第三章 函数的概念与性质（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

该高中数学讲义通过表格梳理教学目标与重难点，以知识点分类呈现函数概念、定义域、单调性等内容，用对比框架突出定义域求解、单调性证明等核心要点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，如抽象函数定义域典例与变式训练，结合单调性定义证明培养逻辑推理素养，通过奇偶性与单调性综合题提升数学抽象能力。基础题巩固方法，综合题拓展思维，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

第三章 函数的概念与性质 教学目标 1. 理解函数的概念，会求函数的定义域、值域，能够辨析同一函数，掌握函数的三种表示方法，会处理分段函数问题。 2. 掌握函数单调性、奇偶性的定义，能判断、证明函数的单调性与奇偶性，会利用性质比较函数值、求解简单参数问题。 3. 初步建立数形结合思想，会借助函数图像分析函数性质，提升抽象概括与逻辑推理的数学核心素养。 教学重难点 重点 1. 函数的概念，定义域、值域求解，分段函数的理解与应用。 2. 函数单调性的定义、判断证明，利用单调性解决大小比较、求最值问题。 3. 函数奇偶性的概念与判定，奇偶函数图像的对称特征。 难点 1. 对抽象函数概念的理解，辨析对应关系，处理含参定义域、值域问题。 2. 单调性定义的代数证明，结合单调区间处理含参函数的综合问题。 3. 单调性与奇偶性综合运用，抽象函数性质推导，数形结合的灵活转化。 知识点01 函数的概念及其表示 函数的概念及其表示 （1）函数的概念：设、是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确 定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到 集合的一个函数，记作：. （2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 函数相等：两个函数的________相同，并且________完全一致． 知识点02 函数的定义域 1.树立定义域优先的思想． 2.求函数的定义域时常用的结论 ①分式中，分母不为0；②偶次方根中，被开方数非负； ③对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0； (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围； (2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简； (3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式； (4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集． （5）应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义． 知识点03 函数的值域 求函数值域的一般方法：（1）分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元法；（7）数形结合法； 知识点04 求函数解析式 函数解析式的四种求法： （1）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式． （2）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用________来求解． （3）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． （4）方程思想：已知关于与或等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式构成方程组，通过解方程组求出． 知识点05 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，． 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数． 当，都有，那么就说函数在区间上是减函数． 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间． 2．函数单调性的两个等价结论 设，则： （1）（或）在上单调递增； （2）（或）在上单调递减． 3.复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：________． 知识点06 函数的最值 1．函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 2.求函数最值（值域）的常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备________________的条件后用基本不等式求出最值； 知识点07 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 2 .对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 知识点08 幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． （2）几种幂函数的图象： （3）幂函数的性质：定点：. 单调性：当时，在上单调________； 当时，在上单调________； (1)定义域和值域：将函数解析式化为根式即可得出. (2)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. 题型01 函数的定义域（含抽象函数的定义域） 【典例1】已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型02 判断两个函数是否相等 【典例1】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 题型03 函数的值域 【典例1】已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 【变式1】分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】已知，则的值域为________． 【变式3】函数的值域为________. 题型04 求函数的解析式 【典例1】求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【变式1】已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 【变式2】（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【变式3】已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 题型05 分段函数的图像、求值、不等式、参数问题 【典例1】已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 【变式2】已知函数，则____________． 【变式3】已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型06 定义法判断函数的单调性 【典例1】已知满足，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【变式1】已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【变式3】已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，，求的取值范围． 题型07 利用函数的单调性比较大小、解不等式 【典例1】若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 题型08 函数的最值（值域）及参数问题 【典例1】已知函数，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 【变式3】已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若在上的最大值为2，求的值． 题型09 判断函数的奇偶性及求值问题 【典例1】（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．当时， 【变式1】（多选）已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 【变式2】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 题型10 奇偶性中的参数问题 【典例1】已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【变式2】已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若为偶函数，则________． 题型11 利用奇偶性求解析式 【典例1】若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【变式1】已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2】已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 题型12 奇偶性结合单调性比较大小 【典例1】已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型13 奇偶性结合单调性解不等式 【典例1】已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型14 幂函数的概念与简单性质 【典例1】已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知幂函数的图象过点，则__________． 【变式2】（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 【变式3】已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 题型15 幂函数的图像及其应用（含过定点问题） 【典例1】已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【变式1】已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 题型16 利用幂函数的性质比较大小 【典例1】（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式1】设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型17 利用幂函数的性质解不等式 【典例1】已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 【变式2】已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【变式3】已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 题型18 几个常见函数模型的实际应用 【典例1】2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入的情况进行抽样调查，抽取1000户，按地区确定的标准，情况如下表，本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距，到2010年要实现一个美好的愿景．由圆图显示，则中等收入的家庭数量在原有的基础上要增加的百分比和低收入的家庭数量在原有的基础上要降低的百分比分别为（   ） 高收入 中等收入 低收入 125户 400户 475户 A． B． C． D． 【变式1】在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 【变式2】某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【变式3】为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 题型19 抽象函数 【典例1】已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（     ）． A．4 B．2 C．1 D． 【变式1】（多选）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，且,，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 1．设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    5．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 6．已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（   ） A．4 B．7 C． D．8 8．已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 9．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（   ） A． B．1 C． D． 10．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．6 C． D．4 1．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义域在上的偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C． D．对于任意的实数，均有 2．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 4．（多选）已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 5．（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 6．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，在单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 7．（多选）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A．为奇函数 B． C． D． 8．（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 9．对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 10．心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 教学目标 1. 理解函数的概念，会求函数的定义域、值域，能够辨析同一函数，掌握函数的三种表示方法，会处理分段函数问题。 2. 掌握函数单调性、奇偶性的定义，能判断、证明函数的单调性与奇偶性，会利用性质比较函数值、求解简单参数问题。 3. 初步建立数形结合思想，会借助函数图像分析函数性质，提升抽象概括与逻辑推理的数学核心素养。 教学重难点 重点 1. 函数的概念，定义域、值域求解，分段函数的理解与应用。 2. 函数单调性的定义、判断证明，利用单调性解决大小比较、求最值问题。 3. 函数奇偶性的概念与判定，奇偶函数图像的对称特征。 难点 1. 对抽象函数概念的理解，辨析对应关系，处理含参定义域、值域问题。 2. 单调性定义的代数证明，结合单调区间处理含参函数的综合问题。 3. 单调性与奇偶性综合运用，抽象函数性质推导，数形结合的灵活转化。 知识点01 函数的概念及其表示 函数的概念及其表示 （1）函数的概念：设、是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确 定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到 集合的一个函数，记作：. （2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 函数相等：两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致． 知识点02 函数的定义域 1.树立定义域优先的思想． 2.求函数的定义域时常用的结论 ①分式中，分母不为0；②偶次方根中，被开方数非负； ③对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0； (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围； (2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简； (3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式； (4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集． （5）应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义． 知识点03 函数的值域 求函数值域的一般方法：（1）分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元法；（7）数形结合法； 知识点04 求函数解析式 函数解析式的四种求法： （1）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式． （2）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解． （3）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． （4）方程思想：已知关于与或等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式构成方程组，通过解方程组求出． 知识点05 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，． 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数． 当，都有，那么就说函数在区间上是减函数． 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间． 2．函数单调性的两个等价结论 设，则： （1）（或）在上单调递增； （2）（或）在上单调递减． 3.复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． 知识点06 函数的最值 1．函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 2.求函数最值（值域）的常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； 知识点07 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 2 .对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 知识点08 幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． （2）几种幂函数的图象： （3）幂函数的性质：定点：. 单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； (1)定义域和值域：将函数解析式化为根式即可得出. (2)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. 题型01 函数的定义域（含抽象函数的定义域） 【典例1】已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以由. 所以函数的定义域为. 【变式1】若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 【变式3】若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 题型02 判断两个函数是否相等 【典例1】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 【变式1】（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 【变式2】（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 【变式3】（多选）下列命题是正确的是（   ） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】求解定义域即可判断A；根据同一函数的定义即可判断B；根据分式不等式的解法求解不等式即可判断C；根据不等式的性质即可判断D． 【详解】对于A，由，得或，所以定义域为，正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以与不是同一个函数，错误； 对于C，，解得，正确； 对于D，因为，所以， 又，所以，正确． 题型03 函数的值域 【典例1】已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域和值域分别求出集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】集合是函数的定义域，要求根号内的被开方数非负： ，即. 集合是函数的值域，对任意实数有， 因此： ，即. . 【变式1】分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 【变式2】已知，则的值域为________． 【答案】 【分析】由二次函数的性质得出值域. 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 【变式3】函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 题型04 求函数的解析式 【典例1】求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 【变式1】已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 【答案】2026 【分析】根据为多项式，再结合，可知函数为一次函数，设出解析式求解. 【详解】因为多项式的正次项仅来自，对比右侧正次项仅为，可知 最高次为1，因此为一次多项式， 设，则， 对比系数得，所以，因此. 【变式2】（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 【变式3】已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 题型05 分段函数的图像、求值、不等式、参数问题 【典例1】已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 【变式1】设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】①由分段函数定义，将自变量转化到负半轴求值； ②利用分段函数分别表示正负半轴的函数值，代入待求式化简，解不等式确定参数范围并取一个值. 【详解】①因为，根据分段函数解析式，； 又，代入的解析式得，因此. ②已知，故，得； 因为，得. 将上述结果代入不等式 ， 由题意，结合求解， 解右侧不等式，化简得，两边同乘得，解得； 解左侧不等式，两边同乘得， 二次方程的正根为，故解得. 综上的取值范围是，可取（答案不唯一）. 【变式2】已知函数，则____________． 【答案】 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. 【变式3】已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 题型06 定义法判断函数的单调性 【典例1】已知满足，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【答案】在上是减函数．证明如下： 设、是上的两个任意实数，且，则,进而． ，且在上是增函数，，故,即， ． 是上的减函数． 【分析】，且，则，结合题意计算得，根据单调性的定义证明即可. 【变式1】已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 【变式2】已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 【变式3】已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）由题可得，然后由函数单调性结合题设可得答案. 【详解】（1）当，，则不等式解集为； （2），因，则. 要使时，，则.因均在上单调递增， 则在上单调递增，从而，即. 题型07 利用函数的单调性比较大小、解不等式 【典例1】若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 【变式1】（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题设条件：对任意，有， 构造函数，则是严格递增函数， （因差商）， 由，得，利用，逐一分析选项： 选项A：，代入得：，即， 因，；又，严格递增，故 ， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，A可能成立． 选项B：，代入得：，即， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，B可能成立． 选项C：，代入得：， 即 ，但（），严格递增， 故 ，矛盾，C不可能成立． 选项D：，代入得：，即 ， 取（严格递增，），，则， 对应，D可能成立． 【变式2】已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 【变式3】已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 题型08 函数的最值（值域）及参数问题 【典例1】已知函数，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数分类讨论，再由二次函数单调性和符号得出对应区间内的不等关系，解不等式即可. 【详解】显然, 依题意可知当时，若，则，若，则， 因此对于任意，函数恒成立， 此时由可知开口向下，因此不符合题意； 当时，若，则，若，则， 因此对于任意，函数恒成立， 此时开口向上，对称轴为， 若，对称轴， 函数在区间上单调递减，故其最小值为，符合题意， 若，可知对称轴，此时需满足, 可得； 综上可知; 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式1】已知函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用单调性求出时的最小值，再根据题意讨论求解的取值范围,得到时符合题意；因此当时，只要研究的情况就可以了.当时，恒成立，当时，求出，根据题意得到的不等式，进行求解. 【详解】当时，，在上单调递减，所以， 则当，存在，使，符合题意. 当时，不存在，使. 所以只要即符合题意. 当时，只要研究的情况. 当时，恒成立，不符合题意； 当时，， 所以，则，解得. 故的取值范围为. 故选：D. 【变式2】已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 【答案】(1) 令， 则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以函数在区间上单调递减. (2). 【分析】（1）令，可得，根据函数单调性定义证明即可； （2）由（1）知，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，可求得，当时，函数取得最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，函数在区间上单调递减， 又在区间上的最大值为， 即当时，函数取得最大值，即，所以， 解得， 当时，函数取得最小值，所以. 【变式3】已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若在上的最大值为2，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）分类讨论，分离参数后由基本不等式求最值得解； （2）令，换元后转换为二次函数最值问题，根据对称轴分类讨论即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，可得，即． 当时，恒成立； 当时，由，可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以． 综上，的取值范围为． （2）令，则可化为． 因为，所以． 函数图象的对称轴为直线． ①当，即时，，解得； ②当，即时，，不符合题意． 综上，． 题型09 判断函数的奇偶性及求值问题 【典例1】（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．当时， 【答案】AD 【分析】先根据偶函数定义判定A正确，再将绝对值函数分段讨论单调性，得出先减后增否定B，解绝对值不等式得到解集否定C，利用上函数单调递增，结合时证明D正确． 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，A正确； 对于B， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上是先减后增，B错误； 对于C，由，得，解得，C错误； 对于D，当时，，， 因为在上单调递增，且， 所以，D正确． 【变式1】（多选）已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用一元二次不等式的解法即可验证A项，利用偶函数的定义即可验证B项；化简函数，得到函数在单调递减，在单调递增，利用单调性得到即可验证C项；由函数为偶函数和其单调性，将，不等式恒成立，转化为，不等式恒成立，即恒成立即可验证D项. 【详解】对于A项，即，化简得到，解得，故A错误； 对于B项，定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C项， ， 因为在单调递增，所以在单调递增， 所以函数在单调递减， 因为为偶函数，所以函数在单调递增， 所以，故C正确； 对于D项，因为为偶函数，函数在单调递增，单调递减， 所以要证，不等式恒成立， 等价于，不等式恒成立，即恒成立 因为恒成立， 所以，不等式恒成立，故D正确. 【变式2】设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 【变式3】（多选）已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 【答案】ABC 【分析】对于A，根据奇偶性的定义进行判断即可；对于B，先判断时函数的单调性，再根据奇偶性判断 时的单调性即可；对于C，根据函数的单调性及奇偶性求值域即可判断；对于D，举出反例进行判断即可. 【详解】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，， 由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且， 又为上的奇函数，函数在上为增函数，在上单调递增， 对任意的，，都有，故B正确； 对于C，当时，， 函数在上为增函数，在上的值域为； 当 时，， 函数在上为增函数，在上的值域为， 综上所述，的值域是，故C正确； 对于D，令，则，， ，即，故D不正确. 题型10 奇偶性中的参数问题 【典例1】已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由奇函数的性质可知，解得. 【变式1】已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 【变式2】已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数为奇函数，得， 即，解得， 因此，所以. 【变式3】若为偶函数，则________． 【答案】3 【详解】因为为偶函数，故， 即， 即， 所以，即，所以，则． 题型11 利用奇偶性求解析式 【典例1】若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 【变式1】已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 【变式2】已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求的值，进而可得的值. 【详解】因为，所以， 用代替可得：， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 所以. 令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以. 因为，所以，解得. 所以. 所以. 【变式3】（多选）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由为奇函数，为偶函数，整理得到的解析式；根据的函数类型，结合函数的单调性即可分析在区间的单调性；结合函数的性质，即可求得的最大值. 【详解】为奇函数，， ，即； 为偶函数，， ，即. 联立，解得. ， 故是一个二次函数，其二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减； 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由在上单调递增，且，在区间上单调递增，故C正确； 对于D，，二次项系数，得时，取得最大值，此时，故D正确. 题型12 奇偶性结合单调性比较大小 【典例1】已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 【变式1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据定义法分析的单调性，然后将问题转化为“” ，结合单调性可知结果. 【详解】设函数，任取， 则 ， 因为，且， 所以，所以， 所以，所以，所以在上单调递减， 由，可得， 即，所以，即. 故选：B. 【变式2】已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 【变式3】设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 题型13 奇偶性结合单调性解不等式 【典例1】已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】补全函数的图象，分、、三种情况解不等式，结合图象可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式， 若，则，可得或或，解得或或， 此时； 若，则，可得，解得，此时. 显然满足不等式. 综上所述，不等式的解集为. 【变式1】已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 【变式2】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 【变式3】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 题型14 幂函数的概念与简单性质 【典例1】已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 【变式1】已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 【变式2】（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 【答案】AD 【分析】根据幂函数过点可以求出解析式，然后逐项分析即可. 【详解】设幂函数，为常数，因为的图象过点， 所以，所以， 所以幂函数，故A选项正确； 由可知函数定义域为，故B选项不正确； 因为，此时， 不满足在定义域上单调递减，故C选项不正确； 由的函数定义域为，值域为， 所以无最小值，故D选项正确； 故选：AD. 【变式3】已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 题型15 幂函数的图像及其应用（含过定点问题） 【典例1】已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 【变式1】已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 【变式2】若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 【变式3】若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值； 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当时，， 由图可知不合题意，所以. 故选：A. 题型16 利用幂函数的性质比较大小 【典例1】（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为在上单调递增， 由可得，故A正确； 对于B，，，， 所以，故B正确； 对于C，若，则， ，当且仅当， 即时取等，故C错误； 对于D，若， 则， 当且仅当时取等，即时取等，故D正确. 【变式1】设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【详解】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 【变式2】设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【详解】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. 【变式3】已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在上单调递增即可判断出答案. 【详解】 因为幂函数，在上单调递增，且， 所以， 即， 所以. 故选：D. 题型17 利用幂函数的性质解不等式 【典例1】已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 【变式1】（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义以及经过点的坐标可得，再由其单调性、奇偶性可判断B错误，C正确，由分式不等式可得D正确. 【详解】设幂函数，则，即， 即，A正确， 函数的定义域为， 则函数在定义域和上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误， 函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，C正确， 不等式为，即,解得或， 即不等式的解集是，D正确. 故选：ACD 【变式2】已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质求解即可. （2）根据原命题为假，则其否定为真即可求解； （3）分类讨论的正负，根据单调性求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 【变式3】已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求出值. （2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 题型18 几个常见函数模型的实际应用 【典例1】2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入的情况进行抽样调查，抽取1000户，按地区确定的标准，情况如下表，本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距，到2010年要实现一个美好的愿景．由圆图显示，则中等收入的家庭数量在原有的基础上要增加的百分比和低收入的家庭数量在原有的基础上要降低的百分比分别为（   ） 高收入 中等收入 低收入 125户 400户 475户 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设中等收入需增加，则；设低收入家庭数量在原有基础上需降低，则，分别计算即可. 【详解】2005年底，中等收入所占比例为40%，设到2010年需增加，则，，同理，低收入家庭数量在原有基础上需降低，则，则． 【变式1】在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 【答案】A 【详解】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 【变式2】某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 【变式3】为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 题型19 抽象函数 【典例1】已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（     ）． A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】由奇函数的性质及已知关系，依次代入、、且令得到，再依次验证各项对应值判断即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，所以，且①， 将代入①中，得， 因为，所以，即， 将代入①中，得， 由于是奇函数，因此，这与上面得出的 相符， 将代入①中，设，则 ， 将代入①中， ， 把代入上式，得到②，​ 若，由②得，与矛盾，排除 A， 若，由②得，与矛盾，排除 B， 若，由②得，与没有冲突，且满足奇函数性质， 若，由②得，与矛盾，排除D， 综上可知，的值只能是. 【变式1】（多选）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A,先令 ，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A,令 ，得，解得， 令，得， 即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去; 所以， 即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 即，解得，故B错误； 对于C，令， 得 所以，故C正确； 对于D，令， 得， 解得， 令，则， 所以，解得， ，解得； 令， 得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 【变式2】已知函数的定义域为，且,，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过赋值得，再赋值得函数为偶函数，再令得，进而可得，得函数的一个周期为，再通过赋值可得，，，，结合周期性可得. 【详解】由函数的定义域为，且, 令，得，即， 因为，所以得. 再，得，， 即，所以函数为偶函数. 再令，得， 因为为偶函数，所以， 因此，且，所以. 又令，得，所以， 因为函数为偶函数，所以，因此. 令，得，得. 令，得，即， 用代替得， 再用代替得， 即，所以函数的一个周期为. 因为，所以. 因此， 所以 . 因此. 【变式3】已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 1．设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. 2．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 4．函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 5．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 6．已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（   ） A．4 B．7 C． D．8 【答案】C 【详解】由已知得，则， 所以当时，， 所以，故． 8．已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 9．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用周期性和奇偶性得，再求值. 【详解】根据题意， . 10．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】由奇函数性质得，令，求得，最后结合奇函数性质求解即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 令，得．令，得． 所以． 1．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义域在上的偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C． D．对于任意的实数，均有 【答案】AC 【分析】判断在上的单调性后可判断ACD的正误，再由反例可判断B的正误. 【详解】对于A，因为在上单调递减且是定义域在上的奇函数， 故为上的减函数，故，故， 故A正确； 对于B，取，， 则为满足题设条件的奇函数、偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增， 而，设， 则，，， 故不是上单调递增函数，即不是上单调递增函数， 故B错误； 对于C，由A的分析可得为上的减函数且为奇函数， 故，， 而，故， 而为偶函数且在上单调递增，故，故C正确； 对于D，因为， 故，结合的单调性有， 故D错误. 2．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【分析】结合基本不等式，可判定A错误；根据同一函数的判定方法，可判定B错误；根据函数的对应法则，以及函数值的运算法则，可得判定C正确；根据抽象函数定义的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，由函数满足， 令，即，解得，则，即， 若，可得，所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 【答案】AC 【分析】对 A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对 B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对 D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有 1 个的条件，结合图象求解参数范围. 【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，A正确； 对于B：任取，， ，，，所以，， 即函数在单调递减， 又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误； 对于C：时，， 当时，，令，解得， 当时，，令，无解； 令，则，所以函数为偶函数， 由对称性可知在上方程有解，C正确； 对于D：， 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解； 当时，在区间内无整数解， 因此只需在内包含一个即可. 因为， 因此若不等式恰好有1个整数解，只需， 解得，D错误． 4．（多选）已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 【答案】BCD 【详解】因为函数，所以的定义域为，值域为， 故选项B正确，选项A不正确； 若自变量是有理数，则也是有理数，，所以， 若自变量是无理数，则也是无理数，，所以， 所以是偶函数，选项C正确； 对于任意一个非零有理数，若是有理数，则是有理数；若是无理数，则是无理数， 根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故选项D正确. 5．（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 6．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，在单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AB 【分析】利用定义在R上的奇函数过坐标原点，判断A；由奇偶性的定义判断B；根据的单调性比较与，再利用的奇偶性与单调性判断C；先利用的奇偶性与单调性比较与，再根据的单调性判断D. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，故A正确； 令，则定义域为R， ，， 所以为R上的奇函数，故B正确； 函数是定义在上的奇函数，且在单调递减， 所以在上单调递减. 又，所以是减函数. 所以. 函数是定义在上的偶函数，在单调递增， 所以在上单调递减. 所以，所以，即，故C错误； 由在单调递增，得. 由是减函数，得，故D错误. 7．（多选）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先令，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A，令 ，得，解得， 令，得，即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去； 所以，即，所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以令，得， 即，解得，故B错误； 对于C，令，得 所以，故C正确； 对于D，令，得， 因，则得， 令，则， 令，得，解得， 再令，得，解得； 令，得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 8．（多选）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 【答案】BD 【分析】对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到 【详解】当时，，则； 对于B选项，由可知， 所以，即， 故函数的一个周期为4.故B选项正确. 对于A选项，因为函数的一个周期为4， 所以， 又因为，所以，故A选项错误. 对于C选项，设，则， 所以. 所以.所以C选项错误. 对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知 ， 由可知，. 由时，，且函数的一个周期为4可知， . 所以. 又因为函数的一个周期为4，所以 ， 所以 ， 故D选项正确. 9．对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【答案】(1)区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； (2) (3) 【分析】（1）当时，函数单调递增，且，则是的阶稳区间； （2）对区间，分别讨论，可得时，的所有有限长度的阶稳区间； （3）先证明内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间，再对，对作分类讨论. 【详解】（1）略 （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 10．心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 【答案】(1)开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟 (2)接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 (3)不能，当时，由解得， 当时，因为，满足要求 ， 当时，由解得， 当时，因为，不满足要求 ， 因为分钟<12分钟 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题. 【分析】 （1）根据分段函数求最大值； （2）根据分段函数解析式求函数值； （3）分3段求出的解. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2），，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. （3）略. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $