3.3 探索与表达规律 周末自主练2026-2027学年北师大版七年级数学上册

3.3 探索与表达规律 周末自主练2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（   ） A．103 B．109 C．111 D．132 3．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 4．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（    ） A．45尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 5．如图所示，将相同大小的实心圆点按照一定规律摆放，其中第①个图形有3个圆点，第②个图形有6个圆点，第③个图形有10个圆点，．．．．．．，按此规律，第⑦个图形中的圆点数量是（   ） A．27 B．28 C．35 D．36 6．一组有规律的图案如下图所示，按照这样的规律，第六个图案中白色三角形的个数为（  ）个 A．242 B．724 C．728 D．729 7．某学校把WiFi密码按照如图规律设置，根据提供的信息可以推断该校的WiFi密码是（    ）      A．121830 B．121632 C．141832 D．101828 8．如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 二、填空题 9．有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 10．密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系，如将“明文”中的26个英文字母a，b，c，…，z，1，2，3，…26，给出了破译“明文”与“密文”的一把钥匙．如果“密文”中的数字x为奇数，则明文对应的序号为，如果“密文”中的数字x为偶数，则“明文”对应的序号为，数字为“；；；；；17”，则对应的“明文”为 ___________． 11．观察下列等式： 猜想： ______ 12．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 13．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图8中有________个棋子． 三、解答题 14．观察下列等式解答问题： ①， ② ③ (1)按此规律，第④个等式为 ； (2)按此规律计算： ①    ② 15．如图是用12根火柴棒摆成的倒“品”字，你能只移动3根火柴棒，把“品”字改成“田”字吗？请在图中标出移动的火柴棒． 16．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，    统计如下表： … “·”的个数 3 8 15 _________ _________ … (1)填表：____________，____________． (2)写出第n幅图形中“·”的个数____________（用含n的代数式表示）． (3)求的值． 17．如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 18．在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． (1)直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； (2)运用（1）发现的结论计算的值； (3)如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B D C A C 1．【答案】B 【知识点】数字类规律探索、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查多项式规律探索，通过观察各项中和的指数变化，找出第个多项式的形式． 【详解】解：∵第1个多项式：，第2个：，第3个：，第4个：，第5个：， ∴a的指数依次为1，2，3，4，5，...，对应第n项为；b的指数依次为2，4，6，8，10，...，对应第n项为， ∴第个多项式是． 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字规律可得，右边的数减去下边的数等于左边的数，而左边的数的绝对值为从1开始的连续的整数，右边的数为从2开始的连续的数的平方，据此即可求解． 【详解】解：第1个图，，； 第2个图中，， 第3个图中，， ， 在第10个图中，，， ∴ 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据流程图计算出前6次的输出结果可知从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为1， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， ……， 由此可知，从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为， ∵， ∴第1000次输出的结果为4， 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究．观察可知，图形中点的个数为从1开始的连续的整数的和，进行求解即可． 【详解】解：第①个图形有个圆点； 第②个图形有个圆点； 第③个图形有个圆点； 依次类推： 第⑦个图形中有个圆点； 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．求出第个图案中白色三角形的个数依次为、、，归纳推出第个图案中白色三角形的个数为个，其中为正整数，据此解答即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图案中白色三角形的个数为（个）， 第2个图案中白色三角形的个数为（个）， 第3个图案中白色三角形的个数为（个）， 第个图案中白色三角形的个数为个，其中为正整数， 则第六个图案中白色三角形的个数为（个）， 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了整式的规律，发现规律并计算是解题的关键． 根据题意，运算规律是，最左边的两位数等于，中间的两位数是，最后的两位数为，不足两位时，高位用0补齐，计算，表示即可． 【详解】解：根据题意，得的积的最左边的两位数等于，中间的两位数是，最后的两位数为，不足两位时，高位用0补齐， ，，， ∴密码是121830． 故选：A． 8．【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的定义、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，根据题意分别求出表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，找出规律逐一判断即可，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：甲：设点表示， 则表示的数为，表示的数为， 、互为相反数， ∴，解得：， ∴点表示，故甲说法正确； 乙：∵点表示； ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∵点到原点的距离为， ∴或，故乙说法错误； 丙：设点表示， ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∴，故丙说法正确； 综上可知：甲、丙对，乙不对， 故选：． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据所给各数，发现其变化规律即可解决问题． 【详解】 解：由题知，第奇数个数为正数除外，第偶数个数为负数； 各数的绝对值依次可表示为：…， 所以第n个数可表示为：， 当时，第20个数是：， 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给“密文”与“明文”之间的对应关系是解题的关键．根据题中所给密文与明文之间的对应关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当“密文”为6时，， 所以“密文”数字6对应的“明文”为“c”； 同理可得， “密文”数字11对应的“明文”为“l”； “密文”数字10对应的“明文”为“e”； “密文”数字21对应的“明文”为“v”； “密文”数字10对应的“明文”为“e”； “密文”数字17对应的“明文”为“r”； 所以“明文”为． 故答案为：． 11．【答案】55 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，由所给的等式可得出第n个等式为：，再将代入计算即可得解． 【详解】解：∵， … ∴第n个等式为：， ∴ ． 故答案为：55． 12．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 13．【答案】61 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况.根据题意得出第个图形中棋子数为，据此可得． 【详解】解：图1中棋子有（个）， 图2中棋子有（个）， 图3中棋子有（个）， ……， 一般地，第个图形中棋子数为， 图8中棋子有（个）． 故答案为：61． 14．【答案】(1) (2)①，② 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的化简求值等知识点，归纳出数字的变化规律并灵活运用规律成为解题的关键． （1）根据已有等式，类比、归纳即可解答； （2）①逆用（1）所得的规律即可解答； ②逆用（1）所得的规律即可解答． 【详解】（1）①， ② ③ 第n个等式为： 按此规律，第④个等式为： 故答案为： （2）① ② 15．【答案】 解：如图： 【知识点】图形类规律探索 【分析】田字的中心是“十”字，先确定“十”的位置即可判断出该移动的火柴棒了．解决本题的关键是得到新字的图形的中心的特点． 【详解】略 16．【答案】(1)，35 (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查图形的变化类，发现题目中“·”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得． （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可． （3）把第二问总结的规律代入问题解题即可． 【详解】（1）解：观察图形：， ， ， ， 按照此规律，则：； （2）由（1）详解可总结出：． （3）∵ ． 17．【答案】(1)210 (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算、图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的求和运算，解题的关键是运用数形结合思想，将分数和转化为几何图形的面积关系推导规律． （1）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为． （2）提取，将式子转化为含（1）中规律的形式，代入计算． （3）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为，可得，代入即可． 【详解】（1）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：； （2）解：将原式变形，提取， 得到． 根据（1）的结论，． ∴原式． （3）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $