3.3 探索与表达规律 小节训练 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

3.3 探索与表达规律 小节训练2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．观察下列数据：，，，，，…根据以上数据中的规律，你认为第11个数字是（   ） A． B． C． D． 2．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 3．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是（    ） A．275717 B．571035 C．143549 D．351014 4．蟑螂的生命力很旺盛，它繁衍后代的数量为这一代的数量的7倍，也就是说，如果它的始祖(第一代)有7只，则下一代就会有49只，以此类推，蟑螂第10代的只数是(　　) A． B． C． D． 5．如图所示，将相同大小的实心圆点按照一定规律摆放，其中第①个图形有3个圆点，第②个图形有6个圆点，第③个图形有10个圆点，．．．．．．，按此规律，第⑦个图形中的圆点数量是（   ） A．27 B．28 C．35 D．36 6．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个小等边三角形，第2个图案中有个小等边三角形，第3个图案中有个小等边三角形……，依此规律，则第个图案中小等边三角形个数为 A． B． C． D． 7．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 8．同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式表示的是（   ） A．如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为____； B．图中长方形的周长为_____； C．若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为_____； D．分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有_____只． 二、填空题 9．按数字规律填空： 2，， 6，，10，_____，14， …． 10．“三天打鱼，两天晒网”，是古代渔民的耕作规律，那么第天渔民在_______． 11．观察下列两行数： ； ；则第二行的第个数是___________． 12．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成________个部分．如果画8个圆，最多可以把平面分成________个部分． 13．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：像这样，①若10条直线相交，则交点最多的个数是__________．②若n条直线相交，则交点最多的个数是__________． 三、解答题 14．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ． (2)利用规律简便运算：． 15．如图，在钟面上有个数字，如果在某些数前添上负号，可以使个数字之和等于，例如，． (1)请你再写出一种添加负号的方法； (2)想一想，这样的负号至少需添加几个？ (3)以上解题过程中，你是怎么想的？ 16．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，    统计如下表： … “·”的个数 3 8 15 _________ _________ … (1)填表：____________，____________． (2)写出第n幅图形中“·”的个数____________（用含n的代数式表示）． (3)求的值． 17．在数学中，数与形之间可以相互转化．在学习《转化 表达》这节课时，小华发现课本上利用图形来总结了连续奇数的和的规律．如图： (1)借助图形，我们可以总结出 ． (2)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律： ． 18．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C C D B B B 1．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律题，正确找到规律是解题的关键． 拆分数据的符号、分子、分母分别寻找规律，推导第n项的表达式后，代入计算第11个数字即可． 【详解】解：观察数列可得： 1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用表示（n为项数）， 2. 分母规律：第n项的分母为n， 3. 分子规律：第n项的分子为（如第1项分子，第2项分子，以此类推）， 则第n项的表达式为 当时， 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据流程图计算出前6次的输出结果可知从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为1， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， ……， 由此可知，从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为， ∵， ∴第1000次输出的结果为4， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数字类规律探索 【分析】根据题中密码规律确定出所求即可． 【详解】解：根据图中规律可得 原式 ． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．【答案】C 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可． 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，利用有理数的乘方的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：第1代数量为只， 第2代数量为只， ……， ∴第n代数量为只， 当时，第10代数量为只． 故选：C. 5．【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究．观察可知，图形中点的个数为从1开始的连续的整数的和，进行求解即可． 【详解】解：第①个图形有个圆点； 第②个图形有个圆点； 第③个图形有个圆点； 依次类推： 第⑦个图形中有个圆点； 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形变化的规律问题，找到图形变化的规律是解题的关键． 找到图形变化的规律即可求解． 【详解】解：根据图形可得， 第1个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第2个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第3个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第10个图案中小等边三角形的个数为，（个）． 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍；再由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7；由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍；由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9；最后选出答案． 【详解】解：由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍， ∴第一个图空白处的数字为； 由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7， ∴第二个图空白处的数字为； 由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍， ∴第三个图空白处的数字为； 由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9， ∴第四个图空白处的数字为； ∴空白处应该填写的数字依次是7，13，12，17． 8．【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、列代数式、数字类规律探索 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是根据题目中所描述的数量之间的关系列出正确的代数式，再进行判断即可． 【详解】解：A选项：如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为，故A选项中所求的量可以用代数式表示； B选项：图中长方形的周长为，故B选项中所求的量不可以用代数式表示； C选项：若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为，故C选项中所求的量可以用代数式表示； D选项：分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有只，故D选项中所求的量可以用代数式表示． 故选：B． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察序列的符号和绝对值，发现符号交替变化，绝对值是连续的偶数． 本题考查了规律的探索，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解： 序列的绝对值为2，4，6，8，10，12，14，即第n项的绝对值为； 符号由n的奇偶性决定，n为奇数时为正，n为偶数时为负； 第6项，此时，绝对值为12，符号为负， 故为； 故答案为：． 10．【答案】打鱼 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可知天一个循环，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第天渔民在打鱼， 故答案为：打鱼． 11．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的乘方的数字变化规律．解题关键是由特殊到一般，找出数字规律，符号规律．由第一行可知，每个数字为的乘方，即第n个数字为，第二行每一个数比第一行对应的数小2，由此得出答案． 【详解】解：∵第一行每个数可以写成： ∴第一行第n个数是 ∵第二行每个数可以写成： ∴第二行第n个数是； 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】要使分成的平面部分最多，新增图形需和之前所有图形都产生最多交点，根据交点数量推导新增部分数，找规律计算即可． 【详解】解：先计算8条直线分平面的最多部分数： ∵1条直线最多把平面分成个部分； 每新增第条直线，最多和前条直线都相交，产生个新交点，新增个平面部分； ∴条直线最多分平面的部分数为： 把代入得：． 再计算8个圆分平面的最多部分数： ∵1个圆最多把平面分成个部分； 每新增第个圆，最多和前个圆每个都交于2个点，共产生个新交点，把新圆分成段弧，每段弧新增1个平面部分，即新增个部分； ∴个圆最多分平面的部分数为： 把代入得：． 13．【答案】 45 【知识点】图形类规律探索 【分析】当n条直线都两两相交，且交点不重合时，交点的个数最多，则每条直线都要与其他条直线有1个交点，而两条直线之间的交点只算1个，据此结合图形的规律可得答案． 【详解】解：2条直线相交最多有个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， ……， 以此类推，可知n条直线相交，最多有个交点， ∴10条直线相交最多有个交点． 14．【答案】(1) (2)2 【知识点】有理数乘法的实际应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律， （1）根据5个等式的变化特点可得答案； （2）先整理得，再根据（1）规律计算即可. 【详解】（1）解： . 故答案为： ； （2）解：原式． 15．【答案】(1) 解：把四个数看作一组，根据中间两个数的和等于外面两个数的和添负号， 即：， (2) (3) 解：①通过尝试不同数字前添加负号，调整正负数值的和，使所有数字运算后结果为0；例如将数字分组，让正、负部分的和相互抵消，像把和相等的几组数，一组取正、一组取负； ②要使添加负号后和为，则添加负号的数的和应为，然后从较大的数开始尝试组合，找到和为所需最少的数的个数； 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查的知识点为有理数的加减混合运算以及数的和的奇偶性、平衡思想． （）可以把四个数看作一组，中间两个数的和等于外面两个数的和，所以在中间两个数或外面两个数前面添负号就能使这个算式等于； ()因为这个数字的和是，所以要使最终的结果为，添加负号的数的和得是，，所以至少要添加个负号； （）通过分析钟面个数字及利用有理数的加减混合运算规则即可解答； 【详解】（1）略 （2）(2)∵这个数字的和是， ∴要使最终的结果为，添加负号的数的和得是， ∵， ∴至少添加个负号， ； （3）略 16．【答案】(1)，35 (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查图形的变化类，发现题目中“·”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得． （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可． （3）把第二问总结的规律代入问题解题即可． 【详解】（1）解：观察图形：， ， ， ， 按照此规律，则：； （2）由（1）详解可总结出：． （3）∵ ． 17．【答案】(1) (2) 如图所示， 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】此题考查了数字类和图形类规律问题，解题的关键是正确根据图形找到规律． （1）根据图形找到规律，进而求解即可； （2）根据题意画出第四个图，然后根据图形找到规律，进而求解即可． 【详解】（1）根据图形可得，，，， ∴； （2）由图形可得，，，， ∴． 18．【答案】(1) (2)；； (3)2100 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $