结果． 【详解】解： 原四位数为， 第一次运算：排列得到最大数，最小数，差为； 第二次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第三次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第四次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差仍为； 从第三次开始，每次运算得到的差都是； 因此第次得到的差为． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察序列的符号和绝对值，发现符号交替变化，绝对值是连续的偶数． 本题考查了规律的探索，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解： 序列的绝对值为2，4，6，8，10，12，14，即第n项的绝对值为； 符号由n的奇偶性决定，n为奇数时为正，n为偶数时为负； 第6项，此时，绝对值为12，符号为负， 故为； 故答案为：． 10．【答案】打鱼 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可知天一个循环，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第天渔民在打鱼， 故答案为：打鱼． 11．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，观察可知序号与序号加4的积加上4等于序号与2的和的平方，据此规律求解即可． 【详解】解： … 以此类推可得第n个等式可表示为， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 13．【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形可知，图①中有个圆，图②中有个圆，图③中有个圆，以此类推，图中有个圆． 分别计算出正方形面积和所有圆的面积之和，利用阴影部分面积等于正方形面积减去所有圆的面积之和进行求解． 【详解】解：图①中，正方形边长为，圆的直径为，半径为 ，阴影部分面积 ； 图②中，正方形边长为，4个圆的直径均为，半径均为 ，阴影部分面积 ； 图③中，正方形边长为，9个圆的直径均为，半径均为， 阴影部分面积 ； 由此规律可知，图中阴影部分的面积均为； 所以图⑩中阴影部分的面积是． 14．【答案】(1) (2)2 【知识点】有理数乘法的实际应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律， （1）根据5个等式的变化特点可得答案； （2）先整理得，再根据（1）规律计算即可. 【详解】（1）解： . 故答案为： ； （2）解：原式． 15．【答案】 解：如图： 【知识点】图形类规律探索 【分析】田字的中心是“十”字，先确定“十”的位置即可判断出该移动的火柴棒了．解决本题的关键是得到新字的图形的中心的特点． 【详解】略 16．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查的是图形类规律探究，列代数式，观察图形，找出相应的规律是解题的关键． （1）由观察图形直接便可得出，，时点的数量，进一步可得时点的数量． （2）结合（1）可得时点的数量． （3）结合（1）可得时点的数量． （4）结合（1）归纳可得每个图形的点数． 【详解】（1）解：依题意得：，点数为， ，点数为， ，点数为， ，点数为（个）． 故答案为：12． （2）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：30． （3）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：． （4）解：由（1），（2），（3）归纳可得： 每个图形的点数用含n的式子表示为：个． 故答案为：个． 17．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的求和运算，解题的关键是运用数形结合思想，将分数和转化为几何图形的面积关系推导规律． （1）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为． （2）提取，将式子转化为含（1）中规律的形式，代入计算． （3）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为，可得，代入即可． 【详解】（1）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：； （2）解：将原式变形，提取， 得到． 根据（1）的结论，． ∴原式． （3）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．【答案】（1）4；6；8；10；12；（2）（2+2n） 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）由图形发现，后面的图形都比前面相邻的图形多2根火柴棒，由此计算得出答案即可； （2）利用表中的规律得出一般的规律即可． 【详解】解：（1）填表如下： 图形符号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 4 6 8 10 12 （2）搭第n个图形需要（2n+2）根火柴． 故答案为：（2n+2） 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，进一步利用规律解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $