3.4 函数的应用（一）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4 函数的应用（一） 人教A版 数学 必修第一册 高一 教学设计-2026-2027学年

一、教学目标

1. 素养目标：能够从实际情境中提取变量间的依赖关系，经历将实际问题抽象为函数模型的完整过程，在此过程中提升数学抽象与数学建模素养；在利用函数性质求解最值、分段计算等问题时，发展逻辑推理与数学运算素养。

2. 知识目标：掌握利用一次函数、二次函数、幂函数等已知模型解决实际问题的基本步骤，即分析变量关系、建立函数解析式并注明定义域、利用函数性质求解、将结果还原为实际答案；能够依据计费区间或税率档位正确建立分段函数模型，并能由图象读取信息解决实际问题。

二、教学方法

本节课采用情境驱动与问题引导相结合的教学方式。教师呈现真实的计费、纳税等生活情境，引导学生在分析具体数据的过程中发现分段特征，自主尝试构建解析式。课堂以教师启发设问、学生独立计算与小组讨论交替推进，促使学生在建模与求解的实践中掌握函数应用的一般方法。

三、教学过程

函数的应用（一）	课  型	新授课	课时数	1	授课时间	第9周
教学环节	教师活动	学生活动	设计意图	教学环节	教师活动	学生活动
情境导入	展示出租车计价与个税缴纳情境	观察数据，思考费用随里程变化规律	唤醒生活经验，引出函数模型	模型归纳	引导总结函数应用四步法	讨论并口述步骤要点
新授探究	讲解例1二次函数利润模型	列解析式，配方求最值	掌握已知模型直接应用方法	新授探究	讲解例2出租车分段计费	分段列式，代入求值
新授探究	讲解例3个税分段计算	确定档位，计算税额	突破分段点确定与解析式建立	巩固练习	布置阶梯练习题	独立完成并汇报结果
课堂小结	引导梳理本节知识脉络	总结建模步骤与易错点	巩固方法，形成体系	作业布置	分层布置课后习题	记录作业要求
教学重点	将实际问题抽象为函数模型，确定定义域并求解	教学难点	多段计费类问题中分段点的确定与解析式的建立，图象信息的读取与	教学方法	情境驱动与问题引导相结合	学法指导

			实际意义的解释
学情分析	已掌握基本初等函数概念与性质，缺乏建模经验	教材分析	本节为函数性质的综合应用，承前启后	课前准备	多媒体课件、学习单	课后跟进
板书设计	正中标题与四步法纲要，左侧例题演算，右侧练习区	作业分层	基础题与综合应用题相结合	教学反思	关注分段点理解与图象读数指导	改进方向
核心素养	数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算	德育渗透	感受数学源于生活并服务生活	信息技术	课件演示图象与数据表格	安全提示
备注	根据课堂实际进度灵活调整各环节时长	审核人	教研组	使用时间	2026—2027学年	存档编号

1. 情境导入。教师呈现如下情境：某城市出租车的起步价为3公里以内10元，超过3公里的部分每公里2元。教师提问：如果乘客乘车7公里，车费是多少？如果乘车x公里，车费y与x之间是什么关系？学生活动：学生独立计算7公里车费为14元，随后尝试写出y与x的关系式。设计意图：从真实计费情境切入，让学生初步感受不同区间内计费规则不同，为分段函数模型的建立做铺垫。预设回答：7公里车费为10+2×(7−3)=18元。

2. 新授探究。教师引导：我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系。利用函数模型解决实际问题的一般过程为：分析实际问题中的变量关系→建立函数解析式并注明定义域→利用函数性质求解→还原为实际问题的答案。教师出示例1。

例1 某商品目前的售价为50元/件，日销售量为100件。市场调研表明，售价每提高1元，日销售量就减少2件。已知该商品的进价为30元/件。将每日利润表示为售价的函数，并求使利润最大的售价。

教师活动：引导学生分析变量，设售价为x元，利润为y元，逐步写出解析式。学生活动：跟随教师思路列式并配方求最值。设售价为x元（x ≥ 50），则每件利润为(x−30)元，日销售量为100−2(x−50)=(200−2x)件，故日利润 y=(x−30)(200−2x)=−2x²+260x−6000。配方得 y=−2(x−65)²+2450。因为x ≥ 50时二次函数开口向下，对称轴x=65在定义域内，所以当x=65时，y取得最大值2450。答：使利润最大的售价为65元，此时日利润为2450元。设计意图：通过完整的二次函数建模过程，让学生掌握已知模型直接应用的一般步骤。

3. 新授探究（分段函数模型）。教师出示例2。

例2 某城市出租车收费标准如下：起步价10元（3公里以内含3公里），超过3公里但不超过10公里的部分每公里2元，超过10公里的部分每公里3元（不计等待时间）。设行驶里程为x公里，车费为y元，写出y与x的函数解析式，并求x=7和x=15时的车费。

教师活动：引导学生确定分段点为3和10，分三段建立解析式。学生活动：学生分组讨论各区间内的计费规则，尝试写出分段函数。当0 < x ≤ 3时，y=10；当3 < x ≤ 10时，y=10+2(x−3)=2x+4；当x > 10时，y=10+2×(10−3)+3(x−10)=10+14+3x−30=3x−6。所以 y=10，0 < x ≤ 3；y=2x+4，3 < x ≤ 10；y=3x−6，x > 10。当x=7时，y=2×7+4=18元。当x=15时，y=3×15−6=39元。答：x=7时车费为18元，x=15时车费为39元。设计意图：通过多段计费问题，突破分段点确定与解析式建立这一难点，让学生体会分段函数在实际中的应用。

4. 新授探究（个人所得税模型）。教师介绍个人所得税的计算方法：个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数。应纳税所得额=综合所得收入额−基本减除费用−专项扣除−专项附加扣除−依法确定的其他扣除。教师出示例3。

例3 依据个人所得税税率表，应纳税所得额不超过3000元的部分税率为3%，超过3000元至12000元的部分税率为10%，超过12000元至25000元的部分税率为20%。设某